5.6 函数y=Asin (ωx+φ) 同步练习（Word版含解析）

《第六节　函数y=Asin (ωx+φ)》同步练习
一、基础巩固
知识点1　三角函数图象的变换
1.要得到函数y=2sin (x+)的图象,只需要将函数y=3sin x的图象上所有点的(　　)
A.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),再向右平移个单位长度
B.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),再向左平移个单位长度
C.纵坐标变为原来的(横坐标不变),再向右平移个单位长度
D.纵坐标变为原来的(横坐标不变),再向左平移个单位长度
2.[2022河南省信阳高级中学高一下月考]要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=sin (2x+)的图象上所有点的(　　)
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
3.[2022江苏南师附中高一期末]将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象.已知g(x)=sin (2x+),则(　　)
A.f(x)=-sin 4x
B.f(x)=sin x
C.f(x)=sin (x+)
D.f(x)=sin (4x-)
4.(多选)下列四种变换方式中,能将正弦函数y=sin x的图象变为y=sin (2x+)的图象的是(　　)
A.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B.横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
C.横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
知识点2　函数y=Asin (ωx+φ)的图象的应用
5.(多选)[2022广东化州三中高一上期末]将函数y=sin (2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可能为(　　)
A.- B. C.0 D.-
6.[2022湖北荆州八县市高一上期末质检]函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.g(x)=sin 2x
B.g(x)=sin (2x+)
C.g(x)=sin (2x-)
D.g(x)=sin (2x+)
7.[2022北京高一期末]将函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)在(0,m)上不存在最大值,则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,] B.(0,)
C.(0,] D.(0,)
8.[2022广东十五校联盟高一下联考]已知函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,且相邻的两条对称轴之间的距离为6.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,关于x的不等式g(x)≥t2+2t在x∈[3,5]上有解,求实数t的取值范围.
二、能力提升
9.[2022湖北省武昌实验中学高一期末]已知函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期T≥,且直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,则函数f(x)在(-,)上的取值范围是(　　)
A.(-1,] B.(-1,2]
C.(-,1] D.[-1,2]
10.将函数y=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度得到函数f(x)的图象.若函数f(x)在区间[0,]上单调递增,且f(x)的最大负零点在区间(-,-)内,则φ的取值范围是(　　)
A.(,] B.(,]
C.(,) D.(,)
11.(多选)[2022重庆六校高一上期末联考]已知函数f(x)=Acos (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(　　)
A.f(x)=2cos (2x+)
B.函数f(x)的图象关于点(,0)对称
C. x∈R,f(x)=f(-x)
D.函数f(x)在(0,)上无最小值
12.[2022山东烟台二中高二下段考]函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值为　　　　.
13.已知函数f(x)=sin (2x+φ).若f()-f(-)=2,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
14.在下列三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.
①f(x)的最小正周期为π,且f(x)是偶函数;
②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π,且f()=0;
③直线x=0与直线x=是f(x)图象上相邻的两条对称轴,且f(0)=2.
问题:已知函数f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若　　　　.
(1)求ω,φ的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在[0,π]上的最小值和最大值.
15.[2022辽宁沈阳市第一二○中学高一下月考]已知函数f(x)=2sin (2ωx+)+1.
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=,求f(x)图象的对称中心.
(2)已知0<ω<5,函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,且x=是g(x)的一个零点.若函数h(x)=acos (2x-)-2a+3(a>0),对任意x1∈[0,],存在x2∈[0,],使得h(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.D　根据图象的平移、伸缩变换的规律,将函数y=3sin x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,即得到函数y=2sin x的图象;再向左平移个单位长度,得到y=2sin(x+)的图象.故选D.
2.C　y= x=sin(x+),将y=sin(2x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x+)的图象;再将y=sin(x+)的图象向左平移个单位长度,得到y=sin(x+)= x的图象.故选C.
3.B　由题意知将g(x)图象上各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度可得到f(x)的图象,所以f(x)=sin(x+)=sin x.
4.AB　对于A,向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象;对于B,横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2(x+)=sin(2x+)的图象;对于C,横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2(x+)=sin(2x+)的图象;对于D,向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin(2x+)的图象.故选AB.
5.AB　平移后,得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x+φ+),因其为偶函数,所以φ++kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.对选项一一分析可得,当k=-1时,φ=-π;当k=0时,φ=.故选AB.
6.C　由题图可知A=1,T=,又T=,所以ω=2.由题图可知2×+φ=π+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以令k=0,得φ=,所以f(x)=sin(2x+),所以g(x)=sin[2(x-)+)]=sin(2x-).
7.C　g(x)=f(x-)=2sin(2x-).当x∈(0,m)时,2x-∈(-,2m-).因为g(x)在(0,m)上不存在最大值,所以2m-≤,可得m≤,故08. 解：(1)由题意得函数f(x)的最小正周期T=12,
所以ω=,所以f(x)=2sin (x+φ).
因为f(x)的图象过点(1,2),所以f(1)=2sin(+φ)=2,即+φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(x+).
(2)因为将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,所以g(x)=2sin (x+).
当x∈[3,5]时,x+∈[,2π],则2sin(x+)∈[-2,0].
因为不等式g(x)≥t2+2t在x∈[3,5]上有解,所以t2+2t≤0,解得-4≤t≤0,
所以实数t的取值范围为[-4,0].
二、能力提升
9.B　由题意知()T=,k∈N,则T=,k∈N,又T≥,所以k=0,即T=π,故ω==2,因此f(x)=2sin(2x+φ).将点(,0)代入,得2sin(+φ)=0,即+φ=mπ(m∈Z),由|φ|<,得φ=,故f(x)=2sin(2x+).因为x∈(-,),所以2x+∈(-,),所以sin(2x+)∈(-,1],故f(x)∈(-1,2].
10.B　由题意知,f(x)=sin(2x-2φ).令2kπ-≤2x-2φ≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+φ-≤x≤kπ+φ+,k∈Z.又f(x)在区间[0,]上单调递增,0<φ<,所以解得≤φ≤.令f(x)=0,得2x-2φ=mπ,m∈Z,即x=+φ,m∈Z,最大的负零点为x=φ-,所以-<φ-<-,得<φ<.综上,<φ≤,故选B.
11.BC　由题图可知,A=2,-(-)=,所以T=π=,即ω=2,所以f(x)=2cos (2x+φ).将点(-,2)代入,得2=2cos [2×(-)+φ],即cos (-+φ)=1,所以-+φ=2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,即f(x)=2cos (2x+),故A错误.f()=2cos ()=0,所以函数f(x)的图象关于点(,0)对称,故B正确.若 x∈R,f(x)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称,由函数图象易知C正确.由题图知当x=时,函数f(x)取得最小值-2,故D错误.故选BC.
12. 　解：由题图可知A=2,T=8,所以ω=,所以f(x)=2sin(x+φ).因为f(x)的图象过点(2,2),所以sin(+φ)=1,则+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=0,故f(x)=2sin x.因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,2 022=8×252+6,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=.
13.[kπ-,kπ+],k∈Z　解：因为函数f(x)=sin(2x+φ),所以函数f(x)的最小正周期为π.若f()-f(-)=2,则f()=sin(+φ)=1,f(-)=sin(-+φ)=-1,故+φ=2k1π+,k1∈Z,且-+φ=2k2π-,k2∈Z,即φ=2k3π+,k3∈Z,故f(x)=sin(2x+).令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
14. 解：方案一　选条件①.
(1)因为f(x)的最小正周期为π,
所以T==π,所以ω=2.
因为f(x)是偶函数,所以φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+)=2cos 2x.
将f(x)的图象向右平移个单位长度后,
得到y=2cos [2(x-)]=2cos (2x-)的图象,将y=2cos (2x-)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=2cos ()的图象.
因为0≤x≤π,所以-≤≤,
所以当=-,即x=0时,g(x)取得最小值,为1;当=0,即x=时,g(x)取得最大值,为2.
所以g(x)在[0,π]上的最小值为1,最大值为2.
方案二　选条件②.
(1)因为函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π,所以T==π,ω=2.
因为f()=0,所以sin(2×+φ)=0,即cos φ=0,
所以φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
(2)同方案一.
方案三　选条件③.
(1)因为直线x=0与直线x=是f(x)图象上相邻的两条对称轴,
所以,即T==π,所以ω=2.
因为f(0)=2sin φ=2,所以sin φ=1,
所以φ=2kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
(2)同方案一.
15. 解：(1)f(x)=2sin(2ωx+)+1的最小正周期T=.
因为f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=,
所以f(x)的最小正周期是π,故T==π,解得ω=±1.
当ω=1时,f(x)=2sin(2x+)+1.
由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以f(x)图象的对称中心为点(-,1)(k∈Z);
当ω=-1时,f(x)=2sin(-2x+)+1.由-2x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),所以f(x)图象的对称中心为点(,1)(k∈Z).
(2)因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,所以g(x)=2sin(2ωx+ω)+1.
因为x=是g(x)的一个零点,
所以g()=2sin(ω+ω)+1=0,即sin (ω+)=-,
所以ω++2mπ或ω++2mπ,m∈Z,
解得ω=3+6m或ω=5+6m(m∈Z).
由0<ω<5可得ω=3,所以g(x)=2sin(6x-)+1.
对任意x1∈[0,],存在x2∈[0,],使得h(x1)=g(x2)成立,
则{y|y=h(x),x∈[0,]} {y|y=g(x),x∈[0,]}.
当x∈[0,]时,6x-∈[-,],sin(6x-)∈[-1,1],
所以g(x)∈[-1,3].
当x∈[0,]时,2x-∈[-,],cos (2x-)∈[,1],所以h(x)∈[-a+3,-a+3].
所以[-a+3,-a+3] [-1,3],
即解得0≤a≤,
又a>0,所以实数a的取值范围为(0,].