2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 3.7二次函数与一元二次方程 题型分类练习题（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 3.7二次函数与一元二次方程 题型分类练习题（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 311.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-06 15:29:37 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《3.7二次函数与一元二次方程》
题型分类练习题（附答案）
一．抛物线与x轴的交点
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
2．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（1，0） D．（2，0）
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣1），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c＝﹣1（a≠0）的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝1，x＝2 C．x＝2，x＝3 D．x＝1，x＝3
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3
5．二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＜8 B．t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1≤t＜3
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝﹣1
7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
8．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
二．图象法求一元二次方程的近似根
9．在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，先在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析图中的信息，方程的近似解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
10．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
三．二次函数与不等式（组）
11．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6
12．已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞4
13．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
14．若二次函数y＝﹣x2+b的图象经过点（0，4），则不等式﹣x2+b≥0的解集为（ ）
A．﹣2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2或x≥2
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①2a+b＝0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜2；
③4a+2b+c＜0；④8a+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
17．二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象如图所示，一次函数y＝kx﹣b的图象过该二次函数图象上的点A（1，0），B（4，3），则满足（x﹣2）2﹣kx+b+m≤0的x的取值范围是 ．
18．若二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a，k为常数，且a＜0）的图象与x轴的﹣个交点为（﹣1，0），则关于x的不等式a（x﹣2）2+k＞0的解集为 ．
19．已知不等式ax2+bx+c＞0的解是α＜x＜β，其中β＞α＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集 ．
20．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 ．
21．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ．
22．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
23．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
24．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是 ．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，若对称轴为直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论：
①对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0恒成立；
②若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若c＞a，则当﹣1＜x1＜x2时，总有y1＜y2．
其中正确的是 ．（填写序号）
27．如图，直线y1＝kx+b与抛物线y2＝ax2+bx+c交于点A（﹣2，3）和点B（2，﹣1），若y2＜y1＜0，则x的取值范围是 ．
28．若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 ．
29．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是 ．
30．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是 ．
31．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．
32．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
33．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
参考答案
一．抛物线与x轴的交点
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点，
∴当y＝0时，对应的x的值只有一个，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有两个相等的实数根，
故选：B．
2．解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
3．解：∵抛物线经过点（1，﹣1），
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝﹣1的解，
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过点（3，﹣1），
∴x＝3为方程ax2+bx+c＝﹣1的解，
故选：D．
4．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
由图象可知，y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
故选：D．
5．解：∵函数的对称轴为x＝1，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x，
当x＝﹣1时，y＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝4时，y＝8，
∵函数图象开口向上，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜8，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，
∴﹣1≤t＜8，
故选：C．
6．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2和4，
∴x1+x2＝﹣＝2．
∴二次函数y＝a2+bx+c的对称轴为x＝﹣＝×2＝1．
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根．
故选：D．
8．解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m≥﹣且m≠1，
故选：D．
二．图象法求一元二次方程的近似根
9．解：由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点接近（﹣2，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解是x1＝﹣2，x2＝3，
故选：D．
10．解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
三．二次函数与不等式（组）
11．解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．
故选：A．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，
∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．
解得x＜﹣2或x＞4，
∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．
故选：A．
13．解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3．
故选：C．
14．解：将（0，4）代入y＝﹣x2+b得b＝4，
∴抛物线y＝﹣x2+4，
将y＝0代入y＝﹣x2+4得0＝﹣x2+4，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
∵抛物线开口向下，
∴﹣2≤x≤2时﹣x2+b≥0，
故选：A．
15．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3．②错误．
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，③正确．
∵抛物线经过（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＞0，④错误．
故选：B．
16．解：∵抛物线与x轴交点交于（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（5，0），
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜5，
故答案为：﹣3＜x＜5．
17．解：由图可知，1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点），
所以，满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围是1≤x≤4．
故答案为：1≤x≤4．
18．解：把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+k，得4a+k＝0，
∴k＝﹣4a，
∴二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4a，
令y＝0，得a（x﹣1）2﹣4a＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∵将抛物线y＝a（x﹣1）2+k向右平移1个单位得抛物线抛物线y＝a（x﹣2）2+k，
∴抛物线y＝a（x﹣2）2+k与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵a＜0，
∴当0＜x＜4时，抛物线线y＝a（x﹣2）2+k在x轴上方，
∴关于x的不等式a（x﹣2）2+k＞0的解集为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
19．解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解是α＜x＜β，
∴抛物线开口向下，a＜0，
∴α+β＝﹣，αβ＝，
∵β＞α＞0，
∴＞0，即c＜0，
∴b＝﹣a（α+β），c＝aαβ，
∵cx2+bx+a＜0，
∴aαβx2﹣a（α+β）x+a＜0，
即a（αx﹣1）（βx﹣1）＜0，
∴（αx﹣1）（βx﹣1）＞0，
∵β＞α＞0，
∴＞＞0，
∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为x＞或x＜．
故答案为：x＞或x＜．
20．解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．
由图知，图象在点A，B之间，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
21．解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，抛物线在直线下方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
22．解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
23．解：∵A（﹣2，p），B（4，q）
∴当﹣2＜x＜4时，抛物线在直线下方，
∴ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜4，即ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣2＜x＜4，
故答案为：﹣2＜x＜4．
24．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，
∴②正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3，③正确．
由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴④错误．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
∴⑤正确．
故答案为：②③⑤．
25．解：∵抛物线经过点A（﹣3，0），且抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过点B（1，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＝ax2+bx+c＞0，
故答案为：﹣3＜x＜1．
26．解：①由不等式a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，
变形可得am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0．
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
∴不等式am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0是抛物线当x＝m与x＝1时函数值的差．
∵根据已知条件不能判断当x＝1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0不正确．
∴①不正确．
②∵a﹣b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣1，0）点．
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）．
∵a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为﹣1＜x＜2．
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2．
∴②正确．
③把x＝1代入一元二次方程得，﹣a+b＝2b+c，整理得，a+b+c＝0；
对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
若a+b+c＝0，则抛物线过点（1，0），
但根据已知条件，抛物线y＝ax2+bx+c不一定过（1，0）点，
所以一元二次方程有一个根x＝1不正确，即③错误．
④∵c＞a，a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与y轴正半轴相交．
∵抛物线过（﹣1，0）点，
∴抛物线的对称轴x＝m在直线x＝﹣1的左侧，即m＜﹣1．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且﹣1＜x1＜x2．
∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上．
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
∴④正确．
综上所述，②④是正确的．
故答案为：②④．
27．解：将（﹣2，3），（2，﹣1）代入y1＝kx+b得，
解得，
∴y1＝﹣x+1，
令﹣x+1＝0，
解得x＝1，
∴直线与x轴交点坐标为（1，0），
∴1＜x＜2时，y2＜y1＜0，
故答案为：1＜x＜2．
28．解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，
∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，
解得x＜﹣1或x＞1，
故答案为：x＜﹣1或x＞1．
29．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为﹣5≤x≤2．
30．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
31．解：作直线y＝mx+n关于y轴的对称直线CD：y＝﹣mx+n，
点C、D是两个函数的交点，根据点的对称性，点C（1，p），D（﹣2，q），
由图象可以看出，ax2+c＞n﹣mx的解集为：﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
32．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＝ax2+bx+c＞0．
故答案为：﹣1＜x＜3
33．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
题型分类练习题（附答案）
一．抛物线与x轴的交点
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
2．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（1，0） D．（2，0）
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣1），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c＝﹣1（a≠0）的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝1，x＝2 C．x＝2，x＝3 D．x＝1，x＝3
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3
5．二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＜8 B．t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1≤t＜3
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝﹣1
7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
8．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
二．图象法求一元二次方程的近似根
9．在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，先在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析图中的信息，方程的近似解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
10．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
三．二次函数与不等式（组）
11．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6
12．已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞4
13．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
14．若二次函数y＝﹣x2+b的图象经过点（0，4），则不等式﹣x2+b≥0的解集为（ ）
A．﹣2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2或x≥2
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①2a+b＝0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜2；
③4a+2b+c＜0；④8a+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
17．二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象如图所示，一次函数y＝kx﹣b的图象过该二次函数图象上的点A（1，0），B（4，3），则满足（x﹣2）2﹣kx+b+m≤0的x的取值范围是 ．
18．若二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a，k为常数，且a＜0）的图象与x轴的﹣个交点为（﹣1，0），则关于x的不等式a（x﹣2）2+k＞0的解集为 ．
19．已知不等式ax2+bx+c＞0的解是α＜x＜β，其中β＞α＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集 ．
20．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 ．
21．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ．
22．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
23．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
24．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是 ．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，若对称轴为直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论：
①对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0恒成立；
②若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若c＞a，则当﹣1＜x1＜x2时，总有y1＜y2．
其中正确的是 ．（填写序号）
27．如图，直线y1＝kx+b与抛物线y2＝ax2+bx+c交于点A（﹣2，3）和点B（2，﹣1），若y2＜y1＜0，则x的取值范围是 ．
28．若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 ．
29．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是 ．
30．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是 ．
31．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．
32．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
33．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
参考答案
一．抛物线与x轴的交点
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点，
∴当y＝0时，对应的x的值只有一个，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有两个相等的实数根，
故选：B．
2．解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
3．解：∵抛物线经过点（1，﹣1），
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝﹣1的解，
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过点（3，﹣1），
∴x＝3为方程ax2+bx+c＝﹣1的解，
故选：D．
4．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
由图象可知，y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
故选：D．
5．解：∵函数的对称轴为x＝1，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x，
当x＝﹣1时，y＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝4时，y＝8，
∵函数图象开口向上，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜8，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，
∴﹣1≤t＜8，
故选：C．
6．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2和4，
∴x1+x2＝﹣＝2．
∴二次函数y＝a2+bx+c的对称轴为x＝﹣＝×2＝1．
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根．
故选：D．
8．解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m≥﹣且m≠1，
故选：D．
二．图象法求一元二次方程的近似根
9．解：由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点接近（﹣2，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解是x1＝﹣2，x2＝3，
故选：D．
10．解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
三．二次函数与不等式（组）
11．解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．
故选：A．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，
∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．
解得x＜﹣2或x＞4，
∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．
故选：A．
13．解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3．
故选：C．
14．解：将（0，4）代入y＝﹣x2+b得b＝4，
∴抛物线y＝﹣x2+4，
将y＝0代入y＝﹣x2+4得0＝﹣x2+4，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
∵抛物线开口向下，
∴﹣2≤x≤2时﹣x2+b≥0，
故选：A．
15．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3．②错误．
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，③正确．
∵抛物线经过（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＞0，④错误．
故选：B．
16．解：∵抛物线与x轴交点交于（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（5，0），
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜5，
故答案为：﹣3＜x＜5．
17．解：由图可知，1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点），
所以，满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围是1≤x≤4．
故答案为：1≤x≤4．
18．解：把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+k，得4a+k＝0，
∴k＝﹣4a，
∴二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4a，
令y＝0，得a（x﹣1）2﹣4a＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∵将抛物线y＝a（x﹣1）2+k向右平移1个单位得抛物线抛物线y＝a（x﹣2）2+k，
∴抛物线y＝a（x﹣2）2+k与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵a＜0，
∴当0＜x＜4时，抛物线线y＝a（x﹣2）2+k在x轴上方，
∴关于x的不等式a（x﹣2）2+k＞0的解集为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
19．解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解是α＜x＜β，
∴抛物线开口向下，a＜0，
∴α+β＝﹣，αβ＝，
∵β＞α＞0，
∴＞0，即c＜0，
∴b＝﹣a（α+β），c＝aαβ，
∵cx2+bx+a＜0，
∴aαβx2﹣a（α+β）x+a＜0，
即a（αx﹣1）（βx﹣1）＜0，
∴（αx﹣1）（βx﹣1）＞0，
∵β＞α＞0，
∴＞＞0，
∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为x＞或x＜．
故答案为：x＞或x＜．
20．解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．
由图知，图象在点A，B之间，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
21．解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，抛物线在直线下方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
22．解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
23．解：∵A（﹣2，p），B（4，q）
∴当﹣2＜x＜4时，抛物线在直线下方，
∴ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜4，即ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣2＜x＜4，
故答案为：﹣2＜x＜4．
24．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，
∴②正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3，③正确．
由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴④错误．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
∴⑤正确．
故答案为：②③⑤．
25．解：∵抛物线经过点A（﹣3，0），且抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过点B（1，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＝ax2+bx+c＞0，
故答案为：﹣3＜x＜1．
26．解：①由不等式a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，
变形可得am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0．
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
∴不等式am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0是抛物线当x＝m与x＝1时函数值的差．
∵根据已知条件不能判断当x＝1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0不正确．
∴①不正确．
②∵a﹣b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣1，0）点．
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）．
∵a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为﹣1＜x＜2．
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2．
∴②正确．
③把x＝1代入一元二次方程得，﹣a+b＝2b+c，整理得，a+b+c＝0；
对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
若a+b+c＝0，则抛物线过点（1，0），
但根据已知条件，抛物线y＝ax2+bx+c不一定过（1，0）点，
所以一元二次方程有一个根x＝1不正确，即③错误．
④∵c＞a，a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与y轴正半轴相交．
∵抛物线过（﹣1，0）点，
∴抛物线的对称轴x＝m在直线x＝﹣1的左侧，即m＜﹣1．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且﹣1＜x1＜x2．
∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上．
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
∴④正确．
综上所述，②④是正确的．
故答案为：②④．
27．解：将（﹣2，3），（2，﹣1）代入y1＝kx+b得，
解得，
∴y1＝﹣x+1，
令﹣x+1＝0，
解得x＝1，
∴直线与x轴交点坐标为（1，0），
∴1＜x＜2时，y2＜y1＜0，
故答案为：1＜x＜2．
28．解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，
∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，
解得x＜﹣1或x＞1，
故答案为：x＜﹣1或x＞1．
29．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为﹣5≤x≤2．
30．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
31．解：作直线y＝mx+n关于y轴的对称直线CD：y＝﹣mx+n，
点C、D是两个函数的交点，根据点的对称性，点C（1，p），D（﹣2，q），
由图象可以看出，ax2+c＞n﹣mx的解集为：﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
32．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＝ax2+bx+c＞0．
故答案为：﹣1＜x＜3
33．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．