2.4线段、角的轴对称性 知识点分类练习题 2022-2023学年苏科版八年级数学上册（Word版含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》
知识点分类练习题（附答案）
一．角平分线的性质
1．如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝3，则点P到AC的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝　 　．
7．如图，点P是∠BAC的角平分线上一点，PH⊥AC于H，且PH＝3cm，AB＝5cm，则△APB的面积是 　 　．
8．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 　 　．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝2，则点D到AB的距离是　 　．
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 　 　．（填序号）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；
④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
11．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
二．线段垂直平分线的性质
13．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（　　）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
14．如图，在△ABC中，直线DE是边AC的垂直平分线，连接AE，若AB＝3，BC＝5，则△ABE的周长为 　 　．
15．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
16．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若∠BCD＝3∠CBE，则∠A的度数为（　　）
A．38° B．36° C．34° D．32°
18．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（　　）
A．65° B．60° C．70° D．80°
19．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
20．如图，在钝角△ABC中，已知∠A＝135°，取边AB和AC中点F、G分别作DF⊥AB，EG⊥AC，分别交BC于点D、E，若BD＝12，CE＝9，则DE＝　 　．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
22．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
求证：（1）∠ABD＝∠ACD；
（2）DE＝DF．
参考答案
一．角平分线的性质
1．解：过点P作PN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，PM＝3，
∴PN＝PM＝3，即点P到AC的距离是3，
故选：C．
2．解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，
∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPE＝OE PC＝．
故选：C．
3．解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4，
故选：C．
4．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
5．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
6．解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F．
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC于，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、AC长分别为100，110，120，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝（×AB×OF）：（BC×OD）：（×AC×OE）
＝BA：CB：CA
＝100：110：120
＝10：11：12．
故答案为：10：11：12．
7．解：过P作PD⊥AB于D，
∵点P是∠BAC的平分线上一点，PH⊥AC于H，
∴PD＝PH＝3cm，
∴S△APB＝AB PD＝5×3＝7.5cm2，
故答案为：7.5cm2．
8．解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE＝EF，
∵S△BCE＝×BC×EF＝5，
∴×5×EF＝5，
∴EF＝DE＝2，
故答案为：2．
9．解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝2，
∴DE＝2．
故答案为2．
10．解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故答案为：①②③④．
11．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
12．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
二．线段垂直平分线的性质
13．解：∵PA＝PB，
∴P点在边AB的垂直平分线上，
故选：B．
14．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE的周长＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝3+5＝8，
故答案为：8．
15．解：连接AP，延长BP交AC于D，
∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
解法二：∵AB、AC中垂线角与点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC＝100°，
故选B．
16．解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
17．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴DC＝DB，
∴∠DBC＝∠BCD，
∵∠BCD＝3∠CBE，
∴∠EBA＝2∠CBE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠ACB＝90°，
∴2∠CBE+2∠CBE+∠CBE＝90°，
解得：∠CBE＝18°，
∴∠A＝36°，
故选：B．
18．解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB＝EA，FA＝FC，
∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠BAE+∠FAC＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；
故选：D．
19．解：设∠BAC＝α，
∴∠C+∠B＝180°﹣α，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，
∴α＝110°，
∴∠BAC＝110°，
故选：D．
20．解：连接AD，AE，
∵取边AB和AC中点F、G分别作DF⊥AB，EG⊥AC，
∴DE垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴BD＝AD＝12，AE＝CE＝9，
∴∠B＝∠FAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝45°，
∴∠B+∠FAD+∠C+∠CAE＝90°，
∴∠DAE＝90°，
∴DE＝＝15，
故答案为：15．
21．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝30°，
∴∠FDC＝90°﹣30°＝60°；
（2）∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
22．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）∵AB＝AC，AD是BC的垂直平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．