2021--2022学年人教版八年级数学下册17.1 勾股定理 同步练习 （word,含答案）

八下第17章 勾股定理
17.1 勾股定理
一、选择题（共9小题）
1. 若正方形的一条对角线长为 ，则此正方形的面积为
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是
A. 已知 ，， 是三角形的三边长，则
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在 中，，，， 分别是 ，， 的对边，所以
D. 在 中，，，， 分别是 ，， 的对边，所以
3. 如图，， 与 相交于点 ，，，则 的长为
A. B. C. D.
4. 如图，在四边形 中，，，垂足为 ，连接 交 于点 ，，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
5. 在 中，，则下列各式不成立的是
A. B.
C. D.
6. 如图，直线 上有三个正方形 ，，，若 ， 的面积分别为 和 ，则 的面积为
A. B. C. D.
7. 如图，，，，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处；再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 ，，则线段 的长为
A. B. C. D.
8. 一直角三角形的两边长分别为 和 ，则第三边长为
A. B. C. D. 或
9. 若直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则其面积为
A. B. C. D.
二、填空题（共19小题）
10. 在 中，，， 的对边分别为 ，，，若 ，，，则 ．
11. 点 到原点的距离为 ．
12. 如图，已知 中，， 于 ，，则 长是 ．
13. 求下列各图中 的值．
14. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为 和 ，则斜边上的高为 ．
15. 若等边三角形的边长为 ，则其面积 ．
16. 如图， 中， 于 ，若 ，，，则 的长为 ．
17. 在 中，若斜边 ，则 ．
18. 已知直角三角形两直角边长的比为 ，若斜边长为 ，则两直角边长分别为 和 ．
19. 如图，在 中，， 于点 ，若 ，，则 的周长是 ．
20. 如图，直线 过正方形 的顶点 ，点 ， 到直线 的距离分别是 和 ，则正方形的边长是 ．
21. 如图， 中， 于点 ，，，则 ．
22. 一架长 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端 ，如果梯子的顶端沿墙向下滑动 ，那么梯子的底端将水平滑动 ．
23. 如图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．
24. 如图，一只蚂蚁沿着棱长为 的正方体表面从点 出发，经过 个面爬到点 ，如果它运动的路径是最短的，则 的长为 ．
25. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形 沿直线 折叠（点 在边 上），折叠后顶点 恰好落在边 上的点 处，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
26. 如图，在 中，，， 是射线 上的一个动点，，则当 为直角三角形时， 的长为 ．
27. 如图是“赵爽弦图”，，， 和 是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，如果 ，，那么 等于 ．
28. 在 中，，， 边上的高为 ，则 的面积为 ．
三、解答题（共7小题）
29. 如图，在 中，，垂足为 ，，．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
30. 如图，某学校（ 点）到公路（直线 ）的距离为 米，到公交车站（ 点）的距离为 米，现要在公路边上建一个商店（ 点），使之到学校 及车站 的距离相等，求商店 与车站 之间的距离．
31. 如图，在 中，，，，垂足为 ，．求 的长．
32. 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在 所在的直线上建一图书阅览室（如图所示），该社区有两所学校，分别在点 和点 处， 于 ， 于 ，已知 ，，，试问：阅览室 建在距 点多少千米处，才能使它到 ， 两所学校的距离相等
33. 在 中，，，，若 ，如图①，根据勾股定理，得 ．若 不是直角三角形，如图②、图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并说明你的理由．
34. 如图所示．
（1）如图①，分别以 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为 ，，，试说明 ，， 之间的关系；
（2）如图②，分别以 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为 ，，，试说明 ，， 之间的关系；
（3）如图③，分别以 的三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别为 ，，，试说明 ，， 之间的关系．
35. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法，如图，火柴盒的一个侧面 倒下到 的位置，连接 ，，，设 ，，，请利用四边形 的面积证明勾股定理．
答案
1. C
2. C
3. C
4. C
5. B
6. C
7. B 【解析】 中，由勾股定理可得 ．
根据折叠的性质可得 ，，，，，，
根据 ，可求得 ．
在 中，根据勾股定理可求得 ，
又 ，
，即 为等腰直角三角形，
，
．
8. D
9. B
10.
11.
12.
【解析】 ，，
，
又 于 ，
，
，
．
13. ，，，
14.
15.
16.
17.
18. ，
19.
20.
21.
22.
23.
24.
【解析】将正方体的侧面展开，如图所示：
，所以 .
25.
26. ， 或
【解析】分三种情况讨论．
如图，
，
，，
．
又 ，
是等边三角形，
．
如图，
，
，，
．
又 ，
．
在 中，．
如图，
，
，，
，
.
的长为 ， 或 ．
27.
【解析】 ，， 和 是四个全等的直角三角形，
．
四边形 和 都是正方形，
，
，，
，
解得 ．
28. 或
【解析】在锐角 中，，， 边上高 .
在 中，，，由勾股定理，得 ．
在 中，，，由勾股定理，得 .
的长为 .
的面积为 ．
在钝角 中，，， 边上高 .
在 中，，，由勾股定理，得 ．
在 中，，，由勾股定理，得 .
．
的面积 为 ．
29. （1） ．
（2） ，，
是等腰直角三角形，
，
，即 ，解得 （负值舍去）．
30. 设 米，则 米．作 于点 ，
则 米．
在 中，， 米， 米，
米，
米．
在 中，，
，解得 ．
商店与车站之间的距离为 米．
31. 因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
在 中，，
所以 ，
所以 ．
32. 设阅览室 到 点的距离为 ，则到 点的距离为 ．
在 和 中，，，
，
，
解得 ．
因此阅览室 应建在距 点 处，才能使它到 ， 两所学校的距离相等．
33. 如题图②，当 为锐角三角形时，．
理由如下：
过点 作 于点 ，
在 中，，
即 ．
在 中，，
即 ，
所以 ，
即 ．
整理得 ．
因为 恒大于 ，
所以 ．
如题图③，当 为钝角三角形时，．
理由如下：
过点 作 ，交 的延长线于点 ．
在 中，，
在 中，，
即 ．
所以 ，
整理，得 ．
因为 恒大于 ，
所以 ．
34. （1） 设 ，，．
，
，
，
．
依据勾股定理有 ，
．
（2） ，，，
．
又 ，
．
（3） 如图所示，过 作 ，垂足为 ，
在等边 中，，
．
在 中，由勾股定理得 ．
．
．
同理可得 ，
，
所以 ．
又 ．
．
35. 四边形 为直角梯形，则其面积为 ，另一方面，其面积为 ， 和 三个直角三角形的面积和，即 ．
所以 ，
所以 ．