2022-2023学年苏科版九年级数学上册2.2圆的对称性 知识点分类练习题 （word,含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》知识点分类练习题（附答案）
一．垂径定理
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，DE＝2，AB＝8，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B．8 C．3 D．10
3．如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．EO＝EB D．EC＝ED
4．已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（　　）
A．M B．P C．Q D．R
8．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD＝　 　．
9．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 　 　．
10．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　 　．
12．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
13．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝BE时，求DE的长．
14．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝8，求CD的长．
15．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点A、B、C．
（1）试确定所在圆的圆心O；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10厘米，腰AB＝6厘米，求圆片的半径R．（结果保留根号）
16．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
（1）CD的弦心距OF的长；
（2）弦CD的长．
二．垂径定理的应用
17．往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是 　 　cm．
18．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为　 　cm．
19．江南水乡常州现存100多座石拱桥，已知（如图）一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB＝　 　m．
20．如图是一个圆柱形输水管道的横断面⊙O，水面宽AB＝4cm，有水部分最低点为点C，满足OC⊥AB于点E，已知CE＝2cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求出阴影部分的面积．
21．如图，弓形铁片所在圆的圆心为点O，半径为13cm，弓形的高（弧的中点到弦的距离）CD的长度为8cm，求弦AB的长度．
22．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为　 　米．
23．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
三．圆心角、弧、弦的关系
24．下列语句，错误的是（　　）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
25．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数　 　．
26．如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
28．下列语句中，错误的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④方程x2 4x+5＝0的两个实数根之和为4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，
（1）求AD的长；
（2）若∠B＝28°，求弧的度数；
（3）若点P是线段AB上的动点，则线段CP的长度取值范围是　 　．
30．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
参考答案
一．垂径定理
1．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
2．解：如图，连接OA，
∵AB⊥CD，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
设OA＝r，
∵DE＝2，
∴OE＝r﹣2，
由OA2＝AE2+OE2得r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，即⊙O的半径为5，
故选：A．
3．解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，＝，EC＝DE，
故A，B，D正确，
故选：C．
4．解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图，
∴OC＝3，
而OA＝5，
∴PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；
在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，
∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．
故选：B．
5．解：
如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，
则∠OPA＝90°，
由勾股定理得：AP＝＝＝4，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴BP＝AP＝4，
即AB＝4+4＝8，
故选：C．
6．解：连接OB，如图所示：
设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4（cm），
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2+42＝r2
解得：r＝5，
∵△BOC的面积＝OC×BE＝×4×5＝10（cm2），
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴△OFC的面积＝△BOC的面积＝5（cm2），
故选：D．
7．解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：C．
8．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，
解得r＝10，
∴CD＝2r＝20，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故答案为：4．
9．解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，
∵CD⊥AB，MN∥CD，
∴∠ODM＝∠DME＝∠MEO＝90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，
在Rt△AOD中，（r﹣5）2+t2＝r2，①
在Rt△NOE中，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2，②
②×4﹣①得2r﹣21＝0，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
故答案为：．
10．解：∵A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），
∴OA＝2，OB＝2，
则AB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2OC＝4，
故答案为：4．
11．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝，
故答案为．
12．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
13．解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝BC，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．
∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2；
（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则OE＝x，DE＝6﹣x．
（2）2+（6﹣x）2＝（x）2，
解得x1＝﹣16（舍），x2＝4．
则DE＝2．
14．（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝8，
∴，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴，
∴．
15．解：（1）作DO⊥AB．DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；
（2）
设半径为r．连接OA，因为BA＝AC，故AO⊥BC．
所以：CD＝×10＝5，AD＝＝．
根据勾股定理，（r﹣）2+52＝r2，解得r＝．
16．解：（1）∵AE＝1cm，BE＝5cm，
∴AB＝AE+EB＝6cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵OF⊥CD，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝×2＝1（cm）；
（2）连接OD，
在Rt△ODF中，由勾股定理得：DF＝＝＝2（cm），
∵OF⊥CD，
∴CD＝2DF＝4（cm）．
二．垂径定理的应用
17．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故答案为：8．
18．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
19．解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB．∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3（m），
∴AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m）．
故答案为：8．
20．解：（1）连接OA
设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝2，
在Rt△OAE中，，
解得：r＝4；
（2）在Rt△OAE中，OE＝2，OA＝4，
∴∠EOA＝60°，
∵OE⊥AB，
∴，
∴∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积＝．
21．解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB，
∵OC＝OB＝13cm，CD＝8cm，
∴OD＝OC﹣CD＝5（cm），
∴BD＝＝＝12（cm），
∴AB＝2BD＝24（cm）．
22．解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．
23．解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
即：圆的半径为13cm．
所以圆的面积为：π×132＝169π（cm2）．
三．圆心角、弧、弦的关系
24．解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
25．解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．
26．（1）证明：连接AD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD＝＝8，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DF＝AB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴AE＝，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，
∴DE＝＝，
∴EC＝CD﹣DE＝．
27．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
28．解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中，
②等弦对等弧，错误，弦对的弧有劣弧与优弧两种情形．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，必须是完全重合的两条弧是等弧．
④方程x2 4x+5＝0的两个实数根之和为4．错误，方程无解．
故选：D．
29．解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AD＝2AM＝；
（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝62°，
连接CD，
∵AC＝CD，
∴∠CDA＝∠A＝62°，
∴∠ACD＝56°，
∴弧的度数是56°；
（3）线段CP的长度取值范围是≤CP≤4．
故答案为：≤CP≤4．
30．解：（1）连接DF、DG．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DGB＝90°，
∵＝，
∴∠EDF＝∠HDG，
∵∠DFB＝∠EDF+∠A，
∠DGB＝∠HDG+∠C，
∴∠A＝∠C．
（2）结论：α+β+θ＝180°．
理由：如图②中，连接DF，BH．
∵＝，
∴∠ADF＝∠HBG＝θ，
∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，
∴∠AFD＝∠DHB，
∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，
∴∠A+θ+∠C+θ＝180°，
∴α+β+θ＝180°．