2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 3.6二次函数的应用 题型分类练习题 （word版含答案）

2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《3.6二次函数的应用》题型分类练习题（附答案）
一．实际问题到二次函数
1．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
2．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
3．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：　 　（并写出自变量的取值范围）
4．如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（　　）
A．S＝t（0＜t≤3） B．S＝t2（0＜t≤3）
C．S＝t2（0＜t≤3） D．S＝t2﹣1（0＜t≤3）
二．课堂训练
5．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
6．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
7．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是　 　．
8．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　 　．
三．能力提升
9．长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（　　）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
10．如图，某涵洞的截面是抛物线的一部分，现水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，求涵洞所在抛物线的解析式．
11．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
四．二次函数的应用
13．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　）
A．3米 B．2米 C．5米 D．4米
14．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
15．如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是　 　米．
16．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售500件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，为了获得最大利润，其单价应定为　 　元．
五．课堂训练
17．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）
A．2m B．3m C．4m D．5m
18．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（　　）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
19．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为　 　．
20．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
六．能力提升
21．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（　　）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
22．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
24．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉棕和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉棕每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售猪肉棕的利润（单位：元）．
（1）猪肉棕和豆沙粽每盒的进价分别为 　 　元和 　 　元；
（2）若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？
（3）若x满足50≤x≤65，求商家每天的最大利润．
七．二次函数的综合
25．如图，直线y1＝﹣x+3与x轴于交于点B，与y轴交于点C．抛物线y2＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴另一个交点为A．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且S△MOC＝4S△AOC，求点M的坐标；
（3）设点P是线段BC上一动点，过P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
27．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线BC向右平移个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
八．课堂训练
29．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．
30．如图，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过A、B、C三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PF⊥BC，交线段BC于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若∠PCD+∠ACO＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标．
31．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．
（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．
九．能力提升
33．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+6的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．
（1）请求出该二次函数的表达式；
（2）请求出图象的对称轴和顶点坐标；
（3）在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
35．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；
（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．实际问题到二次函数
1．解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
2．解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
3．解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x
由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6，
故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
4．解：如图所示，
∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，
∴∠AOB＝∠A＝45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD＝∠A，
∴∠AOD＝∠OCD＝45°，
∴OD＝CD＝t，
∴S△OCD＝×OD×CD
＝t2（0＜t≤3），即S＝t2（0＜t≤3）．故选：B．
二．课堂训练
5．解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
6．解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
7．解：新正方形的边长为x+2，原正方形的边长为2．
∴新正方形的面积为（x+2）2，原正方形的面积为4，
∴y＝（x+2）2﹣4＝x2+4x，
故答案为y＝x2+4x．
8．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
三．能力提升
9．解：∵长方形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（6﹣x）cm，
面积y＝x（6﹣x），
故选：D．
10．解：根据题意得：A（﹣0.8，﹣2.4），
设涵洞所在抛物线解析式为y＝ax2，
把x＝﹣0.8，y＝﹣2.4代入得：a＝﹣，
则涵洞所在抛物线解析式为y＝﹣x2．
11．解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
12．解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，
∴S＝PB BQ＝PB （BE+EQ）
＝（6﹣t）（6+t）
＝﹣t2+18，
∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．
四．二次函数的应用
13．解：以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
如图，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，10）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3米．
故选：A．
14．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
15．解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
16．解：设单价定为x，总利润为W，
则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90），
由题意得，W＝（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝﹣10x2+2400x﹣135000＝﹣10（x﹣120）2+9000，
故可得，当x＝120时，W取得最大，
即为了获得最大利润，其单价应定为120元．
故答案为：120．
五．课堂训练
17．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，由题意，得
10＝a+，
a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，
0＝﹣（x﹣1）2+，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
OB＝3m．
故选：B．
18．解：把A代入得：
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
19．解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
∵由AB＝20，AB到拱桥顶C的距离为4m，
则C（10，4），A（0，0），B（20，0）
把A，B，C的坐标分别代入得a＝﹣0.04，h＝10，k＝4
抛物线的解析式为y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
故答案为：y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
20．解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
六．能力提升
21．解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，
当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，
故选：C．
22．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
23．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；
（3）设商场每天的盈利为y元，由（2）可知：
y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000，
∵﹣20＜0，
∴当x＝﹣＝7.5时，y取最大值，
∴当x＝7.5时，y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元），
答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，为6125元．
24．解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则＝，
解得a＝40，
经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
故答案为：40，30；
（2）∵每盒利润率不超过50%，
∴40≤x≤60，
由题意得，（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，
整理得，x2﹣140x+4675＝0，
解得x1＝85（舍去），x2＝55．
答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；
（3）设商家的利润为y元，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为1750．
答：最大利润为1750元．
七．二次函数的综合
25．解：（1）由直线y1＝﹣x+3得：B（3，0），C（0，3），
将其代入y2＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故抛物线y2的解析式是：y2＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线y2的解析式y2＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）知，A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
又∵C（0，3），
∴OC＝3．
设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∵S△MOC＝4S△AOC，
∴×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，
∴x＝±4，
当x＝4时，﹣x2+2x+3＝﹣16+8+3＝﹣5；
当x＝﹣4时，﹣x2+2x+3＝﹣16﹣8+3＝﹣21，
∴点M的坐标为（4，﹣5）或（﹣4，﹣21）；
（3）设P（a，﹣a+3），此时Q（a，﹣a2+2a+3），
∴PQ＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+．
∴该抛物线顶点坐标是（，），且开口向下，
∴当a＝时，PQ取最大值．
26．解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝＝﹣（a﹣4）2+4，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）．
27．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，0），
则EC+ED的最小值为DC′＝；
（3）①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，
则PB＝PA＝m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4，
则PB2＝2m2＝16+8
则yP＝＝2+2；
②当点P在x轴下方时，
则yP＝﹣（2）；
故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）．
28．解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入抛物线公式，如下：
，
求得．
抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）设P到直线BC的距离为d，P点坐标为（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），
∵y＝﹣x2+3x+4交y轴于点C，
令x＝0，
∴y＝4，
∴C（0，4），
由B（4，0），C（0，4）两点求得直线BC的解析式为：y+x﹣4＝0．
作直线BC的平行线K：y＝﹣x+m，因为K与BC平行，我们将K平移，根据题意，点P是直线BC上方抛物线上的一点，
∴随着K平行移动，以BC为底的△PBC的高d在逐渐增大，当K与抛物线y＝﹣x2+3x+4恰有一个交点时，此时以BC为底的△PBC的高d最大，即此时△PBC面积最大．
∵此时K：y＝﹣x+m与抛物线y＝﹣x2+3x+4相交，且仅有一个交点，
∴﹣x+m＝﹣x2+3x+4，m＝8．
∴直线K：y＝﹣x+8．
此时求K和抛物线的交点为：
﹣x+8＝﹣x2+3x+4，解得x＝2，
将x＝2代入直线K：y＝﹣x+8，
解得y＝6．
因此P（2，6）．
现在我们来求P到直线BC的距离，即△PBC的高d：
过P作垂直于BC的直线k：y＝x+m．
∵P在直线k上，
∴6＝2+m，
∴m＝4，直线k＝x+4．
直线K与直线k的交点为：，
解得交点坐标（0，4），即交点为C点．
因此的△PBC的高d即为B点和C点两点之间的距离，
∴d＝|BC|＝＝．
在△PBC中，
∵|BC|＝4，△PBC的面积的最大值S△PBC＝|BC| d＝＝8．
（3）存在．直线BC向右平移个单位得到直线l，
∴l：y＝﹣（x﹣）+4＝﹣x+．
，解得．
二次函数y＝﹣x2+3x+4对称轴为x＝，
∵直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，
∴x＝，代入y＝﹣x+＝．
∴Q（）．
设T（a，b）．
∵R为直线BC上的一动点，∴设R（x，﹣x+4）．
在菱形中PQTR中，|PR|＝|QP|，
（2﹣x）2+（[6﹣（﹣x+4）]2＝（2﹣）2+（6﹣）2
解得x＝±，
当x＝时，点R的坐标（，4﹣），此时T点坐标为：T（+，﹣）．
当x＝﹣时，R（﹣，4+），此时T（﹣+，+）
综上所述：T存在两点，分别为：（+，﹣）或（﹣+，+）．
八．课堂训练
29．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，x2﹣4x+3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，﹣x+3），
∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵A（3，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，
此时，点P（2，﹣1），
综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．
30．解：（1）在y＝﹣3x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，得﹣3x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，BC＝＝＝3，
设P（m，m2﹣2m﹣3），过点P作PT∥y轴交直线BC于点T，则T（m，m﹣3），
∴PT＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵PF⊥BC，
∴∠PFT＝∠BOC＝90°，
∵PT∥y轴，
∴∠PTF＝∠BCO，
∴△PTF∽△BCO，
∴＝，即：＝，
∴PF＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PF取得最大值；
（3）设P（t，t2﹣2t﹣3），分以下两种情况：
①当点P在直线BC下方的抛物线上时，如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，
则M（0，t2﹣2t﹣3），
∴CM＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣3）＝t2﹣2t，PM＝t，
∵∠PCD+∠ACO＝45°，∠BCO＝45°，
∴∠ACP＝90°，
∴∠PCM+∠ACO＝∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠PCM＝∠CAO，
∵∠PMC＝∠AOC＝90°，
∴△PCM∽△CAO，
∴＝，
∴＝，
∴3t2﹣7t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝，
当t＝时，t2﹣2t﹣3＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣）；
②当点P在直线BC上方的抛物线上时，如图3，过点P作PM⊥y轴于点M，
则M（0，t2﹣2t﹣3），
∴CM＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣3）＝t2﹣2t，PM＝t，
∵∠PCD+∠ACO＝45°，∠PCD+∠PCM＝45°，
∴∠PCM＝∠ACO，
∵∠PMC＝∠AOC＝90°，
∴△PCM∽△ACO，
∴＝，
∴＝，
∴t2﹣5t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝5，
当t＝5时，t2﹣2t﹣3＝52﹣2×5﹣3＝12，
∴P（5，12），
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（5，12）．
31．解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
（3）如图1中，
由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，
连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，
此时P（，）．
（4）如图2中，存在．
观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，
对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，
∴N1（3，4）．
当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，
∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．
32．解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得
，解得，
这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），
直线AG为y＝﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），
PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3
当x＝时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（，﹣），S△APG最大＝××3＝．
九．能力提升
33．解：（1）将A，B两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得
．
解得．
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+6．
（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，8）．
（3）存在，理由如下：
如图，作点C关于二次函数图象的对称轴的对称点C′，连接AC′，交二次函数图象的对称轴于点P，此时△APC的周长最小．
∵C（0，6），
∴C′（4，6）．
设直线AC′的表达式为y＝kx+n，则．
解得．
∴直线AC′的表达式为y＝x+2．
当x＝2时，y＝4，即P（2，4）．
34．解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
35．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
36．解：将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，解得，
∴解析式为；
（2）当x＝0时，，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（4，0），C（0，3）分别代入得，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，
过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，
∵A（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝﹣＝，
∴，，
∵AG∥y轴∥DF，
∴△DEF∽△AEG，
∴，
∴＝，
∴DF＝3，
设，，
∴，
解得：t1＝t2＝2，
∴，
∴，AH＝1+2＝3，
在Rt△ADH中，；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，
设P（x，﹣x+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得：x＝，
当x＝﹣时，P（﹣，），
∴Q（﹣﹣1，），
当x＝时，P（，﹣），
∴Q（﹣1，﹣）；
②如图3，四边形APCQ是菱形，
∵BC＝AB＝5，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴P与B重合，
∴Q（﹣5，3）；
③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P（，），
∴Q（，）；
综上，点Q的坐标为（﹣﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣5，3）或（，）．