苏教版（新课标）数学高一必修1第一章集合 扩展提升（Word版含解析）

苏教版（新课标）数学高一必修1第一章集合 扩展提升
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下面给出四个论断：①是空集；若，则；集合有两个元素；集合是有限集．其中正确的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设a，b，c为非零实数，则的所有值所组成的集合为( )
A. B. C. D.
如图所示，I是全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
已知集合，，若且，则a的值为( )
A. 或1 B. 1或3 C. 或3 D. 1，或3
已知集合，则下列集合一定不是B的子集的是( )
A. B. C. D.
设，则集合，若，则( )
A. 0 B. 2 C. D. 1
已知集合或，或，若中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
用表示非空集合A中元素的个数，定义
已知，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
若集合中只有一个元素，则实数k的可能取值是( )
A. 0 B. 1 C. D.
深圳外国语学校高一期中]集合Z，Z，Z之间的关系表述正确的有 ( )
A. B. C. D.
设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
若集合A具有以下性质：
，
若，，则，且时，
则称集合A是“好集”.下列命题中正确的是( )
A. 集合是“好集”
B. 有理数集Q是“好集”
C. 整数集Z不是“好集”
D. 设集合A是“好集”，若，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
满足的集合A的个数是__________.
已知集合各元素之和等于3，则实数__________.
设非空集合，若，则__________ ；若，则实数m的取值范围是__________ .
设，3，4，5，6，7，8，，，，，，则集合__________，__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知集合
若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
本小题分
已知集合，集合
若，求实数m的取值范围；
若，求实数m的取值范围．
本小题分
设全集R，集合或，求
；
记，，且，求a的取值范围.
本小题分
在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的有多少人？
本小题分
设集合，
若，求实数a的取值范围.
是否存在实数a，使若存在，求出a的值;若不存在，说明理由.
本小题分
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
设集合__________，集合
若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；
若，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了集合的含义，元素与集合的关系，集合中元素的性质：无序性、确定性、互异性，属于中档题．
对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】
解：中有元素0，不是空集，①不正确；
若，则，且，②不正确；
集合只有1个元素1，③不正确；
集合是无限集，④不正确．
故选

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的表示方法，含有绝对值的代数式计算问题，关键是去掉绝对值，化简即可，属于拔高题．
分a、b、c是大于0还是小于0进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结果．
【解答】
解：，b，c为非零实数，
当，，时，；
当a，b，c中有一个小于0时，不妨设，，，
；
当a，b，c中有两个小于0时，不妨设，，，
；
当，，时，；
的所有值组成的集合为
故选

3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查Venn图，属于中档题．
根据Venn图分析阴影部分与集合M，P，S的关系，进而可得答案．
【解答】
解：由已知的Venn图可得：
阴影部分的元素属于M，属于P，但不属于S，
故阴影部分表示的集合为，
故选

4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
由题意得出或，解得或，再验证，即可求出结果.
【解答】
解：因为，
所以或，
即或，
当时，，，不满足互异性，故舍去；
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
所以a的值为1或
故选

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的运算，以及子集的定义，属于中档题.
由题意，可得5，，4，，由此可得结论.
【解答】
解：，，
，，4，，
一定不是B的子集.
故选

6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查集合的化简和集合相等，属于中档题.
分类讨论集合P和集合Q，利用，得出a，b的值，再求出的值.
【解答】
解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
因为，所以只能是，
所以，，
则
故选

7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查交集、补集的运算．
可根据题意得出，根据条件得出或，从而可得出a的取值范围．
【解答】
解：根据题意，，则，
又或，中恰好含有2个整数，
或，
故选

8.【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得，结合，易得或3，当时，若要满足题意，则有两个相等实根，此时没有实根，当时，若要满足题意，则有两个不等实根，且有两个相等实根，即可求出a的值.
本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，考查分类讨论思想与运算求解能力．
【解答】
解：由已知得，因为，所以或
当时，若要满足题意，则有两个相等实根，即，即，此时没有实根，所以符合题意；
当时，若要满足题意，则有两个不等实根，且有两个相等实根，即且，所以
综上，或，故
故选

9.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查了集合中元素的个数问题，属于拔高题．
通过对是否为0进行分类讨论，即可得.
【解答】
解：由集合中只有一个元素，
当，即时，，即，，成立；
当时，，解得，
则，成立；
综上，或
故选

10.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合间的相关关系，属于基础题.
把集合用列举法表示出来，即可判断两个集合的关系.
【解答】
解：表示被3除余1的数的集合，
表示被3除余1的数的集合，
表示被6除余1的数的集合，
故，，
故选

11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的交集，并集，补集的混合运算以及集合之间的基本关系的运用，属于中档题．
根据题意，先画出Venn图，据图判断各答案的正确性即可．
【解答】
解：A、B、I满足，先画出Venn图，如下图：
根据Venn图可判断出A、D都是正确的；
而，故B错误.
，故C正确.
故选

12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查元素与集合的关系.
根据“好集”的定义，分别进行判断即可．
【解答】
解：对于A，假设集合 B是“好集”，因为，，所以，
这与矛盾，所以集合 B不是“好集”，故 A错误;
对于B，因为，，且对任意的，，有，且时，，所以有理数集Q是“好集”，故B正确;
对于C，因为，但，所以整数集Z不是“好集”，故C正确;
因为集合A是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，
即，故D正确.
故选

13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了子集与真子集的概念，熟练掌握集合间的关系是解题的关键，是基础题．
利用集合间的关系可知：集合A中除了含有1，2两个元素以外，至多含有另外一个元素，据此即可求出答案．
【解答】
解：，
集合A中除了含有1，2两个元素以外，至多含有另外一个元素，
因此满足条件的集合A为， ， 共3个．
故答案为

14.【答案】2或
【解析】
【分析】
本题考查了集合中元素的性质，属于中档题.
由题意知M中元素为的解，设的解为，
对于方程，方程有解，设为，讨论是否相等结合集合中元素的性质即可求实数
【解答】
解：由题意知：中元素，
即为的解，
或，
设的解为，
对于方程，，方程有解，设为，
所以：或，
当时，；当时，，
或，
故答案为：2或

15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
把代入确定出A，求出A与B的交集即可；根据A为B的子集，确定出a的范围即可．
【解答】
解：把代入得：，
，
；
，
，即，
解得：，即m的取值范围为，
故答案为；

16.【答案】，8，
，5，7，

【解析】
【分析】
本题主要考查了集合中元素的性质以及交并补混合运算，属于拔高题．
利用交集和并集及补集的相关概念即可判断出A集合和B集合的元素．
【解答】
解：因为，3，4，5，6，7，8，，，，
所以B集合中含有2，3，7这几个元素且A集合中不含有2，3，7这几个元素，
同理，可推出A集合含有1，8这两个元素，B集合中不含有1，8这两个元素，
，可以推出A，B两集合都不含有4，6两个元素；
所以，8，，，5，7，；
故答案为，8，；，5，7，

17.【答案】解：中有两个元素，
方程有两个不相等的实数根，
，且
故所求的a的取值范围是且
若A中至多有一个元素，则A中有一个元素或者A中没有元素，
当时，；
当时，若关于x的方程有两个相等的实数根，
则，即；
若关于x的方程无实数根，
则，即
故所求的a的取值范围是或

【解析】本题考查根据集合中元素的个数求参数的范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．
由A中有两个元素，知关于x的方程有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围；
若A中至多有一个元素，则A中有一个元素或者A中没有元素，通过讨论当时，当时的情况，结合二次函数的性质求出实数 a的取值范围.
18.【答案】解：由知：，
得，即实数m的取值范围为；
由，得：
①若即时，，符合题意；
②若即时，需或，
得或，即，
综上知
即实数m的取值范围为
【解析】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答题时要分类讨论，以防错解或漏解．
本题的关键是根据集合，集合且，理清集合A、B的关系，求实数m的取值范围；
若，分两种情况进行讨论求解即可．
19.【答案】解：由题意知或，，
或，
又全集，
由得，由得，
①当时，有，解得；
②当时，有，解得，
综上，a的取值范围为
【解析】本题考查集合的交并补混合运算，子集，集合关系中的参数取值范围问题.
根据题意和并集的运算求出，再由补集的运算求出；
由得集合D，由得，根据子集的定义对C是空集和不是空集两种情况讨论求解，分别列出不等式求出a的范围．
20.【答案】解：方法一：设同时参加田赛和球类比赛的有x人，参加径赛的同学组成集合A，参加田赛的同学组成集合B，参加球类比赛的同学组成集合C，
所以，，，
由题意可知，，，
所以，解得，
所以同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有人；
解法二：设全班同学组成全集U，参加径赛的同学组成集合A，参加田赛的同学组成集合B，参加球类比赛的同学组成集合C，
根据题意，画出韦恩图如图所示
，
在相应的位置填上数字，则，
解得，
所以同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人；
【解析】方法一：设同时参加田赛和球类比赛的有x人，参加径赛的同学组成集合A，参加田赛的同学组成集合B，参加球类比赛的同学组成集合C，利用集合元素个数之间的关系，列出方程，求出x的值，进而求出只参加径赛的人数；方法二：利用韦恩图求解．
本题主要考查了集合的元素个数，以及韦恩图的应用，是中档题．
21.【答案】解： 易知，
，
，
当时，，满足题意；
当时，若，则方程无实根，
于是，即；
若，则或或，经检验a均无解.
综上所述，实数a的取值范围为或；
要使，
，，
只有或或三种可能，由知，
若，则有，a无解；
若，则有，a无解；
若，则有，a无解，
故不存在实数a，使
【解析】本题考查集合关系中的参数取值问题、集合的并集运算.
由题意得出，对a讨论，即可求出结果；
要使，只有或或三种可能，对集合B讨论，即可求出结果.
22.【答案】解：集合B的子集有2个，
集合B的元素个数为1，
，解得：；
若选①，集合，
集合，
，
，显然有，
要满足条件，必有：，
解，即，
所以，解得或；
解，即，
所以，解得或；
综上可得；
若选②，，集合，
，
要满足条件，必有：，解得；
若选③，，解得，
集合，
，
，
要满足条件，必有：，解得
【解析】本题考查了并集及其运算，子集与真子集，考查了集合关系中的参数取值问题，不等式的求解.
由题意可得集合B的元素个数为1，再根据就可求出a的值；
选①，求出集合A、B，根据题意可得且，即可求出a的取值范围；
选②，求出集合A、B，根据题意可得，即可求出a的取值范围；
选③，求出集合A、B，根据题意可得，即可求出a的取值范围.
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