2022—2023学年北师大版八年级数学上册 1.3勾股定理的应用 同步复习小测 （Word版含答案）

1.3勾股定理的应用---八年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　)
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
2．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．有一直角三角形纸片，∠C=90°，BC=6，AC=8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．4
4．如图，在中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于
A． B． C． D．
二、填空题
5．一个直角三角形的两边长分别是 和 ，则第三边长的平方为　 　.
6．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于　 　 .
7．将一根长为 的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是　 　.
8．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm、高为9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所走的最短路线的长是　 　
三、解答题
9．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
10．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面 ，树的顶端离树根 ，则这棵树在折断之前的高度是多少米？
11．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
12．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
【基础提升答案】
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝ ＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故答案为：A.
【分析】由题意求出离门的距离CE的长，灯刚好发光；在直角三角形ACE中，用勾股定理可求得CE的值即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 ．
故选D．
【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠使点A与点B重合，
∴AE=BE，
设CE=x，则AE=BE=8-x，
在Rt△BCE中，
BC2+CE2=BE2
∴62+x2=（8-x）2
解之：x=.
∴CE=.
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质，可知AE=BE，设CE=x，则AE=BE=8-x，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CE的长。
4．【答案】C
【解析】【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一性质可求得AM的长，再根据面积公式即可求得MN的长．
如图，连接AM，
∵AB=AC=5，点M为BC的中点，
∴AM⊥CM，
∴，
∵，
∴，
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线重合。
5．【答案】40或58
【解析】【解答】解：3和7是直角边，第三条边的平方是 ，
3是直角边，7是斜边，第三条边的平方是 .
故答案为：40或58.
【分析】分①3和7是直角边，②3是直角边，7是斜边，利用勾股定理即可求出第三条边的平方.
6．【答案】50
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，
∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，
同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，
∴四个小正方形的面积=2×5×5=50.
故答案为：50.
【分析】 由于所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，根据正方形的面积计算方法及勾股定理即可得出： 正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，从而即可解决问题.
7．【答案】5≤h≤6
【解析】【解答】∵将一根长为18cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm
∴h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度
∴由勾股定理得，杯子斜边长度
∴
∴
故答案为：5≤h≤6.
【分析】由题意得，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，再根据勾股定理求出杯子斜边长度，即可求出 的取值范围.
8．【答案】15cm
【解析】【解答】解：
如图所示，点A到点B的最短距离为=15
【分析】根据题意，画出长方体的展开图，根据两点之间线段最短以及勾股定理，即可得到答案。
9．【答案】解：由题意得，AC=6× =3km，BC=8× =4km，∠ACB=90°，
则AB= =5km.
【解析】【分析】据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可.
10．【答案】解：如图，
在 中，
（米）
答： 这棵树在折断之前的高度是 米.
【解析】【分析】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．
11．【答案】解： ，
，
米每秒，
答：敌方汽车的速度为30米每秒．
【解析】【分析】根据勾股定理求得BC的长度，再根据速度=路程÷时间即可求得汽车的速度。
12．【答案】解：∵在中，
∴
∴
∵在中
∴
∴．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出CE的长，再求出CD的长，最后利用AD=CD-AC计算即可。
【能力提升】
一、单选题
1．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 ，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(　　)
A．(2 +2)m B．(4 +2)m C．(5 +2)m D．7m
3．如图所示，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为(　　)
A．600m B．500m C．400m D．300m
4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　)
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题
5．一种圆柱形口杯（厚度忽略不计），测得内部底面半径为 ，高为 .吸管如图放进杯里，杯口外面露出部分长为 ，则吸管 的长度为　 　 .
6．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面的部分 为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部 恰好碰到岸边的 ，则这根芦苇的长度是　 　尺．
7．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　 　米．
8．如图，已知在 中， ， ，分别以 ， 为直径作半圆，面积分别记为 ， ，则 + 的值等于　 　．
三、解答题
9．如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=36m，BC=39m，求这块地的面积．
10．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还余1m（如图），当他拉着绳子的下端，使其离旗杆5m时，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长.
12．如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，∠NPQ=30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？
【能力提升答案】
1．【答案】A
【解析】【解答】∵在山坡上相邻两树之间的水平距离为4m，
而竖直高度为 m
∴相邻两树间的坡面距离为
故答案为：A.
【分析】根据已知条件用勾股定理求解。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2， 4BD2+BD2=100， BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求。
3．【答案】B
【解析】【解答】如图所示．
∵BC∥AD，所以∠DAE=∠ ACB．
又BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA= 90°．
∵AB= DE=400 m，所以△ABC≌△DEA．
∴EA= BC= 300 m．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+ BC 2= 5002，
∴AC=500 m，所以CE=AC- AE= 200 m，
从B到E的两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m．．
所以最近的路程是500 m．
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可证得∠DAE=∠ ACB，利用垂直的定义可证得∠ABC=∠DEA，再利用；再利用AAS证明△ABC≌△DEA，利用全等三角形的性质可求出AE的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用CE=AC- AE，可求出CE的长；观察图形可知从B到E的两种走法，分别求出两种走法的路径长，比较大小，可作出判断.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长的直角边为a，较短的直角边长为b，
∴a2+b2=c2,即c2-b2=a2
阴影部分的面积为
c2-b2-a（c-b）
=a2-ac+ab
=a（a-c+b）
∴较小的两个正方形重叠部分的长为a-（c-b），宽为a，
∴较小两个正方形重叠部分的的面积为a（a-c+b）
∴知道阴影部分的面积就一定能求出较小的两个正方形重叠部分的面积.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得c2-b2=a2，再根据正方形的面积及长方形的面积可证得阴影部分的面积为a（a-c+b），从而可得到较小的两个正方形重叠部分的长和宽，即可得出结论。
5．【答案】17
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
杯子底面半径为 ，高为 ，
， ，
吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，
，
杯口外面露出 ，
吸管的长为： .
故答案为： .
【分析】根据吸管、杯子的直径及高恰好构成直角三角形，由勾股定理即可得出结论.
6．【答案】13
【解析】【解答】设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【分析】设芦苇长为x尺，则水深为(x-1)尺，结合底面是正方形，在Rt△AB'C中，利用勾股定理列方程求解即可.
7．【答案】15
【解析】【解答】如图，
设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．
故这棵树高15m．
【分析】设树的高度为x米，可得BD+AB=30-（x-10），在Rt△ADC中，根据勾股定理建立方程，解出方程即可.
8．【答案】2π
【解析】【解答】 ，
则 + =
在直角三角形ABC中有：
则 + =
故答案为：2π
【分析】首先把 与 的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边AB平方的关系，然后得到 + 的值．
9．【答案】解：连接AC，则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，
在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC﹣S△ACD= AC BC﹣ AD CD= ×15×36﹣ ×12×9=270﹣54=216．
答：这块地的面积是216平方米．
【解析】【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
10．【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中， ，
∴ ，解得 ，
∴旗杆的高12m.
【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高.
11．【答案】解：延长AD、BC，两条延长线交于点E,
∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠E=60°
∵∠ADC=120°
∴∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
则CD=CE=DE
设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1
∵ 在Rt△ABE中，∠A=30°
∴ x+4=2(x+1)
解得：x=2
∴CD=2.
【解析】【分析】先根据图形无法直接求出CD的长度，所以只能延长AD,BC构成等边三角形DCE，再根据直角三角形的性质求出CD的长度。
12．【答案】解：过A作AB⊥MN，垂足为B，
在MN上取点C,D,使AC=AD=100米，
在Rt△APB中，∠APB=30°,AP=160米，
∴AB= 米，
∵80<100,
∴学校会受到噪音影响.
∵AC=AD=100，AB=80，
∴由勾股定理求得，BC=BD=60米，
∴CD=120米，
∴学校受噪音影响的时间长为 秒.
【解析】【分析】学校是否受到噪音影响，只要确定学校A到公路MN的距离是否小于受噪音影响的范围即可；受噪音影响的时长取决于拖拉机在公路上某段行驶的路程，即开始受噪音和结束受噪音影响两点之间的距离，求出此距离可解决问题.