2022-2023学年人教版八年级数学上册 11.1 与三角形有关的线段 同步测试卷 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册 11.1 与三角形有关的线段 同步测试卷 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 537.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-07 11:34:02 | ||
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文档简介
11.1 与三角形有关的线段
考点一、三角形三边的关系
知识点：
①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；
②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
理论依据：两点之间线段最短；
判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形：
当a最长，且有 b + c > a时，就可构成三角形。
确定三角形第三边的取值范围：|a－b| ＜ c ＜ a＋b
相应练习：
1、三角形的三边长分别为2，，5，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 cm.
3、已知的两边长a和b满足.
（1）若第三边长为c，求c的取值范围.
（2）若是等腰三角形，求的周长.
4、若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
5、已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.
挑战题：
1、不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是
考点二、三角形的高、中线与角平分线
知识点：
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
①锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点；
②直角三角形的三条高线交于直角顶点；
③钝角三角形的三条高线所在直线交于三角形外部一点。
三条高线的交点称为“垂心”。
2、三角形的中线
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫做“三角形的重心”；
重要结论：①BD＝CD＝BC
②S△ABD＝S△ADC＝S△ABC
③C△ABD－C△ADC＝AB－AC
3、三角形的角平分线
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做“三角形的内心”。
相应练习：
1、如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ）
A．在 中， 是 边上的高
B．在 中， 是 边上的高
C．在 中， 是 边上的高
D．在 中， 是 边上的高
2、利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
4、如图，点D为 中AC边的中点，将此三角形沿 折叠，使点 落在 边上的中点 处．若AC=6，AB=8，则△ADP的周长等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．14
5、如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米
A．8 B．12 C．16 D．18
6、如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
7、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（ ）个①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH.
A．1 B．2 C．3 D．4
8、如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为 ．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是 ．
9、如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
10、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠BOA＝120°，求∠DAE和∠C的度数．
11、如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，将三角形的周长分为15cm和12cm两部分AB＋AC＝21，求AB、AC的长.
12、如图，在 中， ， 边上的高 ， 为 边上任一点， 于点 ， 于点 ，求 的值.
挑战题：
1、如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点三、三角形的稳定性
知识点：
1. 三角形具有稳定性。
2. 四边形及多边形不具有稳定性。
相应练习：
1、人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2、如图，工人师傅做了一个长方形窗框 分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不能钉在（ ）
A． 两点之间 B． 两点之间
C． 两点之间 D． 两点之间
3、小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
答案解析：
考点一、三角形三边的关系
1、【答案】D
【解析】【解答】解： 三角形的三边长分别为2，，5，
由①得：
由②得：
所以：
所以x的取值范围是
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，据此解答即可.
2、【答案】3
【解析】【解答】解：设腰长为x，则底边为7-2x.
∵7-2x-x＜x＜7-2x+x，
∴1.75＜x＜3.5，
∵三边长均为整数，
∴x可取的值为2或3，
故各边的长为2，2，3或3，3，1.
∴该三角形最长边的长为3cm.
故答案为：3.
【分析】设腰长为x，则底边为7-2x，根据三角形的三边关系可得x的范围，结合x为整数可得x的值，进而得到三角形的三边长，据此可得最长边的长.
3、【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
第三边长为c，求c的取值范围是：，
即.
（2）解：由（1）得，，，
是等腰三角形，当a为腰时，的周长为：9+9+4=22，
当b为腰时，4+4＜9，不能构成三角形，舍去.
【解析】【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，求出a、b的值，再利用三角形的三边关系求出C的范围即可；
（2） 分两种情况：当a为腰、b为底或当b为腰、a为底，据此分别求解即可.
4、【答案】（1）解：根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）解：因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m 2）＋（2m＋1）＋8＝3m＋7＝3×4＋7＝19．
【解析】【分析】（1）根据三角形三边的关系可得，再求出m的取值范围即可；
（2）根据m的值为整数可得m的值，再利用三角形的周长公式计算即可。
5、【答案】解：∵b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|
=(b+c-a)-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)
=(b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b
【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边及不等式的性质得出 b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，合并同类项即可.
挑战题：
【答案】5
【解析】【解答】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，
∴6＞高＞3，
∵是不等边三角形，且高为整数，
∴高的最大值为5，
故答案为：5．
【分析】根据 不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12， 求解即可。
考点二、三角形的高、中线与角平分线
1、【答案】C
【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；
D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.
2、【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C均不是高线．
故答案为：D．
【分析】利用作高的方法对每个选项一一判断即可。
3、【答案】A
【解析】【解答】解：∵线段AP是BC边上在的高线，
∴根据垂线段最短得：PA≤AQ，PA≤AR.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得底边的高线、中线和角平分线重合，然后结合垂线段最短的性质进行判断.
4、【答案】C
【解析】【解答】解：∵△PDE是△CDE沿DE折叠而来，
∴CD=DP，
∵点D为AC的中点，AC=6
∴CD=DP=AD=3，
∵点P为AB的中点，AB=8，
∴AP= =4，
∴△ADP的周长=AD+DP+AP=3+3+4=10．
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质可得CD=DP，再利用中点的性质可得CD=DP=AD=3，AP= =4，最后利用三角形的周长公式计算即可。
5、【答案】C
【解析】【解答】解：∵F是EC的中点，
∴，
∴，
∵ E是BD的中点 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质可得，，，再结合，即可得到。
6、【答案】D
【解析】【解答】解：连接AE和CD，
∵BD=AB，
∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，
∵AF=3AC，
∴FC=4AC，
∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，
同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；
S△DCE=2S△BCD=2×1=2；
∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18.
故答案为：D.
【分析】连接AE和CD， 根据同高三角形的面积之间的关系可得S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=2，S△FCD=4S△ACD=8，同理可得：S△ACE=2S△ABC，则S△FCE=4S△ACE，S△DCE=2S△BCD，然后根据S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE进行计算.
7、【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线
∴AE=CE
∵∠BAC=90°
∴ ，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积
故①正确；
∵AD是BC边上的高
∴∠FAG+∠ABC=90°
∵∠BAC＝90°
∴∠ABC+∠ACB=90°
∴∠FAG=∠ACB
∵CF是∠ACB的角平分线
∴∠FCB= ∠ACB=∠ACF
∴
故②错误；
∵∠AFG+∠ACF=∠DGC+∠FCB=90°，∠AGF=∠DGC
∴∠AFG=∠AGF
∴AF=AG
故③正确；
根据已知条件无法证明BH=CH
故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据三角形中线的性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，据此判断①；根据余角的性质可得∠FAG=∠ACB，由角平分线的定义可得∠FCB=∠ACB=∠ACF，即得，据此判断②；根据余角的性质可得∠AFG=∠AGF，可得AF=AG，据此判断③；根据已知条件无法证明BH=CH，据此判断④.
8、【答案】16；
【解析】【解答】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF= BC，EG= AC，FG= AB，
∴EF+FG+EG= （BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为 ×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（ ）n-1，
故答案为：16，64×（ ）n-1．
【分析】根据三角形中位线定理求出△EFG的周长；然后找出规律，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（ ）n-1。
9、【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
10、【答案】解：∵AE是角平分线，∠CAB＝50°，
∴ ，
∵∠BOA＝120°，
∴ ，
∵BF是角平分线，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
∵AD是高，
∴ ．
【解析】【分析】根据AE是角平分线，∠CAB＝50°，求出 ，再根据∠BOA＝120°，利用三角形内角和定理求出∠ABF的度数，再根据BF是角平分线，得出 ，再利用三角形的内角和定理可求出∠AEB的度数，即可求出∠EAD的度数，即可得出结论。
11、【答案】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长=AB＋BD＋AD，
△ACD的周长=AC＋CD＋AD =AC＋BD＋AD，
∴△ABD的周长－△ACD的周长=AB－AC=3.
又∵AB+AC=21，
即： ，
解方程组，得，AB=12，AC=9
答：AB和AC的长分别为12cm和9cm.
【解析】【分析】由中线的定义可得BD=CD， 由三角形的周长差可得AB－AC=3. 结合已知可得关于AB、AC的方程组，解方程组可求得AB、AC的长.
12、【答案】解：连接 ，
∵CD⊥AB， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
【解析】【分析】连接AP，根据三角形面积的计算公式即可得到PM+PN的值。
挑战题：
【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴①，
过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，
∴ ， ，
∵BD＝4AD，
∴ ，
∴②，
①－②得： ，
∵CM⊥AB，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
考点三、三角形的稳定性
1、【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加梯子的稳定性.
故答案为：B.
【分析】三角形具有稳定性，据此解答即可.
2、【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A．若钉在E，H两点之间构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B．若钉在A，C两点之间能构成三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C．若钉在F，E两点之间能构成三角形，能固定窗框，故不符合题意；
D．若钉在E，G两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形的定义判断求解即可。
3、【答案】解：如图所示：
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】 根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性.
考点一、三角形三边的关系
知识点：
①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；
②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
理论依据：两点之间线段最短；
判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形：
当a最长，且有 b + c > a时，就可构成三角形。
确定三角形第三边的取值范围：|a－b| ＜ c ＜ a＋b
相应练习：
1、三角形的三边长分别为2，，5，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为 cm.
3、已知的两边长a和b满足.
（1）若第三边长为c，求c的取值范围.
（2）若是等腰三角形，求的周长.
4、若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
5、已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.
挑战题：
1、不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是
考点二、三角形的高、中线与角平分线
知识点：
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
①锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点；
②直角三角形的三条高线交于直角顶点；
③钝角三角形的三条高线所在直线交于三角形外部一点。
三条高线的交点称为“垂心”。
2、三角形的中线
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫做“三角形的重心”；
重要结论：①BD＝CD＝BC
②S△ABD＝S△ADC＝S△ABC
③C△ABD－C△ADC＝AB－AC
3、三角形的角平分线
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做“三角形的内心”。
相应练习：
1、如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ）
A．在 中， 是 边上的高
B．在 中， 是 边上的高
C．在 中， 是 边上的高
D．在 中， 是 边上的高
2、利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
4、如图，点D为 中AC边的中点，将此三角形沿 折叠，使点 落在 边上的中点 处．若AC=6，AB=8，则△ADP的周长等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．14
5、如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米
A．8 B．12 C．16 D．18
6、如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
7、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（ ）个①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH.
A．1 B．2 C．3 D．4
8、如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为 ．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是 ．
9、如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
10、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠BOA＝120°，求∠DAE和∠C的度数．
11、如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，将三角形的周长分为15cm和12cm两部分AB＋AC＝21，求AB、AC的长.
12、如图，在 中， ， 边上的高 ， 为 边上任一点， 于点 ， 于点 ，求 的值.
挑战题：
1、如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点三、三角形的稳定性
知识点：
1. 三角形具有稳定性。
2. 四边形及多边形不具有稳定性。
相应练习：
1、人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2、如图，工人师傅做了一个长方形窗框 分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不能钉在（ ）
A． 两点之间 B． 两点之间
C． 两点之间 D． 两点之间
3、小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
答案解析：
考点一、三角形三边的关系
1、【答案】D
【解析】【解答】解： 三角形的三边长分别为2，，5，
由①得：
由②得：
所以：
所以x的取值范围是
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，据此解答即可.
2、【答案】3
【解析】【解答】解：设腰长为x，则底边为7-2x.
∵7-2x-x＜x＜7-2x+x，
∴1.75＜x＜3.5，
∵三边长均为整数，
∴x可取的值为2或3，
故各边的长为2，2，3或3，3，1.
∴该三角形最长边的长为3cm.
故答案为：3.
【分析】设腰长为x，则底边为7-2x，根据三角形的三边关系可得x的范围，结合x为整数可得x的值，进而得到三角形的三边长，据此可得最长边的长.
3、【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
第三边长为c，求c的取值范围是：，
即.
（2）解：由（1）得，，，
是等腰三角形，当a为腰时，的周长为：9+9+4=22，
当b为腰时，4+4＜9，不能构成三角形，舍去.
【解析】【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，求出a、b的值，再利用三角形的三边关系求出C的范围即可；
（2） 分两种情况：当a为腰、b为底或当b为腰、a为底，据此分别求解即可.
4、【答案】（1）解：根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）解：因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m 2）＋（2m＋1）＋8＝3m＋7＝3×4＋7＝19．
【解析】【分析】（1）根据三角形三边的关系可得，再求出m的取值范围即可；
（2）根据m的值为整数可得m的值，再利用三角形的周长公式计算即可。
5、【答案】解：∵b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|
=(b+c-a)-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)
=(b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b
【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边及不等式的性质得出 b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，合并同类项即可.
挑战题：
【答案】5
【解析】【解答】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，
∴6＞高＞3，
∵是不等边三角形，且高为整数，
∴高的最大值为5，
故答案为：5．
【分析】根据 不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12， 求解即可。
考点二、三角形的高、中线与角平分线
1、【答案】C
【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；
D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.
2、【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C均不是高线．
故答案为：D．
【分析】利用作高的方法对每个选项一一判断即可。
3、【答案】A
【解析】【解答】解：∵线段AP是BC边上在的高线，
∴根据垂线段最短得：PA≤AQ，PA≤AR.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得底边的高线、中线和角平分线重合，然后结合垂线段最短的性质进行判断.
4、【答案】C
【解析】【解答】解：∵△PDE是△CDE沿DE折叠而来，
∴CD=DP，
∵点D为AC的中点，AC=6
∴CD=DP=AD=3，
∵点P为AB的中点，AB=8，
∴AP= =4，
∴△ADP的周长=AD+DP+AP=3+3+4=10．
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质可得CD=DP，再利用中点的性质可得CD=DP=AD=3，AP= =4，最后利用三角形的周长公式计算即可。
5、【答案】C
【解析】【解答】解：∵F是EC的中点，
∴，
∴，
∵ E是BD的中点 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质可得，，，再结合，即可得到。
6、【答案】D
【解析】【解答】解：连接AE和CD，
∵BD=AB，
∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，
∵AF=3AC，
∴FC=4AC，
∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，
同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；
S△DCE=2S△BCD=2×1=2；
∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18.
故答案为：D.
【分析】连接AE和CD， 根据同高三角形的面积之间的关系可得S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=2，S△FCD=4S△ACD=8，同理可得：S△ACE=2S△ABC，则S△FCE=4S△ACE，S△DCE=2S△BCD，然后根据S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE进行计算.
7、【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线
∴AE=CE
∵∠BAC=90°
∴ ，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积
故①正确；
∵AD是BC边上的高
∴∠FAG+∠ABC=90°
∵∠BAC＝90°
∴∠ABC+∠ACB=90°
∴∠FAG=∠ACB
∵CF是∠ACB的角平分线
∴∠FCB= ∠ACB=∠ACF
∴
故②错误；
∵∠AFG+∠ACF=∠DGC+∠FCB=90°，∠AGF=∠DGC
∴∠AFG=∠AGF
∴AF=AG
故③正确；
根据已知条件无法证明BH=CH
故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据三角形中线的性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，据此判断①；根据余角的性质可得∠FAG=∠ACB，由角平分线的定义可得∠FCB=∠ACB=∠ACF，即得，据此判断②；根据余角的性质可得∠AFG=∠AGF，可得AF=AG，据此判断③；根据已知条件无法证明BH=CH，据此判断④.
8、【答案】16；
【解析】【解答】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF= BC，EG= AC，FG= AB，
∴EF+FG+EG= （BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为 ×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（ ）n-1，
故答案为：16，64×（ ）n-1．
【分析】根据三角形中位线定理求出△EFG的周长；然后找出规律，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（ ）n-1。
9、【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
10、【答案】解：∵AE是角平分线，∠CAB＝50°，
∴ ，
∵∠BOA＝120°，
∴ ，
∵BF是角平分线，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
∵AD是高，
∴ ．
【解析】【分析】根据AE是角平分线，∠CAB＝50°，求出 ，再根据∠BOA＝120°，利用三角形内角和定理求出∠ABF的度数，再根据BF是角平分线，得出 ，再利用三角形的内角和定理可求出∠AEB的度数，即可求出∠EAD的度数，即可得出结论。
11、【答案】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长=AB＋BD＋AD，
△ACD的周长=AC＋CD＋AD =AC＋BD＋AD，
∴△ABD的周长－△ACD的周长=AB－AC=3.
又∵AB+AC=21，
即： ，
解方程组，得，AB=12，AC=9
答：AB和AC的长分别为12cm和9cm.
【解析】【分析】由中线的定义可得BD=CD， 由三角形的周长差可得AB－AC=3. 结合已知可得关于AB、AC的方程组，解方程组可求得AB、AC的长.
12、【答案】解：连接 ，
∵CD⊥AB， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
【解析】【分析】连接AP，根据三角形面积的计算公式即可得到PM+PN的值。
挑战题：
【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴①，
过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，
∴ ， ，
∵BD＝4AD，
∴ ，
∴②，
①－②得： ，
∵CM⊥AB，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
考点三、三角形的稳定性
1、【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加梯子的稳定性.
故答案为：B.
【分析】三角形具有稳定性，据此解答即可.
2、【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A．若钉在E，H两点之间构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B．若钉在A，C两点之间能构成三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C．若钉在F，E两点之间能构成三角形，能固定窗框，故不符合题意；
D．若钉在E，G两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形的定义判断求解即可。
3、【答案】解：如图所示：
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】 根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性.