2021-2022学年苏科版九年级数学下册 5.2 二次函数的图像和性质 一课一练 （Word版含答案）

5.2 二次函数的图像和性质（5）
1.二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2.已知二次函数，且，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
3.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
4.对于二次函数，下列结果中正确的是（ ）．
A．抛物线有最小值是 B．时随的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线 D．图象与轴没有交点
5.已知抛物线，点在该抛物线上，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.抛物线y＝x2+2x+7的开口方向 ___，顶点坐标 ___．
7.（1）抛物线必过__________点．
（2）若二次函数经过原点，则__________，则它的解析式是__________．
（3）若二次函数的最大值是3，则__________．
8.对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．
9.已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x ﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是　 ；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 ．
10.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．
11.将二次函数y＝2x 2－8x－1化成y＝a（x－h）2＋k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x－2）2－1 B．y＝2（x－4）2＋32
C．y＝2（x－2）2－9 D．y＝2（x－4）2－33
12.关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线经过原点 B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线的最大值为1 D．当时，随增大而减小
13.若抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝（ ）
A． B． C． D．
14.已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
15.（1）已知函数，当______时，y随x的增大而减小，当_______时，y随x的增大而增大；
（2）已知函数，当______时，y随x的增大而增大，当_______时，y随x的增大而减小．
16.二次函数y＝x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______．
17.如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为__________________．
已知二次函数，当时，的取值范围为______．
19.已知二次函数．
（1）将其化成的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；
（5）说明其图象与抛物线的关系；（6）当x取何值时，y随x增大而减小；
（7）x取何值时，；（8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？
（9）时，y的取值范围；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．
20.如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．
（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
21.已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
22.某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数的图象和性质．
（1）如表是该函数与自变量的几组对应值：
0 1 2 3 4 6
3.5 3 3
其中，的值为 　　，的值为 　　；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：　　．
5.2 二次函数的图像和性质（5）
1.二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：．
二次函数的图象的对称轴是．
故选A．
2.已知二次函数，且，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
【答案】A
【解析】解：∵二次函数中，，，
∴二次函数的解析式为，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为(0，c)，在y轴负半轴，
∴二次函数的图象 经过三、四象限；
故选A．
3.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故①②正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
4.对于二次函数，下列结果中正确的是（ ）．
A．抛物线有最小值是 B．时随的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线 D．图象与轴没有交点
【答案】A
【解析】解：∵＝2（x＋）2 ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，二次函数有最小值 ；所以A选项正确，C选项错误；
当x＜ 时，y随x的增大而减小，所以B选项错误；
∵方程2x2＋x 3＝0有两个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有两个交点，所以D选项错误．
故选：A．
5.已知抛物线，点在该抛物线上，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴直线，
∵点在该抛物线上，
∴三点都在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵ 1＜0＜1，
∴，
故选：A．
6.抛物线y＝x2+2x+7的开口方向 ___，顶点坐标 ___．
【答案】向上
【解析】解：原式，
则函数的开口方向向上，顶点坐标为，
故答案为：向上、．
7.（1）抛物线必过__________点．
（2）若二次函数经过原点，则__________，则它的解析式是__________．
（3）若二次函数的最大值是3，则__________．
【答案】（1）原点；（2）；（3）
【解析】解：（1）
当时，则 抛物线必过原点．
（2） 二次函数经过原点，
则它的解析式是．
（3） 二次函数的最大值是3，
＜且
经检验：它们都是原方程的根，但不合题意，舍去，
故答案为：（1）原点；（2）；（3）
8.对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．
【答案】直线
【解析】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线；
∵，
∴当 时，函数有最小值，最小值为 ，
当 时，有，
解得： ，
∴如图所示，点A，B的坐标分别为，
∴当时， ，
∵时，函数值y的取值范围为，
从图象中可得到时，．
故答案为：直线；．
9.已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x ﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是　 ；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 ．
【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1；（2）该图象与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0）；（3）画函数图象见解析；（4）或；（5）﹣1＜y＜3．
【解析】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，
该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；
（3）当x＝0时，y＝3；
当x＝1时，y＝0；
当x＝﹣2时，y＝﹣1；
当x＝3时，y＝0；
当x＝4时，y＝3，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足或时，y＞0．
故答案是：或；
（5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．
故答案是：﹣1＜y＜3．
10.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】（1），；（2）点P的坐标为
【解析】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，
设直线BC的解析式为：，
由题意得：，
解得，
∴直线BC的解析式为：，
当时，，
∴当的值最小时，点P的坐标为．
11.将二次函数y＝2x 2－8x－1化成y＝a（x－h）2＋k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x－2）2－1 B．y＝2（x－4）2＋32
C．y＝2（x－2）2－9 D．y＝2（x－4）2－33
【答案】C
【解析】解：y＝2x 2－8x－1
＝2（x 2－4x＋4）－8－1
＝2（x－2）2－9，
即y＝2（x－2）2－9．
故选C．
12.关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线经过原点 B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线的最大值为1 D．当时，随增大而减小
【答案】D
【解析】解：当抛物线，当时，，
经过原点，正确，
配方得：，
顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向下有最大值，当时，随的增大而减小，、说法正确；
说法错误．
故选．
13.若抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：抛物线的顶点在轴的负半轴上，
顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，即，，解得，
故选：B．
14.已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，∴时，函数值最小，
又∵-1到-2的距离比-4到-2的距离小，∴∴．
故选D．
15.（1）已知函数，当______时，y随x的增大而减小，当_______时，y随x的增大而增大；
（2）已知函数，当______时，y随x的增大而增大，当_______时，y随x的增大而减小．
【答案】－1 －1
【解析】（1）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：
（2）∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
故答案为：
16.二次函数y＝x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______．
【答案】y＝(x-4)2＋1
【解析】解：∵y＝x2－2x-2＝(x-2)2-4，
把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，
得抛物线y＝(x-2-2)2-4＋5，
即为y＝(x-4)2＋1．
故答案为：y＝(x-4)2＋1．
17.如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为__________________．
【答案】（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）
【解析】解：∵⊙P与x轴相切，∴P到x轴的距离等于半径1，∴点P的纵坐标为1或﹣1，
当y＝1时，代入可得1＝x2﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，此时P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）；
当y＝﹣1时，代入可得﹣1＝x2﹣1，解得x＝0，此时P点坐标为（0，﹣1）；
综上可知P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．
18.已知二次函数，当时，的取值范围为______．
【答案】
【解析】∵
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，4)
∵二次项系数1为正数
∴当-4≤x≤-1时，函数值y随自变量x的增大而减小；当-1≤x≤1时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数的最小值为-4
∵当x=-4时，y=5，当x=1时，y=0
∴当-4≤x≤-1时，-4≤y≤5；当-1≤x≤1时，-4≤y≤0
综上，当时，的取值范围为
故答案为：
19.已知二次函数．
（1）将其化成的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；
（5）说明其图象与抛物线的关系；（6）当x取何值时，y随x增大而减小；
（7）x取何值时，；（8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？
（9）时，y的取值范围；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．
【答案】（1）；（2）开口向上，直线，顶点；（3）与x轴交点，与y轴交点；（4）见解析；（5）将抛物线向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到的图象；（6）；（7）当或时，；当或时，；当时，；（8）时，；（9）；（10）．
【解析】解：（1）∵===
∴化成的形式为；
（2）由可得：
开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－8)；
（3）由y=0得，，解得或，
由x=0得：∴与x轴交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴交点坐标为(0，－6)；
（4）由（1）（2）（3）可得函数简图如下：
（5）将抛物线先向左平移1个单位，可得的图象，然后再向下平移8个单位得到的图像；
（6）由图像可得：当时，y随x增大而减小；
（7）由图像可得：当或时，，
当或时，，
当时，；
（8）由图像可得：
当时，函数有最小值，且最小值为；
（9）∵，∴当时取得最小值为，
当时离对称轴最远，此时，∴y的取值范围为；
（10）由图可得，三角形底的长度为，高的长度为6，
∴三角形的面积为．
20.如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．
（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
【答案】(1) ﹣4≤y＜0;(2) P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）
【解析】 解：（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1 x2=3
∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB |y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
21.已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】解：∵二次函数（为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x==m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即=-2，
解得m= 或m=-（不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为或，
故选D．
22.某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数的图象和性质．
（1）如表是该函数与自变量的几组对应值：
0 1 2 3 4 6
3.5 3 3
其中，的值为 　　，的值为 　　；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：　　．
【答案】（1）3，3.5；（2）见解析；（3）图象关于直线对称．
【解析】解（1）当时，，即，
当时，，即
故答案为：3，3.5；
（2）图象如图所示：
（3）观察图象可知，图象关于直线对称，
故答案为：图象关于直线对称．