中等解答题满分策略、综合性解答题破解对策（下）[上下学期通用]

课件58张PPT。清华同方“3+X”高分宝典数学（下）主讲：北京陈经纶中学 丁益祥（特级）
北 航 附 中 王人伟（特级）
例4 已知向量 所表示的复数z满足 ，
将 绕原点O按顺时针方向旋转
得 ，设 所表示的复数为z′，求复数 的辐角主值．解：由 ，得 ． 于是 ． 例5 如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使二面角
B－AC－D成直二面角．
（Ⅰ）求证：AB⊥面BCD；
（Ⅱ）求二面角B—AD—C
的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的
距离． 解：（Ⅰ）由∠ABC=90°，得
AB⊥BC．由于AB=BC=a，
故∠BCA=45°． 又在平面图形中，∠C=135°，
故在三棱锥中，∠ACD=90°．
从而CD⊥AC． 又因为二面角B－AC－D是直二面角，
所以 面ABC⊥面ACD，于是CD⊥面ABC，
因此 CD⊥AB ．
故 AB⊥面BCD． （Ⅱ）过点B 作BE⊥AC于E，则BE = AE = CE，BE⊥面ACD． 过E 作EF⊥AD于F，连BF，由三垂线定理，知BF⊥AD．因此∠BFE是
二面角B—AD—C的平面角． 在Rt△ABC 中，由于AB=BC=a ,故． 在Rt△ACD中，由于CD=a，
故 ． 又△AEF ∽△ADC，所以 ，
故 ． 在Rt△BEF中， ，
故∠BFE=60°．
即二面角B－AD－C为60°． （Ⅲ）易知
．
又
所以 由于
设C到平面ABD的距离为d
则
即
解得
即点C到平面ABD的距离是 ． 例6 某海军基地的三艘舰艇在某海域的A、B、C三处定点执行任务．已知A在B的正东方向，且A、B相距6千米．C在B的北偏西30°，B、C相距4千米．某时刻A处舰艇收到该海域内P处一渔船以每秒1千米的传播速度发出的“由于机器故障无法航行急需救助”的信号，4秒钟后B、C两处的舰艇才同时收到这一信号．现A处舰艇奉命前去救助，求A处舰艇前去救助时航向的方位角． 例6 某海军基地的三艘舰艇在某海域的A、B、C三处定点执行任务．已知A在B的正东方向，且A、B相距6千米．C在B的北偏西30°，B、C相距4千米．某时刻A处舰艇收到该海域内P处一渔船以每秒1千米的传播速度发出的“由于机器故障无法航行急需救助”的信号，4秒钟后B、C两处的舰艇才同时收到这一信号．现A处舰艇奉命前去救助，求A处舰艇前去救助时航向的方位角． 解：以BA所在直线为x轴，线段BA的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系（如图）， 则A（3，0），B（－3，0），　　=4． 过C作CM⊥x轴于M，由于C在B的北偏西 30°，故∠CBM = 60°． ∴ ，
，
于是得 ．
由于B处舰艇收到信号比A处舰艇收到信号迟4秒，且信号传播速度为每秒1千米，
故|PB|－|PA|= 4． 因此，P点在以A、B为焦点的双曲
线的右支上，且 2a = 4，2c = 6，从而
a = 2，c = 3，b2 = c2－a2 = 5．
所以，双曲线的方程为
① 因为B、C两处舰艇同时收到P处渔船发出的呼救信号，所以|PB|=|PC|，于是点P必在线段BC 的垂直平分线上． 由点斜式得直线PQ 的方程为
整理，得 ． ② 过P作PQ⊥BC于Q，则Q必为BC的中
点．故得 ，
．
联立①、②，注意到x≥2，解得x = 8，
，于是得 ．
设PA的倾斜角为?，则
．
故 ．因此所求的方位角为30°． 解好解答题中综合性难题的对策 一、“翻译”转化，弄清已知，明确
目标，理顺思路．
二、辨别题型，设计方案，寻求最
佳解法．
三、解前估测猜想，解后检验思考，
总结经验教训，分析错误原因．
例1．已知函数，f (x)=ax2－1 (a∈R，x∈R)，集合

且A=B≠?．求a的取值范围．
抛物线y= ax2－1 与直线y=x的交点的横坐标． 方程ax2－1 =x的实根 方程a (ax2－1)2－1=x的实根 方程组 的解中x的值 曲线y=ax2－1与曲线x=ay2－1的公共点的横坐标． A=B≠? 集合A、B中元素都相同且不是空集 方程ax2－1=x有实根，且与方程
a (ax2－1)2－1=x同解 曲线y= ax2－1与y =x有交点，且
交点就是曲线y= ax2－1与x= ay2－1的交点． 由A≠?，得到a的一个范围；
证明 ；解题方案一(3) 由于 ，说明四次方程
a (ax2－1)2－1－ x=0
左边的四次式必能因式分解，分解 出一个二次式ax2－1－x 与另一个二次式的乘积；
利用A=B再得出a的另一个范围．
(1) A≠? y=ax2－1与y=x有公共点；解题方案二(2) A=B 曲线y= ax2－1上不存在两个
不同点关于直线y=x对称． 曲线y= ax2－1上斜率为－1 的平
行弦中点轨迹与y = x 没有公共点．
解题方案二解：(1) 由A≠?，知
方程ax2－x－1=0有实根， 当a=0时，该方程有实根； 当a≠0时，由△1≥0，得
1+4a≥0，
即 (a≠0)，
综上，得 ．(2) f [f (x)]=x即
a (ax2－1)2－1－x=0
a3x4－2a2x2－x+a－1=0
(ax2－x－1)(a2x2+ax－a+1)=0．
A=B当且仅当方程
a2x2+ax－a+1=0 ②
无实根或方程②的实根都是方程
ax2－x－1=0 ① 的实根，
方程①与②的实根不都相同 ． 当△2=a2－4a2(－a+1)<0，即
时方程②无实根；
当△2=0，即 时，方程②有
重根 ，恰是方程①的两根之一；
∴ 当且仅当 时A=B．
综上，
A=B≠?时a的取值范围是 ． 练习题 1 函数y =ax2－2的图像上存在不同两点关于直线y =x对称，求a的取值范围．例2．已知无穷数列{an}的每一项都是正
整数，且 ，

an0)． (1) 证明：an ≤an+1 (n∈N)； (2) 是否存在自然数m，当n≥m时，
an恒为一个常数？分析： 假设存在自然数k， ，那
么 ，
于是 ，
，
……
∵ 数列各项都是自然数，
∴
设 ，则 ，这与已知矛盾． (2) 如果存在自然数n， ，
那么
又因为 ，
∴ ，
从而
如果对于任意自然数n，都有 ，
那么因为已知此数列每一项都是自然数，
所以 ，从而

设 M 的整数部分是t，则
，
这与数列每一项都小于M 是矛盾的．
综上可知，存在自然数m，当n≥m 时，
an恒为一常数． 已知无穷数列{an}的每一项都是正整数，且 (n∈N)，集合P={(x，y)|x=n，y=an，n∈N}．
求证：集合P 中有无穷多个点在一直线上．
练习题 2例3．已知抛物线顶点在x轴上，以y轴为准线，点A(4，0)到此抛物线上动点 P的距离的最小值为2，求此抛物线的方程．解：设所求抛物线顶点为(a，0)，那么方 程为y2=4a (x－a)．
设抛物线上动点P的坐标为 (x，y)，
解得，
∴ 抛物线方程为
或 代数解法所得结论与解前估测的结
果不符，孰对孰错？
，
当4－2a≥a 即 时，
，
得 ；
分 析当 ，则x=a时|PA|最小，
∴ 得a=2或a=6．综上，所求抛物线方程为
，
y2 =8(x－2)，y2=24(x－6)． 是否存在同时满足下列条件的双曲
线，若存在，求出方程；若不存在，说
明理由：
(1) 渐近线方程为x+2y=0 及x－2y=0 ；
(2) 点A (5，0)到双曲线上动点P 的距离
最小值为 ．练习题 3 例4．设二次函数f (x)=ax2+bx+c (a>0)，方
程f (x)－x=0的两个根x1，x2满足
(1) 当x∈(0，x1)时，证明x 证明： ．证明一：(1) 令 ，
因x1，x2是方程f (x)－x=0的根，
所以 ．
当 时， ，
又a>0，故 ，
即x∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
(2) 依题意， ．
∵ x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根，
∴ ．
∵ ，
∴ ． 证明二：
由(2)的结论证明(1)的 ．
∵ x=x0是f (x)图像的对称轴，且a>0，
∴ f (x)在 上递增，在
上递减．
当 时，f (x) 当 时，，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
综上两种情况，当 时，
．