人教版数学九年级上册单元测试卷-第二十一章 一元二次方程（含答案）

人教版数学九年级上册单元测试卷
第二十一章 一元二次方程
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题
1．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=0
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
6．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
9．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
10．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．一元二次方程的解为__________．
12．关于x的方程是一元二次方程，则________．
13．已知关于的方程的一个根是，则____．
14．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
15．已知方程x2﹣3x＋1＝0的根是x1和x2，则x1＋x2﹣x1x2＝___．
16．若是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
17．关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
18．对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．
三、解答题
19．解方程
（1）（x+1）2﹣64=0 （2）x2﹣4x+1=0
x2 + 2x－2＝0（配方法） （4）x 2-2x-8=0
20．解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ． 小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都为正整数，求这个方程的根．
22．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
23．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b-a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同．
（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？
（2）已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
25．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】
解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
②，当a=0时不是一元二次方程；
③，是一元二次方程；
④，整理后不含二次项，不是一元二次方程，
所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解出m的值即可．
【详解】
解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，
解得：m=-3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．B
【解析】
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】
A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为： D.
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
5．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代数式x12+x22化为，再整体代入求值即可.
【详解】
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.
6．A
【解析】
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】
△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7．D
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.
【详解】
∵x2 2x m=0，
∴x2 2x=m，
∴x2 2x+1=m+1，
∴(x 1)2=m+1．
故选D．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．
8．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4a-b=2，再把变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴4a-2-b=0，
∴4a-b=2，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】
解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】
设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
11．x=或x=2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
12．
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．
【详解】
解： 关于x的方程是一元二次方程，
由①得：
由②得：
所以
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．
13．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．
【详解】
解：∵关于的方程的一个根是
∴
解得：a=-1
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．
14．
【解析】
【分析】
先求出m的值，再代入代数式求解即可．
【详解】
x2＋2x－3＝0
m是方程x2＋2x－3＝0的实根
或
故答案为：．
【点睛】
本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．
15．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
【详解】
解：∵方程x2﹣3x＋1＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1＋x2＝3、x1 x2＝1，
∴x1＋x2﹣x1x2＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
16．
【解析】
【分析】
根据和解得的值．
【详解】
由题意得
∴或
∵
∴
∴舍去
故
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义和绝对值方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和绝对值方程的相关知识．
17．3
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
18．2或-3##-3或2
【解析】
【分析】
根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：2或-3．
【点睛】
本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
19．（1）x1=7，x2=-9；（2）x1=2+，x2=2-；（3）x1=-1+，x2=-1-；（4）x1=-2，x2=4
【解析】
【分析】
（1）方程移项后，运用直接开平方法求解即可；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算即可；
（3）根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算即可；
（4）根据因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）（x+1）2=64
x+1=±8
∴x1=7，x2=-9
（2）x2﹣4x=-1
x2﹣4x+4=-1+4
（x-2）2=3
x-2=±
∴x1=2+，x2=2-
（3）x2 + 2x＝2
x2 + 2x+1＝2+1
（x+1）2=3
x+1=±
∴x1=-1+，x2=-1-
（4）（x+2）（x-4）=0
x+2=0或x-4=0
∴x1=-2，x2=4
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，选择适合的方法是解题关键．
20．不正确，见解析
【解析】
【分析】
方程解答不正确，两边除以(x-5)时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可．
【详解】
解：不正确．
正确的解答过程如下：，
，
，
则或，
解得，．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．证明见祥解； ．
【解析】
【分析】
（1）先求出判别式，再配方变为即可；
（2）用十字相乘法可以求出根的表达式，方程的两个实数根都为正整数，列不等式组
，即可得出m的值．
【详解】
证明：∵是关于的一元二次方程，
，
∴此方程总有两个实数根．
解：∵，
∴，
∴，．
∵方程的两个实数根都为正整数，
，
解得，，
∴．
．
【点睛】
本题考查了根的判别式，配方为平方式，根据方程的两个实数根都为正整数，列出不等式组，求出是解题的关键．
22．(1)；
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
23．（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）x1=0，x2=-1．
【解析】
【分析】
（1）将x=-1代入方程中，化简即可得出b=c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用Δ=0建立方程，即可得出a2+c2=b2，进而得出结论；
（3）先判断出a=b=c，再代入化简即可得出方程x2+x=0，解方程即可得出结论．
【详解】
（1）解：△ABC是等腰三角形，理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．
24．（1）；（2）不亏本，见解析
【解析】
【分析】
（1）设这种药品每次降价的百分率是，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，求解即可得出结论；
（2）根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格×(1-20%)，即可求出再次降价后的价格，将其与100元进行比较后即可得出结论．
【详解】
（1）解：设每次下降的百分率为，
依题意，得： ，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这种药品每次降价的百分率是20%；
（2）128×(1-20%)=102.4，
∵102.4＞100，
∴按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元
(2)的值为10
【解析】
【分析】
（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，再根据题意建立方程，解方程即可；
（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．
(1)
解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，
依题意得∶．
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．
(2)
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页