2007年广州市天河区2007届普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试卷[上学期]
文档属性
| 名称 | 2007年广州市天河区2007届普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试卷[上学期] |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 170.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2007-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
天河区2007届普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：球的表面积公式 其中表示球的半径
球的体积公式 其中表示球的半径
第一部分 选择题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合，，那么“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．定义运算，则符合条件的复数z为
A． B． C． D．
3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是
A． B． C． D．
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
A． B． C． D．
5．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是
A． B． C． D．
7．如图所示，不等式组表示的平面区域是
8．设奇函数上是单调函数，且若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是
A． B．
C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共7小题，9~12题是必做题；13~15题是选做题，
要求学生只从13、14、15题中任选2题作答。每小题5分，满分30分。
9．在等比数列中, 若是方程的两根，
则=___________.
10．已知且
与垂直，则实数的值为 .
11．抛物线与直线围成的图形的面积是_____.
12．如右图所示的流程图，输出的结果是_______
从下列三道题中任选两道做答，若三道题全做，则按前两题计算得分。
13．函数的最大值是 .
14．两曲线与的位置关系是 .
15．两个相似三角形的面积分别为和，它们的周长相差，则较大的三角形的周长是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
16．（本小题满分12分）已知函数，.
(Ⅰ)求函数的最小正周期，并求函数在上的单调递增区间；
(Ⅱ)函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.
17．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.
(Ⅰ)求连续取3次球，恰好得3分的概率；
(Ⅱ)求连续取2次球的得分之和ξ的分布列及数学期望.
18．（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面的距离.
19．（本小题满分14分）设函数，其中.
(Ⅰ)若在处取得极值，求常数的值.
(Ⅱ)若在上为增函数，求的取值范围.
20．（本小题满分14分）已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM |－|PN |=，记动点P的轨迹为C.
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C有两个不同的交点A、B，O是坐标原点，求的最小值.
21．（本小题满分14分）已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)设数列满足，求数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式.
2007届普通高中毕业班综合测试
理科数学(答题卷)
班别: 姓名: 学号:
一.选择题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二．填空题（6小题，每小题5分，共30分）
9、________________________. 10、____________________.
11、_______________________. 12、 ___________________.
13、_______________________. 14、 ___________________.
15、_______________________.
三．解答题（6小题，共80分）
16、
17、
18、
19、
20、
21、
2007届普通高中毕业班综合测试
理 科 数 学（答案）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D A B C C C
二、填空题：
9． -2； 10．； 11． ； 12． 24； 13．14．①5 ；②垂直；③15
15.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求函数的最小正周期，并求函数在上的单调递增区间；
（2）函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.
解：.………………3分
（1）最小正周期. …………………………………………4分
令，函数单调递增区间是.
由 ，
得 . ………………………………（6分）
取，得，而，
所以，函数，的单调递增区间是.
…………………………………………………………………………（8分）
（2）把函数图象向左平移，得到函数的图象，…（10分）
再把函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， …………………………………（11分）
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即可得到函数
的图象. ………………………………………………（12分）
16．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.
（1）求连续取3次球，恰得3分的概率；
（2）求连续取2次球的得分ξ的分布列及期望。
解：（1）设“3次均取得白球得3分”的事件为A，则………4分
（2）从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球，1次红球；2次均为红
球三种情况，所以，ξ的可能取值为2、3、4.…………………6分
而每次取得红球的概率为，每次取得白球的概率为，每次取球的情况是彼此独立的。
∴；（每个1分）……………………9分
ξ 2 3 4
P
所以，………………12分
17．（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点。
（1）求证：
（2）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（3）求点B到平面的距离.
解法一：（1）连接BD，由已知有
得…………………………………1分
又由ABCD是正方形，得：…………2分
∵与BD相交，∴…………………………3分
（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D1G ，
，∴四边形EBGC是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴就是异面直线BD1与CE所成角…………………………5分
在中， …………………6分
异面直线 与CE所成角的余弦值是 ……………………………8分
（3）∵ ∴
又∵ ∴ 点E到的距离 ……………9分
有： ， ………………11分
又由 ， 设点B到平面的距离为，
则：
有： …………………………………13分
所以：点B到平面的距离为。……………14分
解法二：（1）见解法一…………………………3分
（2）以D为原点，DA、DC、为轴建立
如图所示的空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、
（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、
（2，0，2）（-2，-2，2），
（2，-1，0）………………………5分
……………7分
即异面直线与CE所成角的余弦值是 ……………8分
（3）设平面的法向量为，
有：，，…………………………8分
由：（0，1，-2），（2，-1，0）…………………………9分
可得：，令，得 …………………………11分
由（0，1，0）
有：点B到平面的距离为…………………………14分
18．（本题满分14分）设函数，其中.
若在x=3处取得极值，求常数a的值。
(2)若在上为增函数，求a的取值范围。
解：（1）.…………………………2分
因在x=3取得极值,
所以.…………………………4分
解得a=3.
经检验知当a=3时,x=3为的极值点. …………………………6分
(2)令 得.…………………………7分
当时，若，
则，所以在和上为增函数，
故当时,在上为增函数。…………………………10分
当时，若，
则，所以在和上为增函数.
从而在上也为增函数。 …………………………13分
综上所述,当时, 在上为增函数………………………14分
19. （本小题满分14分）已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P的轨迹为 C.
（1）求 C的方程；
（2）若直线l与曲线 C有不同两点A、B，O 是坐标原点，求的最小值.
解法一：
（1）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长.…………………………2分
又半焦距 c=2，故虚半轴长.…………………………4分
所以 C 的方程为 （） .…………………………6分
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为,
当 AB⊥x轴时,从而
从而.…………………………8分
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,，与C的方程联立，消去y得
故 .…………………………11分
所以
.…………………………13分
又因为,所以,从而
综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. …………………………14分
解法二:
(Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则
…………………………8分
令…………………………9分
则且所以
…………………………12分
当且仅当,即时””成立. …………………………13分
所以、的最小值是2. …………………………14分
20．（14分）已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
Ⅰ）求的解析式
Ⅱ）设数列满足，求数列的通项公式
Ⅲ）在Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式
20、解：（Ⅰ）的导数，又点P的坐标为，曲线C在P点的切线的斜率为，
则该切线方程为，令，得
由，得， …….3分
因此，的解析式为： ………….4分
（2）时，,，即
①当时，，数列是以0为首项的常数数列，则
②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ……………..7分
，解得
综合①、②得 …………….9分
（Ⅲ），，
，
则
,
因此，不等式成立 ………………….14分
开始
结束
是
否
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高三数学理科 第 1 页
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：球的表面积公式 其中表示球的半径
球的体积公式 其中表示球的半径
第一部分 选择题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合，，那么“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．定义运算，则符合条件的复数z为
A． B． C． D．
3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是
A． B． C． D．
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
A． B． C． D．
5．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是
A． B． C． D．
7．如图所示，不等式组表示的平面区域是
8．设奇函数上是单调函数，且若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是
A． B．
C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共7小题，9~12题是必做题；13~15题是选做题，
要求学生只从13、14、15题中任选2题作答。每小题5分，满分30分。
9．在等比数列中, 若是方程的两根，
则=___________.
10．已知且
与垂直，则实数的值为 .
11．抛物线与直线围成的图形的面积是_____.
12．如右图所示的流程图，输出的结果是_______
从下列三道题中任选两道做答，若三道题全做，则按前两题计算得分。
13．函数的最大值是 .
14．两曲线与的位置关系是 .
15．两个相似三角形的面积分别为和，它们的周长相差，则较大的三角形的周长是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
16．（本小题满分12分）已知函数，.
(Ⅰ)求函数的最小正周期，并求函数在上的单调递增区间；
(Ⅱ)函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.
17．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.
(Ⅰ)求连续取3次球，恰好得3分的概率；
(Ⅱ)求连续取2次球的得分之和ξ的分布列及数学期望.
18．（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面的距离.
19．（本小题满分14分）设函数，其中.
(Ⅰ)若在处取得极值，求常数的值.
(Ⅱ)若在上为增函数，求的取值范围.
20．（本小题满分14分）已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM |－|PN |=，记动点P的轨迹为C.
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C有两个不同的交点A、B，O是坐标原点，求的最小值.
21．（本小题满分14分）已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)设数列满足，求数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式.
2007届普通高中毕业班综合测试
理科数学(答题卷)
班别: 姓名: 学号:
一.选择题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二．填空题（6小题，每小题5分，共30分）
9、________________________. 10、____________________.
11、_______________________. 12、 ___________________.
13、_______________________. 14、 ___________________.
15、_______________________.
三．解答题（6小题，共80分）
16、
17、
18、
19、
20、
21、
2007届普通高中毕业班综合测试
理 科 数 学（答案）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D A B C C C
二、填空题：
9． -2； 10．； 11． ； 12． 24； 13．14．①5 ；②垂直；③15
15.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求函数的最小正周期，并求函数在上的单调递增区间；
（2）函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.
解：.………………3分
（1）最小正周期. …………………………………………4分
令，函数单调递增区间是.
由 ，
得 . ………………………………（6分）
取，得，而，
所以，函数，的单调递增区间是.
…………………………………………………………………………（8分）
（2）把函数图象向左平移，得到函数的图象，…（10分）
再把函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， …………………………………（11分）
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即可得到函数
的图象. ………………………………………………（12分）
16．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.
（1）求连续取3次球，恰得3分的概率；
（2）求连续取2次球的得分ξ的分布列及期望。
解：（1）设“3次均取得白球得3分”的事件为A，则………4分
（2）从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球，1次红球；2次均为红
球三种情况，所以，ξ的可能取值为2、3、4.…………………6分
而每次取得红球的概率为，每次取得白球的概率为，每次取球的情况是彼此独立的。
∴；（每个1分）……………………9分
ξ 2 3 4
P
所以，………………12分
17．（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点。
（1）求证：
（2）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（3）求点B到平面的距离.
解法一：（1）连接BD，由已知有
得…………………………………1分
又由ABCD是正方形，得：…………2分
∵与BD相交，∴…………………………3分
（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D1G ，
，∴四边形EBGC是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴就是异面直线BD1与CE所成角…………………………5分
在中， …………………6分
异面直线 与CE所成角的余弦值是 ……………………………8分
（3）∵ ∴
又∵ ∴ 点E到的距离 ……………9分
有： ， ………………11分
又由 ， 设点B到平面的距离为，
则：
有： …………………………………13分
所以：点B到平面的距离为。……………14分
解法二：（1）见解法一…………………………3分
（2）以D为原点，DA、DC、为轴建立
如图所示的空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、
（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、
（2，0，2）（-2，-2，2），
（2，-1，0）………………………5分
……………7分
即异面直线与CE所成角的余弦值是 ……………8分
（3）设平面的法向量为，
有：，，…………………………8分
由：（0，1，-2），（2，-1，0）…………………………9分
可得：，令，得 …………………………11分
由（0，1，0）
有：点B到平面的距离为…………………………14分
18．（本题满分14分）设函数，其中.
若在x=3处取得极值，求常数a的值。
(2)若在上为增函数，求a的取值范围。
解：（1）.…………………………2分
因在x=3取得极值,
所以.…………………………4分
解得a=3.
经检验知当a=3时,x=3为的极值点. …………………………6分
(2)令 得.…………………………7分
当时，若，
则，所以在和上为增函数，
故当时,在上为增函数。…………………………10分
当时，若，
则，所以在和上为增函数.
从而在上也为增函数。 …………………………13分
综上所述,当时, 在上为增函数………………………14分
19. （本小题满分14分）已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P的轨迹为 C.
（1）求 C的方程；
（2）若直线l与曲线 C有不同两点A、B，O 是坐标原点，求的最小值.
解法一：
（1）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长.…………………………2分
又半焦距 c=2，故虚半轴长.…………………………4分
所以 C 的方程为 （） .…………………………6分
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为,
当 AB⊥x轴时,从而
从而.…………………………8分
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,，与C的方程联立，消去y得
故 .…………………………11分
所以
.…………………………13分
又因为,所以,从而
综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. …………………………14分
解法二:
(Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则
…………………………8分
令…………………………9分
则且所以
…………………………12分
当且仅当,即时””成立. …………………………13分
所以、的最小值是2. …………………………14分
20．（14分）已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
Ⅰ）求的解析式
Ⅱ）设数列满足，求数列的通项公式
Ⅲ）在Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式
20、解：（Ⅰ）的导数，又点P的坐标为，曲线C在P点的切线的斜率为，
则该切线方程为，令，得
由，得， …….3分
因此，的解析式为： ………….4分
（2）时，,，即
①当时，，数列是以0为首项的常数数列，则
②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ……………..7分
，解得
综合①、②得 …………….9分
（Ⅲ），，
，
则
,
因此，不等式成立 ………………….14分
开始
结束
是
否
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