2007年3月珠海市斗门一中高三综合测试文科数学试卷[下学期]

2007年珠海市斗门一中高三综合测试
文科数学
命题人：于发智 考试时间 2007年3月13日
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．定义运算，则符合条件的复数z为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是 （ ）
A． B． C． D．
4．下列问题的算法适宜用条件结构实现的是 （ ）
A. 求点P（-1，2）到直线x-2y+5=0的距离 B. 解不等式kx-6>0
C. 由直角三角形的两条直角边求出其面积 D. 计算100个数的平均数
5．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是
A． B． C． D．
7．由圆x2+y2=2与平面区域所围成的图形（包括边界）的面积为 （ ）
A. B. C. D.
8．椭圆M：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任意一点，且· 的最大值的取值范围是［c2,3c2］,其中c=.则M的离心率e的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
9.偶函数满足：，且在区间[0,3]与上分别递减和递增，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
10. 函数的最小值为（ ）
A. 1003×1004 B. 1004×1005 C. 2006×2007 D. 2005×2006
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11．在等比数列中, 若是方程的两根，
则=___________.
12．已知且与垂直，则实数的值为 .
13．如右图所示的流程图，输出的结果是_______
14．两曲线与的位置关系是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
15．（本小题满分12分）已知函数，.
(Ⅰ)求函数的最小正周期，并求函数在上的最大值、最小值；
(Ⅱ)函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.
16．从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 .
（1）每次取出不放回；
（2）每次取出后放回.
17．（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面的距离.
18．在周长为定值的，且当顶点C位于定点P时，有最小值为。 （1）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程。（2）过点A作直线与（1）中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合。
19．（本小题满分14分）
已知函数的图象为曲线E.
(Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(Ⅱ) 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.
20．（本小题满分14分）已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)设数列满足，求数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式.
2007届珠海市斗门一中高三综合测试
文科数学(答题卷)
班别: 姓名: 学号:
一.选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二．填空题（4小题，每小题5分，共20分）
11、_______________________. 12、 ___________________.
13、_______________________. 14、 ___________________.
三．解答题（6小题，共80分）
15、
16、
17、
18、
19、
20、
2007年珠海市斗门一中高三综合测试
文科数学（参考答案）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B B C C B D A
4．C?要求解不等式kx-6>0，需要对k的值分k>0，k=0，k<0三种情况进行讨论，每种情况的解集的形式不一样，故可用条件结构设计算法.
7．C 如右图，围成的平面图形为圆的，其面积S=π·=.
8．B 由，
∴的最大值为=（a+c）(a-c),
由已知c2≤a2-c2≤3c2,得离心率e的取值范围是［］.
9．解：的解集为
所以，原不等式的解集为
10．解：由绝对值的几何意义知x=1004时，取得最小值：此时的最小值为
2×（1003+1002+……+1）= 1003×1004
二、填空题：
11． -2 ； 12． ； 13． 24 ； 14．垂直
三、解答题：
15.（本小题满分12分）
已知函数，.
(Ⅰ)求函数的最小正周期，并求函数在上的最大值、最小值；
（Ⅱ）函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图象.
解：(Ⅰ) ∵.…………3分
最小正周期. …………………………………………6分
∵，，且函数在 内单调递增
∴的最小值为1，最大值为2 .
即 函数在上的最大值与最小值 分别为2和1 。 …………（8分）
（Ⅱ）把函数图象向左平移，得到函数的图象，…（10分）
再把函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， …………………………………（11分）
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即可得到函数
的图象. ………………………………………………（12分）
16．从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 .
（1）每次取出不放回；
（2）每次取出后放回.
【解】(1) 每次取出不放回的所有结果有（a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件，其中恰有臆见次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 （6分）
（2）每次取出后放回的所有结果：（a,a),（a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c) 共有9个基本事件, 其中恰有臆见次品的事件有4个,所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 . （12分）
17．（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点。
（1）求证：
（2）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
（3）求点B到平面的距离.
解法一：（1）连接BD，由已知有
得…………………………………（1分）
又由ABCD是正方形，得：………（2分）
∵与BD相交，∴…………………………（3分）
（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D1G ，
，∴四边形EBGC是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴就是异面直线BD1与CE所成角…………………………（5分）
在中， …………………（6分）
异面直线 与CE所成角的余弦值是 ……………………………（8分）
（3）∵ ∴
又∵ ∴ 点E到的距离 ……………（9分）
有： ， ………………（11分）
又由 ， 设点B到平面的距离为，
则：
有： …………………………………（13分）
所以：点B到平面的距离为。……………（14分）
解法二：（1）见解法一………………………（3分）
（2）以D为原点，DA、DC、为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、
（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、
（2，0，2）（-2，-2，2），（2，-1，0）………………………（5分）
即异面直线与CE所成角的
余弦值是 ……………（8分）
（3）设平面的法向量为，
有：，，……………9分
由：（0，1，-2），（2，-1，0）
可得：，令，
得 …………………………11分
由（0，1，0）
有：点B到平面的距离为…………………………14分
18．在周长为定值的，且当顶点C位于定点P时，有
最小值为。
（1）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程。
（2）过点A作直线与（1）中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合。
解：（1）以AB所在直线为轴，线段AB的中垂线为轴建立直角坐标系。…………1分
设
所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，焦距 ………………2分
因为 ……………3分
又 ……………4分
所以，由题意得＝
所以 ……………5分
此时
所以P点的轨迹方程为 ……………6分
（2）不妨设A点的坐标为A（－3，0），M（），N（），当直线MN的倾斜角
不为时，设其方程为，代入椭圆方程化简，得
……………7分
显然有
……………8分
又
所以 ……………9分
……10分
只要考虑的最小值，即考虑1－取最小值，
显然， ………………11分
当直线MN的倾斜角为时， ，得
………………12分
但，故，这样的M、N不存在。 ………………13分
即。 …………………14分
19．（本小题满分14分）
已知函数的图象为曲线E.
(Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(Ⅱ) 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.
解：(1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，
∴即. .…………………………4分
(2)若函数可以在和时取得极值，
则有两个解和，且满足.
易得. .…………………………8分
(3)由(2)，得.
根据题意，()恒成立. …………………………10分
∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），
且在端点处的值为. ………………………12分
∴函数（）的最大值为.
所以. ………………………14分
20．（14分）已知点P在曲线上，曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A，与轴交于点B，设点P的横坐标为，点A，B的横坐标分别为，记
（Ⅰ）求的解析式
（Ⅱ）设数列满足，求数列的通项公式
（Ⅲ）在Ⅱ）的条件下，当时，证明不等式
20、解：（Ⅰ）的导数，又点P的坐标为，曲线C在P点的切线的斜率为，
则该切线方程为，令，得
由，得， …….3分
因此，的解析式为： ………….4分
（2）时，,，即
①当时，，数列是以0为首项的常数数列，则
②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ……………..7分
，解得
综合①、②得 …………….9分
（Ⅲ），，
，
则
,
因此，不等式成立 ………………….14分
开始
结束
是
否
-1
x
y
4
1
o
-4
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