椭圆及其标准方程[上学期]
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课件51张PPT。浩瀚星空令人迷醉，遥望它们，我们总会重温童年梦想……太阳系“家族”◎开普勒，天文学史上的“天空立法者” 。 他对大量的行星数据做了数百次无结果的尝试，历经21年才发现行星运动的两条定律，10年后又发现了第三定律 开普勒行星运动定律1-轨道定律： 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上天体运行 COSMOS宇宙.GSP2003年10月15日，中华千年梦圆，
神舟五号升空，神州继续腾飞!神舟六号嫦娥工程2004年春季北京高考题 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，已知地球半径R＝6371km。 (I)你能求出飞船飞行的轨道方程吗？
(II)你能求出飞船巡天飞行的平均速
度是多少km/s吗？（结果精确到1km/s）
（注：km/s即千米/秒）椭圆及其标准方程广东茂名一中全茂问题1:圆的定义是什么?圆的定义中有哪些条件? 1.一个定点
2.距离为定长回顾圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆C就是集合P={M| |MC|=r}这里定点为原点C，定长为半径r标准方程：以原点 C(0,0) 为圆心，r为半径探究
若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？（2）把“一个定点”改为“两个定点F1和 F2”， 把“距离为定长”改为“距离相等”； （1）去掉“距离为定长”；（3）把一个定点改为两个定点F1和 F2 ，把距离为定长改为距离之比为2∶1； 答案是： 探究
若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？（4）把一个定点改为两个定点F1和 F2 ，把距离为定长改为距离之和为定值； （5）把一个定点改为两个定点F1和F2 ，把距离为定长改为距离之差为定值；……………..探究
若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？数 学 实 验(1) 取一条细 绳,
(2) 把它的两端 固定在板上的两点F1、F2
(3) 用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形GSP 实验1点击思考问题1：在作同一曲线图的过程中， 圆规两脚末端相对位置变没变？
2：在作图过程中绳子长度变没变？
3：要使粉笔套上绳子时能移动，绳子长度与两定点距离大小关系怎样？4：绳子的长度和两定点之间的距离还有 哪些情况？议一议：
通过探究，如何给椭圆下定义呢？ 探究：改变绳长，
动点的轨迹是什么？
（1）若绳长＝|F1F2|，
（2）若绳长<|F1F2|，
（3）若绳长>|F1F2|，GSP实验24：绳子的长度和两定点之间的距离还有 哪些情况？归纳椭圆定义：这两个定点F1、F2称为焦点，
两焦点距离称为焦距。记为2c平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a 的点的轨迹叫做椭圆。（2a>|F1F2|）|MF1|+|MF2|=2a为什么不设为a ?为什么不设为c ?小结：满足几个条件 的动点的轨迹叫做椭圆？平面上----这是大前提
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a
常数 2a 要大于焦距 2C回顾：求曲线方程的方 法步骤是什么？（1）建系、设点
（2）列出限制式
（3）代换，得出方程
（4）化简
（5）证明回顾圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆C就是集合P={M| |MC|=r}这里定点为原点C，定长为半径r标准方程：以原点 C(0,0) 为圆心，r为半径如何建立坐标系？多种方案：1：建立坐标系。2：取定点F1为原点，F1, F2的连线为x轴，过F1与F1F2垂直的直线为y轴。3：取两定点的连线为x轴， F1F2的垂直平分线 为y轴。4：取两定点的连线为y轴， F1F2的垂直平分线 为x轴。…...F1F2MF1 (-c,0)、 F2 (c,0)|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c类比圆，建立坐标系为什么不设为c ?为什么不设为a ?写出等量关系设M（x,y）是椭圆上任一点，
椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝推导标准方程∵ [(x－c)2 ＋ y2 ]－[ (x＋c)2 ＋ y2 ]＝－4cx猜猜椭圆的标准方程的形式？推导标准方程(1) 、 (2)是对偶形式，两者相加得两边平方，并整理得，（a2－c2）x2＋a2y2＝a2(a2－c2). （4）(5)未臻完美？ 推导标准方程 由椭圆定义：2a＞2c＞0，即a＞c＞0，
∴ a2－c2＞0 ，
设b＞0，令 a2－c2=b2， （6）
简单是真理的标志,
美丽为数学所蕴含。 焦点F1(?c, 0)、F2(c, 0). c2=a2?b2.所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。思考-猜测 焦点在y轴上的椭圆的标准方程与焦点在x轴上的椭圆的标准方程一样吗？有何不同？简单是真理的标志,
美丽为数学所蕴含。 两种形式说明：1表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是
F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2-b2说明：2表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是
F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2-b2几点说明：①注意两者的异同，两者的对称转换（因为x与y地位对称，两者互换）
②两种形式中，总有a>b>0；
③椭圆焦点始终在分母大的轴上；
④a、b、c始终满足c2=a2-b2 ；
⑤遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、 C同号，就是椭圆方程 快速反应536432例1 已知a=4,b=3，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程y口答：根据已知条件，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程（1）a=5,b=4变例、已知a=5,c=3，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程练习2根据已知条件，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程 应 用 举 例 [例2] 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹方程.例2 平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。解：[1] 判断：(1)和是常数；(2)常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。[2] 取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。[3] 根据已知求出a、c，再推出a、b写出椭圆的标准方程。 [解] 这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示. 取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.回归定义!例2* 已知椭圆的焦点坐标是
F1（－4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和
是10，求椭圆的标准方程c=42a=10解：由已知得，c=4,2a=10例2* 已知椭圆的焦点坐标是
F1（－4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程例3 椭圆的两个焦点分别是
（0，－2）、（0，2），并且
椭圆经过点(－1.5，2.5).
求它的标准方程。. 例3 椭圆的两个焦点是（0，－2）、（0，2），且椭圆经过点(－1.5，2.5).求它的标准方程。解:因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆定义：∴a= ，c= ， ∴b2=a2－c2= ∴所求椭圆的标准方程为26其它方法？待定系数法
方程思想勇攀高峰^_^小结 ------“定义法”
[1]根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆
[2]象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是标准方程。
[3]设椭圆标准方程，即用待定系数法
[4]写出椭圆的标准方程 1．一个定义： 小 结2．两个方程：３.三个思想：①整体思想②数形结合③方程思想比较作作业业称为椭圆的标准方程焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）F2（c,0）焦点在y轴上，焦点是F1（0,-c）F2（0,c）如何判断焦点?所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴
上，且两焦点的中点为坐标原点。称为椭圆的标准方程如何求焦点？椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。标准方程图形焦点坐标定 义a b c
的关系焦点位置
的判断F1(- C, 0)F2(C, 0)F1( 0 ,- C)F2( 0 , C)分母哪个大，焦点就在哪个轴上．作业1.课本P53.1（写书上）
2.课本P53.2（1）（2）（3）在平面内进一步的探究： 与两个定点F1 , F2的距离的和
等于常数的点轨迹叫做椭圆椭圆及其标准方程. .形状不变,大小改变,随常数的增大而大,随常数的减小而小.１、焦点不变常数变化时椭圆的变化情况：. .. .. . . .. .. . . . ２、常数不变焦点变化时椭圆的变化情况：形状改变,随焦距的减小越来越圆,随焦距的增大越来越椭.３、常数等于焦距时,轨迹是
.小于焦距时线段F1F2无轨迹.. .F1 F2.P1.P2.P3.P4
神舟五号升空，神州继续腾飞!神舟六号嫦娥工程2004年春季北京高考题 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，已知地球半径R＝6371km。 (I)你能求出飞船飞行的轨道方程吗？
(II)你能求出飞船巡天飞行的平均速
度是多少km/s吗？（结果精确到1km/s）
（注：km/s即千米/秒）椭圆及其标准方程广东茂名一中全茂问题1:圆的定义是什么?圆的定义中有哪些条件? 1.一个定点
2.距离为定长回顾圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆C就是集合P={M| |MC|=r}这里定点为原点C，定长为半径r标准方程：以原点 C(0,0) 为圆心，r为半径探究
若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？（2）把“一个定点”改为“两个定点F1和 F2”， 把“距离为定长”改为“距离相等”； （1）去掉“距离为定长”；（3）把一个定点改为两个定点F1和 F2 ，把距离为定长改为距离之比为2∶1； 答案是： 探究
若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？（4）把一个定点改为两个定点F1和 F2 ，把距离为定长改为距离之和为定值； （5）把一个定点改为两个定点F1和F2 ，把距离为定长改为距离之差为定值；……………..探究
若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？数 学 实 验(1) 取一条细 绳,
(2) 把它的两端 固定在板上的两点F1、F2
(3) 用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形GSP 实验1点击思考问题1：在作同一曲线图的过程中， 圆规两脚末端相对位置变没变？
2：在作图过程中绳子长度变没变？
3：要使粉笔套上绳子时能移动，绳子长度与两定点距离大小关系怎样？4：绳子的长度和两定点之间的距离还有 哪些情况？议一议：
通过探究，如何给椭圆下定义呢？ 探究：改变绳长，
动点的轨迹是什么？
（1）若绳长＝|F1F2|，
（2）若绳长<|F1F2|，
（3）若绳长>|F1F2|，GSP实验24：绳子的长度和两定点之间的距离还有 哪些情况？归纳椭圆定义：这两个定点F1、F2称为焦点，
两焦点距离称为焦距。记为2c平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a 的点的轨迹叫做椭圆。（2a>|F1F2|）|MF1|+|MF2|=2a为什么不设为a ?为什么不设为c ?小结：满足几个条件 的动点的轨迹叫做椭圆？平面上----这是大前提
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a
常数 2a 要大于焦距 2C回顾：求曲线方程的方 法步骤是什么？（1）建系、设点
（2）列出限制式
（3）代换，得出方程
（4）化简
（5）证明回顾圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆C就是集合P={M| |MC|=r}这里定点为原点C，定长为半径r标准方程：以原点 C(0,0) 为圆心，r为半径如何建立坐标系？多种方案：1：建立坐标系。2：取定点F1为原点，F1, F2的连线为x轴，过F1与F1F2垂直的直线为y轴。3：取两定点的连线为x轴， F1F2的垂直平分线 为y轴。4：取两定点的连线为y轴， F1F2的垂直平分线 为x轴。…...F1F2MF1 (-c,0)、 F2 (c,0)|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c类比圆，建立坐标系为什么不设为c ?为什么不设为a ?写出等量关系设M（x,y）是椭圆上任一点，
椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝推导标准方程∵ [(x－c)2 ＋ y2 ]－[ (x＋c)2 ＋ y2 ]＝－4cx猜猜椭圆的标准方程的形式？推导标准方程(1) 、 (2)是对偶形式，两者相加得两边平方，并整理得，（a2－c2）x2＋a2y2＝a2(a2－c2). （4）(5)未臻完美？ 推导标准方程 由椭圆定义：2a＞2c＞0，即a＞c＞0，
∴ a2－c2＞0 ，
设b＞0，令 a2－c2=b2， （6）
简单是真理的标志,
美丽为数学所蕴含。 焦点F1(?c, 0)、F2(c, 0). c2=a2?b2.所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。思考-猜测 焦点在y轴上的椭圆的标准方程与焦点在x轴上的椭圆的标准方程一样吗？有何不同？简单是真理的标志,
美丽为数学所蕴含。 两种形式说明：1表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是
F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2-b2说明：2表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是
F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2-b2几点说明：①注意两者的异同，两者的对称转换（因为x与y地位对称，两者互换）
②两种形式中，总有a>b>0；
③椭圆焦点始终在分母大的轴上；
④a、b、c始终满足c2=a2-b2 ；
⑤遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、 C同号，就是椭圆方程 快速反应536432例1 已知a=4,b=3，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程y口答：根据已知条件，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程（1）a=5,b=4变例、已知a=5,c=3，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程练习2根据已知条件，求焦点
在x轴上的椭圆的标准方程 应 用 举 例 [例2] 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹方程.例2 平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。解：[1] 判断：(1)和是常数；(2)常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。[2] 取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。[3] 根据已知求出a、c，再推出a、b写出椭圆的标准方程。 [解] 这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示. 取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.回归定义!例2* 已知椭圆的焦点坐标是
F1（－4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和
是10，求椭圆的标准方程c=42a=10解：由已知得，c=4,2a=10例2* 已知椭圆的焦点坐标是
F1（－4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程例3 椭圆的两个焦点分别是
（0，－2）、（0，2），并且
椭圆经过点(－1.5，2.5).
求它的标准方程。. 例3 椭圆的两个焦点是（0，－2）、（0，2），且椭圆经过点(－1.5，2.5).求它的标准方程。解:因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆定义：∴a= ，c= ， ∴b2=a2－c2= ∴所求椭圆的标准方程为26其它方法？待定系数法
方程思想勇攀高峰^_^小结 ------“定义法”
[1]根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆
[2]象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是标准方程。
[3]设椭圆标准方程，即用待定系数法
[4]写出椭圆的标准方程 1．一个定义： 小 结2．两个方程：３.三个思想：①整体思想②数形结合③方程思想比较作作业业称为椭圆的标准方程焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）F2（c,0）焦点在y轴上，焦点是F1（0,-c）F2（0,c）如何判断焦点?所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴
上，且两焦点的中点为坐标原点。称为椭圆的标准方程如何求焦点？椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。标准方程图形焦点坐标定 义a b c
的关系焦点位置
的判断F1(- C, 0)F2(C, 0)F1( 0 ,- C)F2( 0 , C)分母哪个大，焦点就在哪个轴上．作业1.课本P53.1（写书上）
2.课本P53.2（1）（2）（3）在平面内进一步的探究： 与两个定点F1 , F2的距离的和
等于常数的点轨迹叫做椭圆椭圆及其标准方程. .形状不变,大小改变,随常数的增大而大,随常数的减小而小.１、焦点不变常数变化时椭圆的变化情况：. .. .. . . .. .. . . . ２、常数不变焦点变化时椭圆的变化情况：形状改变,随焦距的减小越来越圆,随焦距的增大越来越椭.３、常数等于焦距时,轨迹是
.小于焦距时线段F1F2无轨迹.. .F1 F2.P1.P2.P3.P4