2.1 等式性质与不等式性质- 学案【帮课堂】2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019必修第一册）

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2.1 等式性质与不等式性质
【考点梳理】
一、等式的基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bca>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。
【题型归纳】
题型1 利用不等式的性质判断真假
1．如果，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
3．已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型2 比较大小
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知为不全相等的实数，，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型3 求代数式的取值范围
7．已知，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型4 不等式的证明
10．对于任意实数，给定下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【双基达标】
一、单选题
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知实数满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
17．设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
18．设aA． B．ac－b D．
19．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
20．若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
21．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
22．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
23．已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
25．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
27．已知下列命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④若，则；其中为真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
29．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
二、多选题
30．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
31．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
32．已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
33．下列命题不正确的（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
34．已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
35．一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________
36．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．
37．若实数，满足，，则的取值范围是________.
38．已知，且，则的最小值为_________．
39．已知，则的范围是_____________．
四、解答题
40．设，，求，，的范围.
41．已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
42．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】
解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
2．C
【解析】
【分析】
利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.
【详解】
对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误，
故选：C.
3．A
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C、D；
【详解】
解：因为，所以，故A正确；
对于B：当时，故B错误；
对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；
对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
分别通过作差法比较的大小关系和的大小关系，即得结果.
【详解】
，所以，
，所以，
故.
故选：D.
5．A
【解析】
【分析】
利用作差比较法，结合配方法进行判断即可.
【详解】
因为，
所以当为不全相等的实数，有，即，
故选：A
6．C
【解析】
作差后配方可得答案.
【详解】
因为，
所以，当且仅当，时取等号，
故选：C．
7．B
【解析】
【分析】
由不等式的性质求解即可.
【详解】
，
故，，得
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
设，求出的值，根据的范围，即可求出答案.
【详解】
设，
所以，解得：，
因为，所以，
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
设，求出结合条件可得结果.
【详解】
设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】
解：对于A：当时，若则，故A错误；
对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；
对于C：若，则，所以，故C正确；
对于D：若，满足，但是，故D错误；
故选：C
11．A
【解析】
【分析】
AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.
【详解】
，显然均大于等于0，两边平方得：，A正确；
当时，满足，但，B错误；
若，当时，则，C错误；
若，，则，D错误.
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质或赋值逐项判断即可.
【详解】
对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确；
对于B选项：当时，，故B选项不正确；
对于C选项：当时，，，又，，
故C选项正确；
对于D选项：，
，，，，故D选项不正确；
故选：C
13．A
【解析】
【分析】
由和充要条件的定义，可得答案.
【详解】
若，则，当且仅当时取等号；
若，则.
所以 “”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键，属于基础题．
14．B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断；对于CD，举例判断；对于B，作差法判断
【详解】
解：对于A，因为，所以，所以，所以A错误，
对于B，因为，
所以，
所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以C错误，
对于D，当时，，所以D错误，
故选：B
15．C
【解析】
【分析】
为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.
【详解】
导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．
由题意可得．
故选：C.
16．D
【解析】
【分析】
通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.
【详解】
若，，则，，则AB错误；
若，，则，则C错误；
，，又，，则D正确.
故选：D
17．B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由已知得，，，故，
故选：B.
18．B
【解析】
【分析】
利用不等式的性质对四个选项一一验证：
对于A，利用不等式的可乘性进行证明；
对于B，利用不等式的可乘性进行判断；
对于C，直接证明；
对于D，由开方性质进行证明.
【详解】
对于A，因为a对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；
对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；
对于D，由－a>－b>0，可得，则选项D成立.
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对四个选项一一验证：
对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；
对于B：取进行否定；
对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；
对于D：取进行否定.
【详解】
对于A：当时，若取，则有.故A不正确；
对于B：当时，取时，有.故B不正确；
对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；
对于D：当，取时，有.故D不正确.
故选：C.
【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.
20．C
【解析】
根据条件将代入不等式，由此求解出的取值范围，从而的最小值确定.
【详解】
∵实数是不等式的一个解，
∴代入得：，解得，
∴a可取的最小整数是，
故选：C．
21．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断各选项．
【详解】
A显然错误，例如，；
时，由得，B错；
，但时，，C错；
，又，所以，D正确．
故选：D．
22．B
【解析】
设马拉松全程为x，得到甲用的时间为，乙用的时间为，
做差比较大小可得答案.
【详解】
设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为，
因为，
所以，
所以，则乙先到达终点.
故选：B.
【点睛】
比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；
（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.
23．A
【解析】
【分析】
根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】
当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
24．D
【解析】
【分析】
对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断
【详解】
解：对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则满足，而不满足，所以B错误，
对于C，若，则满足，，而此时，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以D正确，
故选：D
25．B
【解析】
【分析】
的三边长分别为、、，不妨设，则，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.
【详解】
的三边长分别为、、，不妨设，则，
对于（1）： ，所以，所以以、、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；
对于（2）：不一定成立，因此以、、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；
对于（3）：，因此以、、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）： 取，，因此、、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有个，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是设不妨设，则，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.
26．B
【解析】
【分析】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，令，根据待定系数法求得，借助不等式性质即可证得.
【详解】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.
所以2枝玫瑰的价格高.
故选：B
【点睛】
本题考查不等关系与不等式性质，考查不等式比较大小的问题，属于中档题.
27．C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断各项的正误，即可知真命题的个数.
【详解】
①若，显然不成立，错误；
②若，，即，则，故，正确；
③若，即，则，正确；
④若，即，则，正确.
故真命题有3个.
故选：C
28．D
【解析】
【分析】
对于选项A,变负为正,即得; 对于选项B C D分别作差即得.
【详解】
故A错误;
故B错误;
故C错误;
故D正确.
故选: D
29．A
【解析】
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
30．AC
【解析】
【分析】
根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.
【详解】
对于A选项, 由于,故,所以, 即,故A选项正确;
对于B选项, 由于,故, ,故,故B选项错误;
对于C选项, 因为,故,所以,所以,故C选项正确;
对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;
故选:AC
【点睛】
本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.
31．BD
【解析】
【分析】
举反例可判断选项A、C不正确，由不等式的性质可判断选项B、D正确，即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：举反例：，，，满足，但，
故选项A 不正确；
对于选项B：因为，则，所以 ，故选项B正确；
对于选项C：因为，，，满足，但，故选项C不正确；
对于选项D：因为，所以，因为，所以，故选项D正确，
故选：BD.
32．AC
【解析】
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；
若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；
对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；
故选：AC
【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
33．ABD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.
【详解】
A：且，因此，
即，故本命题不正确；
B：因为，显然不成立，所以本命题不正确；
C：由，而，
所以有，而，故本命题正确；
D：若，显然成立，但是不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法.
34．<
【解析】
【分析】
作差判断正负即可比较.
【详解】
因为，所以.
故答案为：<.
35．
【解析】
【分析】
运用不等式的性质可得答案.
【详解】
若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：，
因为，所以成立.
故答案为：.
36．
【解析】
【分析】
由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得．
【详解】
解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以
故答案为：
37．
【解析】
由可得，然后相加便可得到的取值范围．
【详解】
因为，所以，又因为，
所以，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式的基本性质及运用，解答时注意同向可相加，注意端点的值能否取到，容易错解为．
38．4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
39．
【解析】
【分析】
由不等式的性质可得答案.
【详解】
因为，所以，
故答案为：.
40．，，
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.
【详解】
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
41．（1）；（2）-1【解析】
【分析】
(1)利用绝对值的意义求解即得；
(2)利用不等式加法法则求解即得；
(3)先由不等式性质求出-b的范围，再用不等式加法法则求解即得；
(4)先由不等式性质求出2a和-3b的范围，再用不等式加法法则求解即得.
【详解】
（1）因-2所以|a|∈[0，3]；
（2）因-2所以-1（3）因1≤b<2，则-2<-b≤-1，又-2所以-4（4）由-2所以-10<2a-3b≤3.
42．
【解析】
【分析】
令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，利用待定系数法求得x，y，再利用不等式的基本性质求解.
【详解】
令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
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