2.2 基本不等式- 学案【帮课堂】2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.2 基本不等式
【考点梳理】
一、基本不等式的概念
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由公式和引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
二、基本不等式的证明
1、法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，
这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2、法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，
过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，
其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
2、积定和最小，和定积最大
（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
【题型归纳】
题型1对基本不等式的理解
1．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2利用基本不等式证明不等式
4．已知，且，则下列不等式不正确的（ ）
A． B． C． D．
5．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知，，，下列不等式正确的个数有（ ）
①，②，③，④.
A．1 B．2 C．3 D．4
题型3利用基本不等式求最值
7．的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
题型4基本不等式的恒成立问题
10．若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}
11．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
题型5利用基本不等式解应用题
13．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（ ）
A．30米 B．50米 C．80米 D．110米
14．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为.设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是（ ）
A．30 B．60 C．900 D．180
15．欲用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长、宽分别为（ ）
A．15 m，m B．15 m，m
C．7 m，m D．7 m，m
【双基达标】
16．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
18．若x＞2，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
20．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
21．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
22．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
24．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．已知，则的最小值是（ ）
A．7 B． C．4 D．
26．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
27．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
28．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
29．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．
30．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
31．已知函数（），则该函数的（ ）．
A．最小值为3 B．最大值为3
C．没有最小值 D．最大值为
32．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
34．若x>1，则有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1
35．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
36．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
37．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C． D．
38．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
39．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
40．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
41．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
42．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
43．下列各不等式，其中不正确的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． .
44．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
45．已知x，y为正数，且，则的最小值为________.
46．若，则的最小值是___________.
47．已知正数，满足，则的最大值为______．
48．已知实数满足，则的取值范围为_________.
49．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
50．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.
四、解答题
51．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
52．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
53．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.
(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.
54．已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
55．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【详解】
解：对于A：若、时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：若、时，，故C错误；
对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：D
2．C
【解析】
【分析】
应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.
【详解】
A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误；
B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误；
C：恒成立，故C正确；
D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误；
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
因为，，可求出，可判断A；由，可判断B；举反例可判断C；由得，所以可得，可判断D.
【详解】
因为，
，当且仅当时等号成立，所以，A正确；
由得，，同理，
，当且仅当，即时等号成立，B正确；
满足题意，但，C错；
由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
由，，可得，得，利用基本不等式即证，反之可以取值举反例.
【详解】
先证充分性成立，
，，，，得，则，当且仅当时等号成立，所以“”是“”的充分条件；
再证必要性不成立，
由，，，即令，， 得成立，但，
所以“”是“”的不必要条件；
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．D
【解析】
【分析】
由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可．
【详解】
因为，，，
所以，得，当且仅当时取等号，②对；
由，当且仅当时取等号，①对；
由得，所以，当且仅当时取等号，③对；
由，当且仅当时取等号，④对
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
利用均值不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行求解.
【详解】
因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】
（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
10．A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出不等式x的最小值为4，转化为4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，∴不等式x24，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4，
由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，
可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，
故选：A．
11．D
【解析】
【分析】
先分离变量可得在时恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.
【详解】
解：当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立，
即等价于；
而因为，故,当且仅当，即时取得最大值.
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查了分离变量最值法，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题.
12．B
【解析】
【分析】
根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值．
【详解】
因为，，，
所以
.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.
【点睛】
本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键．
13．C
【解析】
【分析】
设该矩形区域的长为x米，则宽为米，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】
设该矩形区域的长为x米，则宽为米，
则所用警戒线的长度为米，当且仅当，即时，取等号.
则所用警戒线的长度的最小值为80米.
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行最值进行解题.
【详解】
解：某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值是.
故选：B
15．A
【解析】
【分析】
根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以，
，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
故选：．
16．D
【解析】
【分析】
根据图形，求出圆的半径以及 .再利用勾股定理求得 ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
17．C
【解析】
【分析】
由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
∵，
∴当且仅当时等号成立.
故选：C
18．D
【解析】
直接由利用基本不等式求最值即可.
【详解】
∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴，当且仅当，即x＝4时取等号，
∴函数的最小值为6.
故选：D.
19．D
【解析】
【分析】
由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】
由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
20．A
【解析】
将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】
因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
21．C
【解析】
【分析】
由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
22．A
【解析】
【分析】
由和充要条件的定义，可得答案.
【详解】
若，则，当且仅当时取等号；
若，则.
所以 “”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键，属于基础题．
23．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】
对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
24．A
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
25．D
【解析】
【分析】
由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，有最小值.
故选：D.
26．D
【解析】
【分析】
令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】
由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
27．C
【解析】
【分析】
化简，然后利用基本不等式求解即可
【详解】
根据题意，若正实数，满足，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为5；
故选：C
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
28．C
【解析】
由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值
【详解】
由知：，而，
∴，则
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值
29．B
【解析】
【分析】
原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】
解：依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．
30．B
【解析】
【分析】
对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.
【详解】
因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，
所以.
故的最小值是16.
故选：B
31．D
【解析】
【分析】
先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可.
【详解】
解：因为，所以，，
由基本不等式：，
当且仅当即时，取等号.
所以，即，所以（），
当且仅当即时，取等号.
故该函数的最大值为：
故选：D
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.
32．C
【解析】
依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为且，所以，所以
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为
故选：C
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
33．A
【解析】
转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
34．A
【解析】
【分析】
将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.
【详解】
因x>1，则1，当且仅当，即时取等号.
所以有最小值为1.
故选：A
35．A
【解析】
【分析】
由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】
已知正数、满足，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
36．A
【解析】
【分析】
将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可．
【详解】
由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
∴，即，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
故选：A．
37．D
【解析】
【分析】
由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得范围．
【详解】
正实数，满足，
，
当且仅当即且时取最小值8，
恒成立，，
解关于的不等式可得
故选：．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．
38．A
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
39．B
【解析】
确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】
解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
【点睛】
本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
40．C
【解析】
【分析】
将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
41．CD
【解析】
【分析】
因为正实数,满足,可用“乘1法则”再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.
【详解】
解:,,且,,,A错误;
,
,B错误;,
,C正确;,
,D正确.
故选CD
【点睛】
利用基本不等式的性质判断即可.需要注意“一正二定三相等”.
42．AC
【解析】
【分析】
已知等式化简为,利用基本不等式转化,得到关于的不等式，研究可得的最值情况，转化,得到关于的不等式，研究可得的最值情况，进而作出判定.
【详解】
，解不等式得或，故，
等号当且仅当时取得，故有最小值9，则A对，B错；
，解不等式得或，又，
故，当且仅当时取等号，故有最小值6，则C对，D错，
故选：AC．
43．ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断正误.
【详解】
对A项，当时，，则A错误；
对B项，当时，，当且仅当时，等号成立
当时，，当且仅当时，等号成立，
则B正确；
对C项，当时，，则C错误；
对D项，当时，，则D错误；
故选：ACD
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，注意对目标式的变形和配凑，属基础题.
44．ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，判断A；平方后，再利用基本不等式判断B；变形判断C；利用“1”的变形，展开后，利用基本不等式判断D.
【详解】
解：，，，
，
即，即，故正确；
，
故，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD．
45．7
【解析】
由题设等式有，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的最小值.
【详解】
，
由基本不等式有，当且仅当时等号成立，
故的最小值为即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
46．
【解析】
【分析】
由，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
47．
【解析】
【分析】
由条件得，进而得，由基本不等式可得解.
【详解】
由，得，
由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元，进而可利于基本不等式求最值.
48．
【解析】
变换，利用均值不等式得到，计算得到答案.
【详解】
，
故，当时等号成立.
故且，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了均值不等式求最值，变换是解题的关键.
49．
【解析】
【分析】
由题得ab＝a＋b＋3≥2＋3，解不等式即得解.
【详解】
∵a，b是正数，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
所以，
所以，
所以或，
所以ab≥9.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
50．
【解析】
【分析】
根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】
因为里步，由图可知，步里，步里，
，则，且，
所以，，所以，，则，
所以，该小城的周长为（里）.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
51．（1）最大值为；（2）最小值为5.
【解析】
【分析】
（1）直接用基本不等式求解；
（2）依题意，，进而用基本不等式可求得结果.
【详解】
（1）因为所以，
即当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
52．（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【解析】
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
53．(1)，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)有，最大值为；
【解析】
【分析】
（1）通过，求出．得到矩形的面积为．利用基本不等式求解学生公寓的面积的最大值．
（2）由三角形相似可得，设，，即可得到，再利用基本不等式得到，由矩形的面积为，即可得到学生公寓的面积最大值；
(1)
解：设，依题意知，所以，
即，则．
故矩形的面积为．
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
故，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)
解：由（1）可得，即，同理可得，
设，，所以，即，所以，即，因为的面积为，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以学生公寓的面积有最大值为；
54．(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
【详解】
(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.
55．（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】
（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】
（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
试卷第1页，共3页