2022级新高一开学摸底考试——数学试题5（Word版含解析）

2022级新高一开学摸底考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
4．，对于任意实数x恒成立，
则下列关系中立的是
A． B． C． D．
5．设x，y都是实数，则“且”是“或”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
6．函数的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定是
B．向量的夹角为钝角的充要条件是
C．命题，则是真命题
D．设，则“且”是“且”的充分不必要条件
8．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
二、多选题
9．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
10．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．集合的真子集个数为8
11．下列命题正确的有（ ）．
A．若命题，，则，
B．不等式的解集为
C．是的充分不必要条件
D．，
12．下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为或
B．设函数，则“”是“方程与”都恰有两个实根的充要条件
C．存在函数满足，对任意的，都有
D．集合表示的集合是
三、双空题
13．已知全集则____________，_____________
14．在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，就称这个函数是点A的“限定函数”.以下函数：①，②，③，④，其中是原点O的“限定函数”的序号是______.已知点在函数的图象上，若函数是点A的“限定函数”，则实数a的取值范围是______.
四、填空题
15．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
16．学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人.
五、解答题
17．已知集合，若，求的值．
18．已知全集，集合，．
(1)求；
(2)设非空集合，若，求实数a的取值范围．
19．已知集合，，其中．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围．
20．已知，．
（1）当时，求中所对应的实数的取值范围；
（2）若是的充分必要条件，求，的值．
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B：
(2)从①，②中选取一个作为条件，证明另外一个成立；
(3)若D为线段上一点，且，求的面积．
22．如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，A（﹣2，0），C（1，3）.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△COD的面积；
（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据交集的定义求出，即可得出答案.
【详解】
解：因为集合，集合，
所以，
所以中元素的个数为3个.
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
转化条件，结合描述法表示集合及集合交、补运算的定义即可得解.
【详解】
集合的关系式可以变为，它的几何意义是直线上去掉点后所有的点的集合，
所以，表示直线外所有点及点的集合；
集合表示直线外所有点的集合，
，表示直线上所有点的集合；
从而可得.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是的元素且是的元素，或是的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.
【详解】
解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足
“是的元素且是的元素，或是的元素”，
故阴影部分所表示的集合是
故选：
【点睛】
本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具．
4．A
【解析】
【分析】
首先化简集合Q，对任意实数恒成立，则分两种情况：（1）时，易知结论成立，（2）时，无根，则由求得m的范围.
【详解】
，
对m分类：
（1）时，恒成立；
（2）时，需要，解得，
综合（1）（2）知，所以，
因为，所以，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关判断集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目.
5．A
【解析】
【分析】
直接根据充分性和必要性进行判断即可.
【详解】
由题意知：且能推出或，满足充分性；反过来或不能推出且，不满足必要性，
故“且”是“或”的充分非必要条件.
故选：A.
6．C
【解析】
先利用定义判断函数定义域和对称性，结合对数函数图象和平移变换作出y轴右侧部分图象，再结合对称性即得到函数图象.
【详解】
函数中，令得定义域为，且，即是偶函数，图象关于y轴对称，当时，，图象可由向右平移一个单位得到（如图所示），
再关于y轴对称得到时的图像，即函数图象为选项C中的图象.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．D
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定为全称命题可判断A，利用向量数量积的定义可判断B，利用辅助角公式及三角函数的性质可判断C，利用充分不必要条件的定义可判断D.
【详解】
命题的否定是，故A错误；
向量的夹角为钝角的充要条件是且不平行于，故B错误；
因为，所以命题为真命题，则是假命题，故C错误；
由“且”可推出“且”，而由“且”推不出“且”，故“且”是“且”的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
8．C
【解析】
【分析】
假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题.
9．ABD
【解析】
【分析】
举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．
【详解】
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
10．AC
【解析】
【分析】
根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】
因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
11．ABC
【解析】
对A，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B，结合二次函数的图象即可判断；对C，先求出的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对D，由特殊值即可判断.
【详解】
解：对A，若命题，，则，，故A正确；
对B，，
令，
则，
又的图象开口向上，
不等式的解集为；故B正确；
对C，由，
解得：或，
设，，
则，故是的充分不必要条件，故C正确；
对D，当时，，故D错误.
故选：ABC.
12．BD
【解析】
A. 根据是不等式的解判断；B.根据二次函数的性质判断；C. 由函数是偶函数判断；D.根据方程组的解判断.
【详解】
A.不等式为，利用穿根法解得其解集为或，故错误；
B. 若，则存在使得，又，即的图象开口向上，所以恰有两个不等实根，不妨设的两个根为，且，则，令，则或，又，所以无解，，有两个不等实根，所以必有两个不等实根，反之成立，故正确；
C. 因为，所以是偶函数，而，故错误；
D. 因为，解得或，所以集合表示的集合是，故正确；
故选：BD
【点睛】
关键点点睛：B选项解决的关键是理解二次函数在实数集上若有两个不同零点，则，而则利用换元思想转化为二次函数解决.
13．
【解析】
【分析】
根据交集、补集的概念即可求出结果.
【详解】
根据交集的概念可得，
根据补集的概念可得，
故答案为：；.
14． ①③
【解析】
(1)当，求出各序号中y的取值范围A，若则此函数是原点的“限定函数”； (2) 由题意知，当时，若是点A的“限定函数”，则，由集合的包含关系列出不等式组即可求得a的取值范围.
【详解】
(1) ①当时，，因为，所以函数①是原点的“限定函数”；
②因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时， ，因为，所以②不是原点的“限定函数”；
③因为在上单调递增，所以当时，，因为，所以③是原点的“限定函数”；
④因为在上单调递增，所以当时，，因为，所以④不是原点的“限定函数”.
(2)因为点在函数的图象上，所以，
因为是点A的“限定函数”，并且当时，，
所以，解得.
故答案为：①③；
【点睛】
本题考查函数的概念与性质，涉及基本初等函数及正弦函数的单调性，根据集合的包含关系求参数，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
化简命题q，根据p是q的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解.
【详解】
令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M N，∴，解得0故填
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.
16．3
【解析】
根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．
【详解】
解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，
即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次
所以，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，
所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题．
17．-1.
【解析】
【分析】
由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．
【详解】
∵集合，
∴解得，
则．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简集合A，B，再利用并集运算求解；
（2）利用（1）的结论，由子集的定义求解；
(1)
解：因为，
所以，
所以．
(2)
因为，，
则，
所以．
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，列出不等式组，求解出的范围即可；
（2）求解出集合表示元素对应的一元二次方程的根，对采用分类讨论，根据列出不等式，求解出的范围.
【详解】
（1）因为，，所以或，
解得：，所以的取值范围是：；
（2）因为，所以，
当时，，所以或，
当时，，，
因为，所以，解得：，所以；
当时，，所以，，此时不满足；
当时，，，
因为，所以，解得：；
综上可知：的取值范围是.
【点睛】
本题考查根据元素与集合、集合与集合之间的关系求解参数范围，难度一般.利用集合的子集关系求解参数范围时，如：，要注意到集合是否有空集的可能，因此一般情况需要进行分类讨论：，.
20．（1）；（2）或
【解析】
（1）将代入绝对值不等式，直接根据绝对值不等式的意义，进行求解；
（2）若是的充分必要条件，则则中不等式的解集相同，先解中的不等式，再对中不等式中参数进行分类讨论求解，从而得到关于的方程组，解方程即可得到答案.
【详解】
（1）当时，，
所以实数的取值范围为.
（2），
若是的充分必要条件，则中不等式的解集相同.
因为，（1）
当时，不等式（1）无解，所以不成立；
当时，不等式（1），所以
当时，不等式（1），所以
综上所述：或
【点睛】
本题考查绝对值不等式、一元二次不等式、充要条件的综合运用，考查分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
21．(1)
(2)见解析
(3)4
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理即可得解；
（2）选①，根据结合（1）求出，可得，则有，再根据正弦定理化角为边即可得证；
选②，利用正弦定理化边为角，再结合（1）即可得出结论；
（3）利用正弦定理求得，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.
(1)
解：因为，
所以，
所以，
又，
所以；
(2)
证明：选①，
因为，，
所以，
所以，即，
所以；
选②，因为，
所以，
所以，
又，则，
所以，
即，
所以；
(3)
解：由（1）得，则，
因为，所以
，
所以的面积为4．
22．（1）y＝x+2，y＝；（2）4；（3）﹣3≤x＜0或x≥1.
【解析】
（1）用待定系数发法，即可求解；
（2）△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）观察图象即可求解.
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为：y＝x+2①，
将点C的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，
故反比例函数表达式为：y＝②；
（2）联立①②并解得：x＝1或﹣3，
故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）；
∵点B（0，2），
∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当y1≥y2时x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥1.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页