(共23张PPT)
F2
F1
M
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做
椭圆。
问题2：椭圆的标准方程是怎样的
， ， 关系如何？
问题3：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点 的轨迹会发生怎样的变化？
探求轨迹
平面内到两个定点F1、F2的距离的差等于常数的动点的轨迹又是怎样的？
1.双曲线的定义：
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
(0<2a<|F1F2︱)
2.标准方程的推导
① 建系
使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。
O
② 设点
设 是双曲线上任一点，
焦距为 ，那么 焦点 又设点 与 的差的绝对值等于常数 。
③ 列式
即
④化简
两边同除以 得
得
代入得
这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在 轴上
O
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢
F1(-c,0)
M(x,y)
x
y
F2(c,0)
M(x,y)
F1(0,-c)
F2(0,c)
建系时,焦点在x轴上
2.双曲线的标准方程
3.两种标准方程的比较
① 方程用“－”号连接。
② 分母是 但 大小不定。
③ 。
④如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。
由方程定焦点：
椭圆看大小
双曲线看符号
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。
答案：
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2） 是否表示双曲线？
表示焦点在 轴上的双曲线；
表示焦点在 轴上的双曲线。
表示双曲线，求 的范围。
答案： 。
巩固、
如果方程
满足什么条件时方程表示椭圆？
表示双曲线？表示圆？
y2
x2
m
+
n
=
1
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线
的标准方程.
∵ 2a = 6, 2c=10
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16
所以所求双曲线的标准方程为：
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
解:
小结：求标准方程要做到先定型，后定量。
例题分析
所求轨迹的方程为：
例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.
两条射线
轨迹不存在
a、b、c的关系
焦 点
方 程
定 义
x2
a2
-
y2
b2
=
1
x2
y2
a2
+
b2
=1
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
y2
b2
=
1
椭 圆
双曲线
y2
x2
a2
-
b2
=
1
F（0，±c）
F（0，±c）
4或16
焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点Ｐ，
(1)若|ＰF1|=10, 则|ＰF2|=_______
| |PF1| - |PF2| | = 6
练习1.双曲线的标准方程为：
P
(2)若|ＰF1|=4, 则|ＰF2|=_______
10
练习2、如果方程 表示椭圆，
则m的范围是什么？
练习2、如果方程 表示双曲线，
则m的范围是什么？
y2
x2
m-1
+
2-m
=
1
解：（m-1)(2-m)<0，
∴m>2或m<1
1/
且
y2
x2
m-1
+
2-m
=
1
回顾思考
方程形式：
位置特征：焦点在x轴上
焦点坐标
F1
F2
o
x
y
F1
F2
o
x
y
焦点在y轴上
数量特征：
回顾思考
(1)双曲线定义中，若条件 不具备，轨迹还存在吗？
(2)如何表示双曲线的一支？
(3)反比例函数的图像是双曲线吗？
作业
1. 习题8.3：1、2、3(1)(2)
2.预习思考题8.3：3(3)
2006年11月
