2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题1（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，且是第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
2．设点D为的边AB上一点，点P为内一点，且分别满足关系，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是
A．和 B．和
C．和 D．和
5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
6．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有5人．则n的值为(　　)
A． B． C． D．
8．过点作直线的垂线，垂足为，则点到直线的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从到达处的方法有120种
B．甲从必须经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
11．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
12．在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ）
A．对于任意的，且，都有平面平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，不存在点，使得平面
D．当时，存在点，使得
三、填空题
13．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为．若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为__________．

14．在中,角所对的边分别为且边上的高为,则的最大值是_____________
15．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
16．已知函数，关于函数有以下描述：①的图象关于直线（）对称；②的图象关于点（）对称③的值域为④在上单调递增；则上述说法正确的序号是______.
四、解答题
17．已知函数
0
（1）填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象：
（2）求的对称轴与对称中心；
（3）求在区间上的最大值和最小值以及对应的值.
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积.
19．受疫情影响，食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种肉类产品销售前，食品安检部门安排3名检测人员分别对每箱肉类产品的三项不同指标同时进行独立检测，只有3人检测的结果都合格，这箱产品才能在该超市销售.已知每箱肉类产品3名检测人员检测合格的概率分别为，，，检测结果只有合格与不合格两种情况.现对，，，四箱产品进行检测.
(1)求产品不能在该超市销售的概率；
(2)若产品，，，能在超市销售，则分别获利200元，300元，400元，400元；若不能在超市销售，则分别亏损100元，150元，200元，200元，且四箱肉类产品能否在超市销售互不影响.在不考虑其他因素的前提下，这四箱肉类产品共获利不少于500元的概率是多少？
20．如图，四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)设，若直线与平面所成的角为，求线段的长.
21．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A的直线与椭圆相交于点，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与椭圆相交于M，N两点，且△ASM的面积是△HSN面积的倍，求直线l的方程.
22．已知圆经过点，，且它的圆心在直线上.
（1）求圆关于直线对称的圆的方程；
（2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先求，再用倍角公式和同角三角函数基本关系式求得的值.
【详解】
解：，且是第二象限，
故，
则.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
根据向量关系得到，，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】
，，所以，
又，
所以的高：的高，
，，，
当且仅当，取等号.当时，取得最大值.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题.
3．A
【解析】
【分析】
由，求得，再利用三角形面积公式求解.
【详解】
解：因为，且，
所以，
所以，
故选：A
4．C
【解析】
【详解】
试题分析：根据三视图可知，所求几何体为四棱锥与长方体
的组合，∴体积，易求得
，，∴表面积
，故选C．
考点：1三视图；2．空间几何体的体积与表面积．
5．A
【解析】
根据事件的关系逐个判断即可.
【详解】
解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题型.
6．B
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的公式，即可计算结果.
【详解】
因为两条直线互相垂直，则，得.
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
由频率分布直方图和等差数列的性质求出b＝0.01，再由成绩在[90，100]内的有5人，能求出n．
【详解】
由频率分布直方图，得：
，
解得b＝0.01，
∵成绩在[90，100]内的有5人，∴，解得n＝50．
故选C.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的性质及应用，考查了样本容量的求法，是基础题．
8．A
【解析】
由已知可得过定点，，点轨迹为以为直径的圆，转为求圆上的点到直线的距离最小值，求出圆心到直线的距离，减去半径即为所求.
【详解】
直线化为，
直线过定点，过点作直线的垂线，
垂足为，则，所以点轨迹为以为直径的圆，
圆心，半径为，
圆心到直线距离为
到直线的距离最小值，
即为圆上的点到直线最小值为.
故选:A.
【点睛】
本题考查用几何法求圆上的点到直线距离的最小值，考查直线系方程的特征，解题的关键求出动点的轨迹，属于中档题.
9．BCD
【解析】
【分析】
由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】
对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
10．BD
【解析】
【分析】
对选项A，利用组合数原理即可判断A错误，对选项B，利用分步计数原理即可判断B正确，对选项C，利用古典概型公式计算即可判断C错误，对选项D，首先计算甲、乙两人相遇的走法数，再利用古典概型公式计算即可得到D正确.
【详解】
对选项A，甲从到达处，需要走步，其中向上步，向右步，
所以从到达处的方法有种，故A错误.
对选项B，甲从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，
从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，
所以甲从必须经过到达处的方法有种，故B正确.
对选项C，甲经过的方法数为，乙经过的方法数为，
所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种，
故甲、乙两人在处相遇的概率，故C错误.
对选项D，甲、乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3步，乙经过处，则前三步必须向左走，两人在处相遇的走法有1种.
若甲、乙两人在或处相遇，由选项C知，各有种，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3步，乙经过处，则乙前三步必须向下走，则两人在处相遇的走法有1种.
所以甲、乙两人相遇的概率，故D正确.
故选：BD
11．BD
【解析】
【分析】
设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值．
【详解】
解：如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
12．ABC
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，设正方体的棱长为，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为，
，设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为，即，
对于任意的，且，都有平面平面，A对；
对于B选项，当时，点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，且
所以，点到平面的距离为，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，B对；
对于C选项，当时，，
假设存在点，使得平面，因为平面，则，
，则，可得，与题设条件不符，
假设不成立，故当时，不存在点，使得平面，C对；
对于D选项，当时，则，
则，，
，故为锐角，D错.
故选：ABC.
13．
【解析】
【分析】
根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.
【详解】
因为“牟合方盖”的体积为，
又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，
所以正方体的内切球的体积球，
所以内切球的半径，所以正方体的棱长为2，
所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即，
所以，所以正方体的外接球的表面积为．
故答案为：.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，掌握它们之间的关系是解题的关键，属于基础题.
14．4
【解析】
【分析】
由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.
【详解】
由题，三角形的面积：
由余弦定理：
可得：
所以
所以的最大值为4
故答案为4
【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.
15．
【解析】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．
【详解】
方程，即表示圆，
，求得，则实数m的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.
16．①③
【解析】
【分析】
根据对称轴以及对称中心解析式满足的等式可验证①②，根据分段函数的值域求解可判断③，整体验证的方式可判断单调性.
【详解】
因为，所以是的对称轴，故①正确，
，
故不是的对称中心，故②错误，
，
当，；
当，；
故的值域为，③正确；
当时，，，故④错误.
故答案为：①③.
17．（1）见解析（2）对称轴为：.对称中心为： （3）时，.时，
【解析】
【分析】
（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图；
（2）令，可得对称轴，令，可得对称中心；
（3）根据，得到，由三角函数性质可得最值.
【详解】
（1）列表
0
0 1 0 0
；
（2）令，即对称轴为：；
令，即对称中心为：；
（3）当时，令，
当，即时，；
当，即时，.
【点睛】
本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的简图，以及函数的对称性和最值，属于基础题.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A；（2）利用正弦定理求出，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积.
(1)
由正弦定理可将原等式化为
在中，
∴
∴，又在中，
∴，∴，即，
而，，故即.
(2)
由 ，可得,
在中，,
,
，
设，，而边上的中线,
在中，
得即，
∴，
∴
19．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求不能在该超市销售的概率.
（2）由（1）知任意产品能在超市销售概率为，而获利不少于500元则能在超市销售的产品为共6种情况，由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式即可求目标概率.
(1)
由题设，产品不能在该超市销售的概率为.
(2)
要使获利不少于500元，即能在超市销售的产品为共6种情况，
由（1）知：任意产品能在超市销售概率为，
所以共获利不少于500元的概率为.
20．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面平面、可得平面，然后可得，同理可得，即可证明；
（2）设，以为原点，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出线面角，得到关于t的方程，求解即可.
(1)
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，所以平面，
(2)
如图以为原点，以，，所在直线为轴建立空间坐标系，
在底面内，作交于E，则，
在直角中，
设，则，，
由，则，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，得，
取，则
故由直线与平面所成角大小为30°，则有，
即，化简得：，
解得：或（舍去，因为），即.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题目条件联立方程解出，从而得到答案；
（2）首先求出直线AH的方程，以及S点的坐标，讨论直线l的斜率的存在与否，当斜率存在时，设直线l的方程为，，，联立解方程求出，，根据△ASM的面积是△HSN面积的，化简可以得到，进一步求出斜率k，从而得出答案.
(1)
根据题目列方程
解得，，
所以椭圆的方程为.
(2)
由已知得，所以，直线AH的方程为，
所以，S点的坐标为.
当直线l的斜率不存在时，，，
或，都与已知不符；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
由，得，
，，
，，
由△ASM的面积是△HSN面积的可得
化简，即，
又，所以，，即，也就是，
所以，，，，，
解得，，所以，直线方程为.
22．（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）设出圆的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径，得到圆的方程；再解出点关于直线的对称点坐标，写出对称圆的方程.
（2）利用相关点法，设点，，设法用含的式子表示点的坐标，然后将点代入圆方程即可得到点的轨迹方程.
【详解】
解析（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得，
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
圆心关于的对称点为，
所以圆关于直线对称的圆的方程为.
（2）设，，则由及为线段的中点得，
，解得.
又点在圆上，所以，即，
故所求的轨迹方程为:.
【点睛】
本题考查圆的方程求解，圆关于直线的对称圆以及点的轨迹方程问题，其中轨迹方程问题难度稍大，注意相关点法的运用.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页