2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题2（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角是第四象限角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．设点D为的边AB上一点，点P为内一点，且分别满足关系，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．设是内部一点，且，，定义（其中、、分别是、、的面积），现已知，则的最小值是（ ）
A． B．9
C． D．12
4．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的侧面积是
A． B． C． D．
5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
6．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
7．现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为（ ）
A．34 B．67 C．340 D．670
8．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设z为复数，则下列命题中正确的是（　　）
A．
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2
D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2
10．有一种鱼的身体吸收汞，汞的含量超过体重的(即百万分之一)时就会对人体产生危害在一批鱼中随机抽取30条鱼作为样本，得到鱼体内汞含量的频率分布直方图如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于的概率为
B．图中实数a的值为
C．估计该样本数据的中位数为1.25
D．从该样本中鱼体内汞含量高于的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于的概率为
11．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
12．棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，若，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．二面角的正切值的取值范围为
C．当时，平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．当时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
13．已知的三个顶点都在球的球面上，且，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
14．已知为直线上两点，为坐标原点，若，则的周长最小值为_____.
15．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
16．已知为函数图象上第一象限内的一个动点，为坐标原点，则四边形的面积最大值为__________.
四、解答题
17．已知向量：，，函数．
（1）求函数的解析式及单调递增区间．
（2）求函数的最小正周期及图像的对称轴方程.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
(1)设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
(2)已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
20．如图1，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且，．如图2，将△AMN沿MN折起到的位置，连接，．
(1)求证：平面平面BCNM；
(2)若，在线段上是否存在一点P，使三棱锥的体积为？若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
21．在平行四边形中，，，，点E是线段的中点.
(1)求直线的方程；
(2)判断直线与直线是否垂直.
22．如图所示，已知圆上点处切线的斜率为，圆与轴的交点分别为，与轴正半轴的交点为，为圆的第一象限内的任意一点，直线与相交于点，直线与轴相交于点．
（1）求圆的方程；
（2）试问：直线是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【详解】
由，
得，即，
∵角是第四象限角，
∴，
∴．
故选：A．
2．B
【解析】
【分析】
根据向量关系得到，，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】
，，所以，
又，
所以的高：的高，
，，，
当且仅当，取等号.当时，取得最大值.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题.
3．D
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式及向量数量积的定义可求三角形面积，结合条件可得，再利用均值不等式即求.
【详解】
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
当且仅当时取等号，
∴的最小值是12．
故选：D．
4．A
【解析】
【详解】
分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，并结合扇形的面积公式求解即可得到结论．
详解：∵圆锥的母线长为8，底面圆周长为，
∴圆锥的侧面积为．
故选A．
点睛：对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面圆的周长．
5．A
【解析】
根据事件的关系逐个判断即可.
【详解】
解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题型.
6．B
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的公式，即可计算结果.
【详解】
因为两条直线互相垂直，则，得.
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率即可.
【详解】
由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：，
所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.
故选：D
8．C
【解析】
以中点为原点，设，根据，得到点轨迹方程，再表示出，利用圆上的点到定点的距离得到答案.
【详解】
以中点为原点，所在直线为轴，
则，，
设，所以由，
可得，
整理得，
，
其中看作是
圆上的点到点的距离的平方，
所以其最大值为，
所以的最大值为，
故选：C.
【点睛】
本题考查求圆的轨迹方程，圆上的点到定点的距离，属于中档题.
9．ACD
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
设，则，
对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：若，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，
而表示复数对应点到的距离，
故当且仅当对应点为时，取得最大值2，故C正确；
对D：若，其表示复数对应的点是以为圆心，为半径的圆上的点，
又表示复数对应点到原点的距离，显然，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图的信息和频率分布直方图中每个小矩形的面积为对应区域的概率和所有小矩形的面积之和为1，以及根据古典概率的计算公式对选项进行逐一求解判断.
【详解】
鱼体内汞含量高于的概率为，所以A正确；
，得，所以B正确；
因为，所以中位数在中，
设中位数为，则，解得
所以中位数为，所以C错；
汞含量高于的鱼共有5条，从这5条鱼中随机抽取两条鱼，总的基本事件共有 10种，
其中汞含量高于低于的鱼有4条，
所以抽取的两条鱼汞含量都高于低于的基本事件有6种，
所以所求概率为，所以D正确.
故选：ABD.
11．BD
【解析】
【分析】
设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值．
【详解】
解：如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
12．ACD
【解析】
【分析】
根据平面，得到点到平面的距离为定值，可判定A正确；当时，点与点重合，得到二面角的平面角大于，可判定B不正确；当时，得到可得且，可判定C正确；在上取点，使，连接，设三棱锥的外接球的球心为，根据，列出方程，求得球的半径，可判定D正确.
【详解】
对于A中，因为，可得点是线段上的一个动点，
又因为平面，所以点到平面的距离为定值，
所以三棱锥是定值，又由，所以A正确；
对于B中，当时，点与点重合，此时二面角的平面角大于，
如图所示，此时二面角的正切值小于，所以B不正确；
对于C中，当时，此时，即点为的中点，如图所示，
连接，此时，
在正方体中，因为可得分别为棱，的中点，
可得且，
在直角中，可得,
在直角中，可得,
所以四边形为等腰梯形，即平面截正方体所得截面为等腰梯形，所以C正确；
对于D中，如图所示，连接，交于，则为的中点，所以，
在上取点，使，连接，则，所以平面，
则，设三棱锥的外接球的球心为，则，
由及，得点在过点且平行于的直线上，
设，因为，，
所以，解得，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D正确.
故选：ACD
13．.
【解析】
【分析】
由为直角三角形，取斜边的中点为，连接，可得平面，根据三棱锥的体积为，求得，可得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】
在中，因为，所以为直角三角形，
设斜边的中点为，连接，可得平面，
设三棱锥的高为，
因为三棱锥的体积为，即，解得，即，
又因为，可得，所以，
所以球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为：
14．
【解析】
设，利用三角形面积公式建立方程，根据基本不等式求解，在周长中利用基本不等式即可求解.
【详解】
设，
则，
所以周长，
设点到直线的距离为，
则，
由的面积公式可得
所以当且仅当时，等号成立，
解得
所以，当且仅当时，等号成立.
因为等号能够同时取到，
所以周长的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式的应用，基本不等式，考查了推理与运算能力，属于难题.
15．
【解析】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．
【详解】
方程，即表示圆，
，求得，则实数m的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.
16．
【解析】
【分析】
利用三角代换可得，然后利用辅助角公式及三角函数的性质即得.
【详解】
由可得，
易得在椭圆的第一象限内动点，
可设，,又，
则
，其中，
当时，，
即四边形的面积最大值为.
故答案为：.
17．（1）；增区间为（2），，
【解析】
【分析】
（1）利用向量的数量积公式和三角函数辅助角公式化简得到的解析式，然后由可求出函数的递增区间；
（2）利用周期公式求出函数的周期，再由可求出对称轴方程
【详解】
解：（1）因为向量：，，
函数
；
令，，
所以函数的单调增区间是
（2）周期，
令，，得，，
所以的对称轴方程为，
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
(1)
(解法一)因为，
所以
则，
即
因为，所以，
因为所以.
(解法二)由全弦定理，
得
整理得.
所以，
因为所以.
(2)
因为，所以，.
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以解得.
所以，
所以.
19．(1)
(2)①或，理由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析出是非判断题和信息连线题答对的题的数量，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）①分析可知，设最大，可得出，解出的取值范围，即可得解；
②利用二项分布的方差公式可求得的值.
(1)
解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则
.
②事件“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.
③事件“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，，
所以.
(2)
解：①由题意可知，设最大，
则，即，
可得，解得，即最有可能取的值为或；
②由二项分布的方差公式可得.
20．(1)证明见解析；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面．
（2）先证明出平面然后求解三棱锥的体积，说明存在点P满足题目条件．
(1)
由已知得，．由余弦定理得，，
∴，∴，∴．
又∵平面平面，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
(2)
∵，由（1）得，，又和是平面内两条相交直线，∴平面.
∵ 平面，∴.
∴．
∵等边三角形ABC的边长为3，∴等边三角形的高为.
∴三棱锥的体积为，
∴在线段上存在点P满足题目条件，此时．
21．(1)
(2)直线与直线垂直
【解析】
【分析】
（1）先由中点坐标公式得到，再写出直线的斜率和点斜式方程，化成一般式即可；
（2）先利用平行四边形的对角线平分得到，再利用直线的斜率公式和两直线的斜率之积进行判定.
(1)
解：由中点坐标公式，得，
又因为，所以，
所以直线的方程为，
即；
(2)
解：设点，因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，解得，
所以，
则，
所以直线与直线垂直.
22．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP方程，分别解得P坐标，M坐标,以及N坐标，再求出直线MN方程，最后根据方程求定点.
【详解】
（1）由题意得
（2）设
直线
由三点共线得：
直线为：即：
由 直线过定点.
【点睛】
定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页