2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题3（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若都是锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设为的边的中点，为内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．3
5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
6．“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为
A．18 B．36 C．54 D．72
8．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（ ）
A．从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为
B．从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为
C．从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为
D．从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为
11．下列说法错误的是（ ）
A．若点G为的重心，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．若非零向量，且，则为等边三角形
12．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上 下两部分空间图形且上 下两部分的高之比为，则关于上 下两部分空间图形的说法正确的是（ ）.
A．侧面积之比为 B．侧面积之比为 C．体积之比为 D．体积之比为
三、填空题
13．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也.”现有一个刍甍如图所示，底面是边长为4的正方形，上棱，四边形为两个全等的等腰梯形，到平面的距离为2，则该刍甍外接球的表面积为___________.
14．已知为直线上两点，为坐标原点，若，则的周长最小值为_____.
15．已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
16．已知，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的最小正周期与对称轴；
(2)将图象上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，，求的值．
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．受疫情影响，食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种肉类产品销售前，食品安检部门安排3名检测人员分别对每箱肉类产品的三项不同指标同时进行独立检测，只有3人检测的结果都合格，这箱产品才能在该超市销售.已知每箱肉类产品3名检测人员检测合格的概率分别为，，，检测结果只有合格与不合格两种情况.现对，，，四箱产品进行检测.
(1)求产品不能在该超市销售的概率；
(2)若产品，，，能在超市销售，则分别获利200元，300元，400元，400元；若不能在超市销售，则分别亏损100元，150元，200元，200元，且四箱肉类产品能否在超市销售互不影响.在不考虑其他因素的前提下，这四箱肉类产品共获利不少于500元的概率是多少？
20．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．
(1)证明：BE⊥平面PCD；
(2)求二面角P BD E的余弦值．
21．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求点到直线的距离.
22．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用两角和差的正弦公式将进行转化求解即可
【详解】
解：因为都是锐角，
所以，，
由于，
所以，
所以
.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将进行转化是解决本题的关键，是基础题
2．A
【解析】
【分析】
依题意根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为是线段的靠近的三等分点，所以，
又是线段的中点，所以，
所以．
故选：A．
3．A
【解析】
【分析】
由题意可得，由向量的线性运算可得，即且，可得，即可求得比值.
【详解】
因为为的边的中点，
所以,
又因为为内一点，且满足，
所以，即，即且，
因为，
，
所以，
故选：A.
4．B
【解析】
【分析】
根据三视图画出几何体的直观图，并由此计算出几何体的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示.
几何体为底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，
所以．
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据三视图计算几何体的表面积，属于基础题.
5．A
【解析】
根据事件的关系逐个判断即可.
【详解】
解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题型.
6．C
【解析】
利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求的值.
【详解】
若直线与直线互相垂直，
则，解得.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.
【点睛】
如果直线，，
（1）若，则；
（2）若，则且或；
（2）若重合，则，，.
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选B.
考点：频率分布直方图
8．A
【解析】
【分析】
设点，根据求出点的轨迹方程，过圆心作于点，求出、，可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线的斜率.
【详解】
如图所示，设动点，则，
化简可得，化为标准方程可得圆．
因为，，则为等边三角形，
过圆心作于点，则，，
所以，所以，
故选：A．
9．BCD
【解析】
【分析】
由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】
对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
10．AC
【解析】
【分析】
结合古典概型和相互独立事件的概率公式对选项逐一判断即可.
【详解】
设“从甲箱中不放回地取球，第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则，，∴，A答案正确；
对于B选项，，B答案错误；
对于C选项，抽到红球的次数，三次抽到红球的概率为，C答案正确；
对于D选项，抽到红球的个数服从超几何分布，，D答案错误．
故选:AC．
11．BC
【解析】
【分析】
A项，根据G为重心，得到，，求解判断； B项，取判断；C项，根据与的夹角为锐角，由，且不共线求解判断； D项，根据为与同向的单位向量，为与同向的单位向量，由，，利用数量积判断.
【详解】
A项，已知G为重心，则，，，
．故正确；
B项，若，则实数不唯一，故错误；
C项，已知，且与的夹角为锐角，
可得，即，可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以，
所以与的夹角为锐角时，且，故错误；
D项，因为为与同向的单位向量，为与同向的单位向量，所以表示向量，角平分线所在的向量，根据，知向量，角平分线所在的向量垂直于，所以为等腰三角形．根据，知，的夹角为，所以是等边三角形．故正确；
故选：BC．
12．BD
【解析】
【分析】
利用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上 下两部分的高、底面边长对应比值相等，上下底面面积之比等于对应高的平方比，进行判断求解.
【详解】
依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.
故选：BD.
13．
【解析】
根据几何体的结构特征，得出该刍甍外接球的球心在直线上，结合球的截面性质，列出方程组，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，连接相交于点，取的中点，连接，可得平面，则该刍甍外接球的球心在直线上，
设该刍甍外接球的半径为，，则，解得，所以该刍甍外接球的表面积为.
故答案为：.
14．
【解析】
设，利用三角形面积公式建立方程，根据基本不等式求解，在周长中利用基本不等式即可求解.
【详解】
设，
则，
所以周长，
设点到直线的距离为，
则，
由的面积公式可得
所以当且仅当时，等号成立，
解得
所以，当且仅当时，等号成立.
因为等号能够同时取到，
所以周长的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式的应用，基本不等式，考查了推理与运算能力，属于难题.
15．
【解析】
【分析】
本题可设圆的方程为，然后两圆的方程相减，得出公共弦所在直线的方程为，最后根据题意得出，通过计算即可得出结果.
【详解】
设圆的圆心为，半径为，
则圆的方程为，即，
因为圆，
所以与的公共弦所在直线的方程为，
即，
因为与的公共弦所在直线的方程为，
所以，解得，，
故圆的方程为，
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
利用参变分离可得恒成立，通过换元，利用三角函数的性质及二次函数的性质即得.
【详解】
由，可得
恒成立，
令，
由，可得，
又在上单调递增，，
∴，即实数m的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)最小正周期为，对称轴为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用周期公式即可求出周期，利用整体思想建立方程可求得对称轴方程；
（2）利用正弦的两角和与差公式及诱导公式可求解.
(1)
∵，
∴函数的最小正周期为，令，，
∴对称轴为，．
(2)
将图象上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到，若，即，，，
∴，即．
∴
，
∴
∴．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
(1)
(解法一)因为，
所以
则，
即
因为，所以，
因为所以.
(解法二)由全弦定理，
得
整理得.
所以，
因为所以.
(2)
因为，所以，.
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以解得.
所以，
所以.
19．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求不能在该超市销售的概率.
（2）由（1）知任意产品能在超市销售概率为，而获利不少于500元则能在超市销售的产品为共6种情况，由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式即可求目标概率.
(1)
由题设，产品不能在该超市销售的概率为.
(2)
要使获利不少于500元，即能在超市销售的产品为共6种情况，
由（1）知：任意产品能在超市销售概率为，
所以共获利不少于500元的概率为.
20．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD的中点F，连接AF，EF，根据题意证得，，结合线面垂直的判定定理证得结果；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得平面PBD的法向量为，平面EBD的法向量为，利用向量所成角的余弦值，进而得到二面角P BD E的余弦值
(1)
证明：取PD的中点F，连接AF，EF，
则，．
又，，所以，，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以．
因为，，所以．
所以．．．．．．
因为平面PAD⊥平面ABCD，，
所以PA⊥平面ABCD，所以，．．．．．．
所以．
又点E为PC的中点，所以．．．．．
又，所以BE⊥平面PCD．
(2)
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）． ．．．．．
于是
设平面PBD的法向量为，则
得．取．得…………
设平面EBD的法向量为，则，
得取．得．…………
所以，
所以二面角P BD E的余弦值为.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，利用空间向量求解二面角的余弦值，在解题的过程中，注意正确写出点的坐标是重中之重.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标；
（2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解.
(1)
设，则，
∴，解得，
∴；
(2)
∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为.
22．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可知，设圆的方程为，列出方程组，求得，，即可得到圆的方程；
（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，求得，得到所以，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题可知，设圆的方程为，
，解得，，所以圆的方程为．
（2）由题意知，，
设直线的斜率为 ，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为．
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．
由题可知，，．
因此，
又，同理，
所以，当且仅当时取等号．
又，所以的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意设出直线的方程，分别求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，求得，进而得到 ，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页