2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题5（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学收心考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
3．在中，，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．3
5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
6．“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为
A．18 B．36 C．54 D．72
8．满足条件的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（ ）
A．从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为
B．从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为
C．从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为
D．从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为
11．下列说法错误的是（ ）
A．若点G为的重心，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．若非零向量，且，则为等边三角形
12．在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为
C．的最小值为
D．当时，点是的重心
三、填空题
13．已知的三个顶点都在球的球面上，且，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
14．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___
15．已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为__________．
16．已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的最小正周期与对称轴；
(2)将图象上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，，求的值．
18．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)若，求ABC的面积；
(2)若，求ABC的周长.
19．受疫情影响，食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种肉类产品销售前，食品安检部门安排3名检测人员分别对每箱肉类产品的三项不同指标同时进行独立检测，只有3人检测的结果都合格，这箱产品才能在该超市销售.已知每箱肉类产品3名检测人员检测合格的概率分别为，，，检测结果只有合格与不合格两种情况.现对，，，四箱产品进行检测.
(1)求产品不能在该超市销售的概率；
(2)若产品，，，能在超市销售，则分别获利200元，300元，400元，400元；若不能在超市销售，则分别亏损100元，150元，200元，200元，且四箱肉类产品能否在超市销售互不影响.在不考虑其他因素的前提下，这四箱肉类产品共获利不少于500元的概率是多少？
20．如图1，在平行四边形中，，，，以对角线为折痕把折起，使点到达图2所示点的位置，且.
(1)求证：；
(2)若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
21．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求点到直线的距离.
22．已知圆心在轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线相切.
(1)求圆C的方程；
(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B．①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB的面积恰好取到①中的最大值 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用平方关系求得，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.
【详解】
解：因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得.
【详解】
由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：A．
3．A
【解析】
【分析】
由，求得，再利用三角形面积公式求解.
【详解】
解：因为，且，
所以，
所以，
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
根据三视图画出几何体的直观图，并由此计算出几何体的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示.
几何体为底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，
所以．
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据三视图计算几何体的表面积，属于基础题.
5．A
【解析】
根据事件的关系逐个判断即可.
【详解】
解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题型.
6．C
【解析】
利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求的值.
【详解】
若直线与直线互相垂直，
则，解得.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.
【点睛】
如果直线，，
（1）若，则；
（2）若，则且或；
（2）若重合，则，，.
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选B.
考点：频率分布直方图
8．B
【解析】
【分析】
设出的坐标，给定坐标，求解出的轨迹方程，根据的轨迹即可求解出面积的最大值.
【详解】
设，因为，
所以，所以，
所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆去掉点两点，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用坐标法解决平面几何问题，着重考查了圆的相关知识，难度一般.使用坐标法的前提是建立合适的平面直角坐标系，然后即可根据长度或者角度关系等确定坐标满足的方程.
9．BCD
【解析】
【分析】
由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】
对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
10．AC
【解析】
【分析】
结合古典概型和相互独立事件的概率公式对选项逐一判断即可.
【详解】
设“从甲箱中不放回地取球，第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则，，∴，A答案正确；
对于B选项，，B答案错误；
对于C选项，抽到红球的次数，三次抽到红球的概率为，C答案正确；
对于D选项，抽到红球的个数服从超几何分布，，D答案错误．
故选:AC．
11．BC
【解析】
【分析】
A项，根据G为重心，得到，，求解判断； B项，取判断；C项，根据与的夹角为锐角，由，且不共线求解判断； D项，根据为与同向的单位向量，为与同向的单位向量，由，，利用数量积判断.
【详解】
A项，已知G为重心，则，，，
．故正确；
B项，若，则实数不唯一，故错误；
C项，已知，且与的夹角为锐角，
可得，即，可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以，
所以与的夹角为锐角时，且，故错误；
D项，因为为与同向的单位向量，为与同向的单位向量，所以表示向量，角平分线所在的向量，根据，知向量，角平分线所在的向量垂直于，所以为等腰三角形．根据，知，的夹角为，所以是等边三角形．故正确；
故选：BC．
12．ACD
【解析】
【分析】
利用等体积法求出点到平面的距离与的关系，利用面面平行的性质定理，即可判断选项A，当时，即三棱锥的高，即可判断选项D，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，求出外接球的半径，即可判断选项B，由等面积法即可判断选项C．
【详解】
解：对于A，连接，，
则，
，，
设点到平面的距离为，
则，解得，
所以，
则当时，为与平面的交点，
又，平面，平面，所以平面，同理可证平面，
，平面，
所以平面平面，平面，
所以平面，
故选项A正确；
对于B，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，
设平面的中心为，四棱锥的外接球半径为，
则，解得，
所以四棱锥的外接球表面积为，
故选项B错误；
对于C，连接，，则，
所以，
由等面积法可得，的最小值为，
所以的最小值为，
故选项C正确．
对于D，由以上分析可得，当时，即三棱锥的高，
所以平面，又三棱锥为正三棱锥，所以点是的重心，
故选项D正确；
故选：ACD
13．.
【解析】
【分析】
由为直角三角形，取斜边的中点为，连接，可得平面，根据三棱锥的体积为，求得，可得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】
在中，因为，所以为直角三角形，
设斜边的中点为，连接，可得平面，
设三棱锥的高为，
因为三棱锥的体积为，即，解得，即，
又因为，可得，所以，
所以球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．
【详解】
如图，设，则,
在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，
∴．①
由及正弦定理得，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故得．
所以．
即面积的最大值是．
故答案为．
【点睛】
本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
15．
【解析】
【分析】
先根据圆的一般方程写出标准方程，进而得到圆心坐标和半径，利用中垂线的性质和椭圆的定义得到该点的轨迹形状，再进一步求出轨迹方程.
【详解】
连接、、，则；
将化为，
即，，
所以，
故的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，
所以，故的轨迹方程为.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
参变分离可得，再利用二倍角公式及辅助角公式将右边化简，得到，令，，根据正弦函数的性质求出函数的单调区间，依题意可得与在上有两个不同的交点，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：方程可转化为，，
令，，因为，所以，
当，即时单调递减，当即时单调递增，
又，，，
依题意关于的方程在上有两个不同的实数根，
即与在上有两个不同的交点，所以，即
故答案为：
17．(1)最小正周期为，对称轴为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用周期公式即可求出周期，利用整体思想建立方程可求得对称轴方程；
（2）利用正弦的两角和与差公式及诱导公式可求解.
(1)
∵，
∴函数的最小正周期为，令，，
∴对称轴为，．
(2)
将图象上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到，若，即，，，
∴，即．
∴
，
∴
∴．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算；
（2）由同角关系化为正弦关系，由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，得三角形周长．
（1）由余弦定理，得，即，解得（舍去），或由，得.
（2）由，得，即由正弦定理，得，即由余弦定理，得，解得，从而∴ABC的周长为．
19．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求不能在该超市销售的概率.
（2）由（1）知任意产品能在超市销售概率为，而获利不少于500元则能在超市销售的产品为共6种情况，由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式即可求目标概率.
(1)
由题设，产品不能在该超市销售的概率为.
(2)
要使获利不少于500元，即能在超市销售的产品为共6种情况，
由（1）知：任意产品能在超市销售概率为，
所以共获利不少于500元的概率为.
20．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，结合平形四边形的几何性质可得出，利用勾股定理可得出，利用线面垂直的判定和定义可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，确定点的位置，然后利用锥体的体积公式可求得结果.
(1)
证明：在中，由余弦定理可得
，
所以，，，
又因为四边形为平行四边形，所以，，
在中，，，，，则，
因为，，平面，
平面，.
(2)
解：因为，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，因为，解得，
所以，为的中点，因此，.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标；
（2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解.
(1)
设，则，
∴，解得，
∴；
(2)
∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为.
22．（1） ；（2）① 2 ② .
【解析】
【分析】
(1)设出圆心坐标，根据点到直线距离求得圆心，进而得到圆的方程．
(2)设圆心到直线AB的距离，根据三角形面积公式和基本不等式即可求得面积的最大值；根据点M在圆上，及点到直线距离等于半径即可求得M的坐标．
【详解】
(1)设圆心是(x0，0)()，它到直线的距离是
解得或(舍去)
∴所求圆C的方程是.
(2)①设圆心O到直线的距离为
则△OAB的面积
当且仅当时等号成立
∴△OAB的最大面积为2.
②由题得即即
∴存在满足要求的点M，其坐标是,
【点睛】
本题考查了圆方程的求法，三角形面积及基本不等式的用法，点到直线距离公式的应用，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页