抛物线[上学期]
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课件23张PPT。生活中的抛物线抛物线及其标准方程平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
一、定义探究二、标准方程如何建立直角坐标系？二、标准方程K设︱KF︱= p设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， 方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。 焦 点 到 准 线 的 距 离其中p为正常数，它的几何意义是它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？二、抛物线的标准方程:y2=-2px (p＞0)x2=2py (p＞0)x2=-2py (p＞0)方程的特点:(1)两个变量一个是一次的,一个是二次的;(2)焦点在哪个轴上,对应变量就是一次的;三、例题与练习:1.判断下列方程是否表示抛物线,若是,求出焦点坐标和准线方程.(1)4y2-9y=36(2)x2=y(3)y2+2x=0(4)不是2.求满足条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为x=2;(2)焦点坐标为(0,-2);(3)焦点到准线的距离为3;y2=-8xx2=-8yx2=±6y 或 y2=±6x(4)顶点在坐标原点焦点在y轴上,且过点(-1,-3);(5) 顶点为原点对称轴为坐标轴且过点(4,-8).x2=-2y 或 y2=16x（6）顶点为原点，焦点在坐标轴且过直线x－2y－4=0B小 结 ：1、抛物线的定义、标准方程类型与图象的
对应关系及其判断方法。判断方法2、抛物线的标准方程和它的焦点、准线 方程。y2=-2px (p＞0)x2=2py (p＞0)x2=-2py (p＞0)y2=2px (p＞0)平面内到定点F的距离与到定直线l 的距离相等的点的轨迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线l 叫抛物线的准线. 抛物线及其标准方程解:由条件知,M与F的距离与M到直线x+4=0的距离相等∴M的轨迹是焦点在F 的抛物线,且∴M的轨迹方程是y2=16xx2=8y（4）离心率:抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，e=1抛物线的几何性质：以y2＝2px（p>0）为例
（1）范围：x≥0，y∈k
（2）对称性：关于x轴对称
（3）顶点：抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点。
（标准方程对应的抛物线的顶点是坐标原点）解: 由条件知直线AB的方程为y=x-1x2-6x+1=0方法2:设A和B的横坐标分别为x1和x2则|AF|=x1+1, |BF|=x2+1∴|AB|=x1+x2+2y=x+1或y=-x+1变题：例3中若经过焦点的直线截抛物线所得弦的中点横坐标是3，求弦AB的长 。焦点弦：指过抛物线焦点的直线被抛物线所截的线段P1P2,其实质是两条焦半径共线。 yx例4、过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，
求证： y1 ·y2=－p2 x1x2=?思考：经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，则以线段P1P2为直径的圆与准线的位置关系是怎么？经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l的特点1、若直线l与抛物线有交点A （x1，y1） 、B （x2，y2），
则AB=2、若AB的中点为C（x0，y0），则AB=3、 y1 ·y2= ； x1 · x2=4、以焦点弦为直径的圆必与准线________.归纳:相切x1+ x2+p2x0+p－p2例5：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过
点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：
直线DB平行于抛物线的对称轴。例6：已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点
P(-2,1),斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：
只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
作图补充例题与练习解: 如图,设|PQ|为P到准线的距离则|PF|=|PQ|∴|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|∴当A,P,Q共线时, |AP|+|PF|最小即P点坐标为(2,2)时, |AP|+|PF|最小,
且最小值为 .变式：若把题目中A的坐标改为为(2,3)时，此时最小
值是多少呢？ ( 1 ) ： 一次项的变量如果为X（或Y），则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。
( 2 ) ：一次项的系数的符号决定了开口方向。 判断方法例1、求过点A（－3，2）的抛物线的
标准方程。解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（－3，2）
代入x2 =2py，得p= 当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（－3，2）代入y2 = －2px，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
一、定义探究二、标准方程如何建立直角坐标系？二、标准方程K设︱KF︱= p设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， 方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。 焦 点 到 准 线 的 距 离其中p为正常数，它的几何意义是它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？二、抛物线的标准方程:y2=-2px (p＞0)x2=2py (p＞0)x2=-2py (p＞0)方程的特点:(1)两个变量一个是一次的,一个是二次的;(2)焦点在哪个轴上,对应变量就是一次的;三、例题与练习:1.判断下列方程是否表示抛物线,若是,求出焦点坐标和准线方程.(1)4y2-9y=36(2)x2=y(3)y2+2x=0(4)不是2.求满足条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为x=2;(2)焦点坐标为(0,-2);(3)焦点到准线的距离为3;y2=-8xx2=-8yx2=±6y 或 y2=±6x(4)顶点在坐标原点焦点在y轴上,且过点(-1,-3);(5) 顶点为原点对称轴为坐标轴且过点(4,-8).x2=-2y 或 y2=16x（6）顶点为原点，焦点在坐标轴且过直线x－2y－4=0B小 结 ：1、抛物线的定义、标准方程类型与图象的
对应关系及其判断方法。判断方法2、抛物线的标准方程和它的焦点、准线 方程。y2=-2px (p＞0)x2=2py (p＞0)x2=-2py (p＞0)y2=2px (p＞0)平面内到定点F的距离与到定直线l 的距离相等的点的轨迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线l 叫抛物线的准线. 抛物线及其标准方程解:由条件知,M与F的距离与M到直线x+4=0的距离相等∴M的轨迹是焦点在F 的抛物线,且∴M的轨迹方程是y2=16xx2=8y（4）离心率:抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，e=1抛物线的几何性质：以y2＝2px（p>0）为例
（1）范围：x≥0，y∈k
（2）对称性：关于x轴对称
（3）顶点：抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点。
（标准方程对应的抛物线的顶点是坐标原点）解: 由条件知直线AB的方程为y=x-1x2-6x+1=0方法2:设A和B的横坐标分别为x1和x2则|AF|=x1+1, |BF|=x2+1∴|AB|=x1+x2+2y=x+1或y=-x+1变题：例3中若经过焦点的直线截抛物线所得弦的中点横坐标是3，求弦AB的长 。焦点弦：指过抛物线焦点的直线被抛物线所截的线段P1P2,其实质是两条焦半径共线。 yx例4、过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，
求证： y1 ·y2=－p2 x1x2=?思考：经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，则以线段P1P2为直径的圆与准线的位置关系是怎么？经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l的特点1、若直线l与抛物线有交点A （x1，y1） 、B （x2，y2），
则AB=2、若AB的中点为C（x0，y0），则AB=3、 y1 ·y2= ； x1 · x2=4、以焦点弦为直径的圆必与准线________.归纳:相切x1+ x2+p2x0+p－p2例5：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过
点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：
直线DB平行于抛物线的对称轴。例6：已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点
P(-2,1),斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：
只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
作图补充例题与练习解: 如图,设|PQ|为P到准线的距离则|PF|=|PQ|∴|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|∴当A,P,Q共线时, |AP|+|PF|最小即P点坐标为(2,2)时, |AP|+|PF|最小,
且最小值为 .变式：若把题目中A的坐标改为为(2,3)时，此时最小
值是多少呢？ ( 1 ) ： 一次项的变量如果为X（或Y），则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。
( 2 ) ：一次项的系数的符号决定了开口方向。 判断方法例1、求过点A（－3，2）的抛物线的
标准方程。解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（－3，2）
代入x2 =2py，得p= 当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（－3，2）代入y2 = －2px，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。