大21世熟复
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3.1.2函数的表示法
【考点梳理】
一、函数的表示方法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
优点：(1)简明、全面概括了变量间的关系：(2)利用解析式可求任意函数值。
缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值：
缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。
3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
优点：能形象直观地表示函数的变化情况：
缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。
二、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.
(1)确定所有函数问题含待定系数的一般解析式：
(2)根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程：
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知f(g(x)的解析式，求函数f(x)的解析式的问题
(1)先令g(x)=t,注意分析t的取值范围：
(2)反解出x,即用含t的代数式表示x:
(3)将f(g(x)中的x度替换为t的表示，可求得f(t)的解析式，从而求得f(x)。
3、配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，
然后以x替代gx),便得f(x)的解析式.
4、方程组法：主要解决已知了()与f(-小、f日)(
.的方程，求f(x)解析式。
例如：若条件是关于/四与（四的条件（或者与日）》
的条件，
可把x代为-x(或者把x代为一)得到第二个式子，与原式联立方程组，求出f(x)
三、分段函数
1,定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数
2.性质：(1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段
函数的定义域的交集是空集
(2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象：
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天21世纪载言
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【题型归纳】
题型1待定系数法求解析式
1.已知fx)是一次函数，2f(2)-3f)=5,2f(0)-f(-1)=-1,则f(x)=()
A.3x+2
B.3x-2
C.2x+3
D.2x-3
2.设f(x)为一次函数，且f(f(x)=4x-1.若f(3)=-5,则f(x)的解析式为()
A.f(x)=2x-11或f(x)=-2x+1
B.f(x)=-2.x+1
C.f(x)=2x-11
D.f(x)=2x+1
3.已知二次函数f(x)满足f(2x)+f(x-1)=10x2-7x+5,则f(f()=()
A.1
B.7
C.8
D.16
题型2配凑法求解析式
4.已知f(2x+1)=4x2+3,则f(x)=().
A.x2-2x+4
B.x2+2x
C.x2-2x-1
D.x2+2x+3
5,若函数(）子+1，则函数))-4的最小值为()
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
6.已知函数f(2x+1)=5x-6,且f(t)=9,则t=()
A.7
B.5
C.3
D.4
题型3换元法求解析式
7.已知fG+2)=x,则有()
A.f(x)=(x-2)2(x≥0)
B.f(x)=(x-2y(x22)
C.f(x)=(x+2)2(x≥0)
D.f(x)=(x+2)2(x≥2)
8.已知f(2x-1)=4x2+3,则f(x)=().
A.x2-2x+4
B.x2+2x
C.x2-2x-1
D.x2+2x+4
9.若f(√x+)=x+1,则f(x)的解析式为()
A.f(x)=x2
B.f(x)=x2-2x+2(x≥0)
C.f(x)=x2-2x+2(x≥10
D.f(x)=x2+1
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3.1.2 函数的表示法
【考点梳理】
一、函数的表示方法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。
缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；
缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。
3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
优点：能形象直观地表示函数的变化情况；
缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。
二、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
三、分段函数
1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【题型归纳】
题型1待定系数法求解析式
1．已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B．
C． D．
3．已知二次函数满足，则（ ）
A．1 B．7 C．8 D．16
题型2配凑法求解析式
4．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
5．若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则（ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
题型3换元法求解析式
7．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
9．若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型4方程组法求解析
10．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
11．已知函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型5求分段函数的函数值
13．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
14．设函数，则（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
15．设函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．18
【双基达标】
16．如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数.
记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t(t∈N*)，t的取值如下表：
日期 2.27 2.28 2.29 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
新增确诊人数记为f(t)(图中粗线)，新增疑似人数记为g(t)(图中细线)，则下列结论正确的是（ ）A．与的值域相同
B．
C．，使
D．，
17．下列四个图像中，不是函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
18．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（ ）
A． B． C． D．
19．设，又记，，，2，3，，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知则（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
21．已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝（ ）
A．x2+4x B．x2+4 C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣1
22．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
23．设，则的值为（ ）
A．16 B．18 C．21 D．24
24．已知函数，则的值为（ ）.
A．－2 B．6 C．1 D．0
25．设，则等于（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
26．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
27．一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（ ）
A．g(x)=9x+8
B．g(x)=3x-2
C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2
D．g(x)=3x+8
28．已知函数，则（ ）
A．0 B．–1 C．1 D．2
29．已知函数，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
30．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
32．某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）.
A． B．
C． D．
33．已知函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
34．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
35．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
36．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
37．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
38．已知函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
39．(多选)已知函数 则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若，则的值是
D．的解集为
三、填空题
40．已知，函数．若，则________．
41．已知f（x）＝，则的值等于________.
42．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
43．已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.
44．设函数，则函数的递减区间是__________.
四、解答题
45．根据条件，求函数解析式.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知是一元二次函数，且满足；.
46．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑）
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
47．已知是二次函数，且满足，求的解析式．
48．根据下列条件，求函数的解析式；
（1）若满足，则____________；
（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数 都成立，且；
49．已知函数，函数，其中
（1）若恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若，
①求使得成立的x的取值范围；
②求在区间上的最大值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】
依题意，设，则有，解得，
所以.
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式.
【详解】
设，其中，则，
所以，，解得或.
当时，，此时，合乎题意；
当时，，此时，不合乎题意.
综上所述，.
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.
【详解】
设，
因为，
所以，
化简可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
4．A
【解析】
【分析】
利用配凑法直接得出函数的解析式.
【详解】
因为，
所以．
故选：A
5．D
【解析】
【分析】
先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】
因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
6．A
【解析】
【分析】
利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.
【详解】
,
.
,解得．
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】
设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
利用换元法求解函数解析式.
【详解】
令，则，；
所以.
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
利用换元法，令，，则，代入，求出，再将换成即可，注意函数的定义域.
【详解】
解：令，，则，
则，，
∴函数的解析式为.
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】
用代替原方程中的得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
利用方程组法求出函数的解析式，即可求得的值.
【详解】
由已知可得，解得，其中，因此，.
故选：C.
12．A
【解析】
【分析】
以代，得到一个等式，运用解方程组法进行求解即可.
【详解】
解：由，得
，解得.
故选：A.
13．C
【解析】
【分析】
根据定义域选择合适的表达式代入求值
【详解】
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
根据分段函数的特征，首先把，由，代入即可求解.
【详解】
故选：B
15．B
【解析】
【分析】
根据分段函数的不同定义域对应的函数解析式，进行代入计算即可.
【详解】
，
故选：B
16．D
【解析】
【分析】
结合函数图象一一判断即可；
【详解】
解：由题图纵轴可知与的值域不相同，故A错误；又，故B错误；函数的图象在函数的图象的下方，所以不存在，使，故C错误；由题图可以看出，，故D正确.
故选：D
17．A
【解析】
【分析】
利用函数的定义进行分析判断即可
【详解】
对于A，由于一个自变量对应两个，不表示函数，不是函数图像，所以A符合题意，
对于BCD，由图像可知一个自变量对应唯一一个，所以表示的是函数图像，所以BCD不符合题意，
故选：A
18．B
【解析】
【分析】
由函数图像的变化可知，第一段和第二段杯中水面高度匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，进而得到答案
【详解】
解：由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，
故选：B
19．D
【解析】
【分析】
根据题意计算可知，数列是一个周期为的周期数列，即可解出．
【详解】
根据题意，，则，，
，则，故，
故选：．
20．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
由题意．
故选：D．
21．A
【解析】
【分析】
利用配凑法来求得函数解析式.
【详解】
，
所以.
故选：A
22．D
【解析】
【分析】
化简函数解析式，即可得出合适的选项.
【详解】
因为，故函数的图象如D选项中的图象.
故选：D.
23．B
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式直接求解.
【详解】
因为，所以.
故选：B.
24．B
【解析】
令，求出，代入后可得答案
【详解】
由得，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查求函数值，解题方法是整体思想，即把作为一个整体，令求解．
25．C
【解析】
【分析】
根据函数解析式，先求，再根据其值大小球即可.
【详解】
故，.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，属简单题.
26．A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性，当时，，利用排除法进行判断即可．
【详解】
解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除，，
当时，，排除，
故选：．
27．C
【解析】
【分析】
利用待定系数法可求出结果.
【详解】
因为g(x)是一次函数，
所以设g(x)=kx+b(k≠0)，
所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因为g[g(x)]=9x+8，所以
解得或
所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.
故选：C
28．C
【解析】
先计算，再计算．
【详解】
由题意，
所以．
故选：C．
29．B
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】
令，则，且，
所以，
所以，
当时，.
故选：B
30．C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将转化为：或，解得答案．
【详解】
函数，
函数在，上为减函数，在上函数值保持不变，
若，
则或，
解得：，
故选：．
【点睛】
本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，难度中档．
31．A
【解析】
【分析】
从外到内逐步求值．
【详解】
解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
32．D
【解析】
【分析】
根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果
【详解】
解：由题意可知：时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，
随着时间的增加，先跑步，开始时随的变化快，后步行，则随的变化慢，
所以适合的图象为D；
故选：D
33．A
【解析】
【分析】
直接代入求值即可.
【详解】
因为，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查分段函数的求值问题，属基础题.
34．A
【解析】
对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可．
【详解】
解：①当时，，
，
解得：，
，
②当时，，
，
解得：，
，
综上所述，实数的取值范围是：，．
故选：．
35．D
【解析】
【分析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
36．AD
【解析】
设，表示出，根据对应系数相等求解和的值.
【详解】
设，则，则，所以，得或，所以或.
故选：AD.
37．BCD
【解析】
【分析】
化简函数表达式即为，作出直线与函数的图象，通过数形结合直接判断即可.
【详解】
由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
38．AB
【解析】
【分析】
令，进而由得或，再根据时，可得或，解方程即可得答案.
【详解】
解：令，故，进而得或，
所以或，
由于时，，
所以或，解得或
故选：AB
39．AC
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，结合二次函数的性质，逐一判断即可.
【详解】
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得(舍去)，当时，由，解得或(舍去)，故C正确；
当时，由，解得，当时，由，解得，因此的解集为，故D错误.
故选：AC.
40．0或2
【解析】
【分析】
首先计算，再由求得值即可.
【详解】
因为，所以，
可得，所以，解得：或，
故答案为：0或2.
41．4
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
解析：∵>0，∴＝2×＝；∵－≤0，∴＝＝；
∵－≤0，∴＝＝；
∵>0，∴＝2×＝，∴＋＝＋＝4.
故答案为：4．
42．
【解析】
【分析】
由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
43． 5
【解析】
【分析】
结合函数由内到外逐层计算，可得出关于的等式，进而可解得实数的值．
【详解】
，，
所以，
解得
故答案为：5，
44．
【解析】
先得出函数的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以函数的递减区间是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.
45．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）设，则，把代入函数解析式化简后，把换成；
（2）设，则，把代入函数解析式化简后，把换成；
（3）将函数配方成，再整体换元即可得解；
（4设出函数的解析式，代入题中的关系式整理后，使方程两边项的系数对应相等，求出、、值；
【详解】
解：（1）设，则，
得
所以；
（2）设，则，得，
则
所以；
（3）由均值不等式，，
，
所以；
（4） 设，
由，则，即
又，
即
得
则，解得
所以.
【点睛】
本题的考点是求函数的解析式的方法，考查了观察法、换元法、待定系数法，求复合函数的解析式时用了代入法，注意求出函数的定义域和每种方法适用的范围．
46．(1)()
(2)定义域为，值域为
(3)作图见解析
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
(2)由水深h的范围即可求出的值域.
(3)结合二次函数图象特征即可作出函数的图象.
(1)
依题意，水深(m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m，上底为(2+2h)m，高hm，
于是得水的面积为(m2)，
所以，()．
(2)
由(1)知，函数的定义域是，
显然在上A(h)随h增大而增大，，，
所以函数的定义域为，值域为．
(3)
由(2)知，是二次函数，其图象对称轴，顶点为，而，
于是得函数()的图象是抛物线的一部分，如图所示.
47．
【解析】
【分析】
设，由，根据对应项相等可建立关于，，的方程，解方程可求，，进而可求函数
【详解】
解：设
，，
，，
【点睛】
本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，考查了基本运算，属于基础题.
48．（1）；（2）；（3）或；（4）.
【解析】
【分析】
（1）利用方程组法求解；
（2）利用方程组法求解；
（3）利用配方法求解；
（4）利用赋值法求解；
【详解】
（1）因为①
用代替，②
由①②组成的方程组得.
故答案为: .
（2）将代入等式得出，
联立，变形得：，
解得.
（3）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，
或.
（4）因为对一切实数 都成立，且，
令则，又因为
所以，即.
49．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；
（2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；
②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.
【详解】
（1）因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，所以，解得，
所以；
（2）①当时，，所以，解得；
当时，，所以，
因为，所以，
所以无解，
综上所述：的取值范围是；
②由①可知：，
当时，，所以，所以；
当时，的对称轴为，所以，
且，所以，
令，所以，所以，
综上可知：.
【点睛】
关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值.
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