人教小数学生辅导讲义
[学生版]
学员姓名 年 级
辅导科目 学科教师
上课时间
第5讲 三角形
思维导图
知识梳理
知识点一：三角形的特性
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连或重合)，叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标
3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
知识点二：三角形的分类
1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△(等边三角形或正三角形是特殊的等腰△)。
3、等边△的三边相等，每个角是60度。(顶角、底角、腰、底的概念)
4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是特殊的等腰三角形
知识点三：三角形的内角和
1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：(1)当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。
(2)任何两个(完全一样)的三角形可以拼成一个平行四边形。
并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。
(3)两个(完全一样)的直角三角形可以拼成
(平行四边形)或(长方形)或(等腰三角形)。
(4)用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。
(5)三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。
(6)至少需要两个三角形，才可以拼四边形。
至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。
至少用(2个)直角三角形可以拼成一个长方形。
至少用(3个)等边三角形可以拼成一个等腰梯形。
至少用(2个)等边三角形可以拼成一个平行四边形。
(7)多个三角形可以拼出各种美丽的图案。
密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形
精讲精练
考点1：三角形的特性
典例分析
例1．(云岩区)有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．
举一反三
1．(宁阳县期末)自行车架做成三角形的，是利用了三角形 的特性，升降梯是利用了平行四边形的 特性．
2．(靖州县期末)下面各组线段不能围成三角形的是
A．、 和 B．、 和
C．、和
3．(法库县期末)下面 组数字的长度可以围成等腰三角形．
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
考点2：三角形的分类
典例分析
例2．(沙河口区期末)下列各图表示的关系正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
举一反三
1．(法库县校级月考)三角形按角可分为______三角形、______三角形和______三角形．
A．直角 锐角 钝角 B．等边 等腰 正
C．锐角 等边 直角 D．等边 直角 等腰
2．(内江期末)用三根长6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形的每个角都是 ．这个三角形按边分是 三角形，按角分是 三角形．
3．(肇州县校级期末)分一分，将正确答案的序号填在括号内．
考点3：三角形的内角和
典例分析
例3．求下面未知角的度数．
举一反三
1．(韶关期末)算一算．和的度数各是多少？
2．在一个三角形中，三个内角分别为、和，其中与的度数和比大，求的度数．
3．一个等腰三角形顶角度数比一个底角多，求它的顶角和一个底角各多少度？
考点4：等腰和等边三角形及直角三角形
典例分析
例4．徐东用铁丝围成了一个边长4分米的等边三角形．如果用这根铁丝围成一个底是2分米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长多少分米？
举一反三
1．(青龙县期末)小明家有一块等腰三角形形状的菜地，菜地两条边的长度分别是15米和30米．小明想用篱笆把菜地圈起来，篱笆长最少多少米？
2．(成武县期末)用一根铁丝围成了一个边长9厘米的正方形．现在把它改围成一个等边三角形，算一算，若围成等边三角形，边长应该是多少厘米？
3．(新沂市校级期中)一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？
考点5：画指定要求的三角形及高
典例分析
例5．在下面的点子图中画一个锐角三角形、一个钝角三角形和一个等腰直角三角形(顶点都在点子上)，并给每个三角形画上一条高．
举一反三
1．(东西湖区校级期末)在方格纸上分别画一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形．
2．下面给出了三角形的一条边，请在点子图中按要求画三角形．
3．在点子图上画一画．
(1)画一个钝角三角形．
(2)画一个三角形，使它既是等腰三角形，又是直角三角形．
阶梯训练
基础训练
1．(新华区期末)升降机可以上下活动是利用了平行四边形的 ；
篮球架中的三角形，是利用了三角形的 ．
2．(聊城期中)三角形有 条边， 个角， 个顶点．任意一个三角形都有 条高．
3．(天津模拟)一个三角形最多有 个钝角或 个直角，至少有 个锐角，应选 ．
、1，1，3 、1，1，2 、2，2，2．
4．张敏要去书店买书，第 ② 条路最近，因为两点间所有连线中 最短．
5．(东莞市期末)小强将一根铁丝做成正方形，边长是6分米．小虎将它改变成三条边都相等的三角形，如图．那么，这个三角形每条边的长度是 分米．
A．6 B．8 C．10
6．(明光市期末)一个等腰三角形相邻的两边分别长15分米和7分米，这个等腰三角形的周长是
A．37分米 B．29分米
C．29分米或37分米
7．(天津模拟)把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是
A．和 B．和 C．和
8．(威海期末)用一根18厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，它的边长可能是 厘米．
A．10，4，4 B．8，3，7 C．8，5，5
9．(宿迁模拟)一个等腰三角形的顶角是．这个三角形是
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．(天津模拟)下面说法，正确的是
A．等腰三角形都是等边三角形 B．等边三角形都是等腰三角形
C．等腰三角形都是锐角三角形
拓展拔高
11．猜一猜正面被遮住一部分的三角形是什么三角形，选择对应的字母填入括号中．
．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．不确定．
12．在下面的三个圈图中填人相应的三角形名称．
13．(香河县期末)在下表中适当的空格内填上“”，体会几种三角形之间的联系和区别．
图形名称 三条边都相等 有两条边相等 有一个角是直角 只有两个锐角 有三个锐角
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
14．(元谋县校级期末)请你在方格纸上画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形各一个．
15．(邓州市期末)(1)请在下面的方格中，以给出的线段为底边，画一个等腰三角形．
(2)请在给出的底边上画出这个三角形的高．
16．(巴中校级期中)按要求画三角形．
(1)一个锐角三角形和一个直角三角形．
(2)图中三角形是等腰三角形的一半，请你画出完整的等腰三角形．
17．(覃塘区校级月考)在点子图中画一个等腰直角三角形和一个等边三角形．
18．在边长为1厘米的正方形方格纸内按要求画三角形．
(1)画一个腰长为4厘米的等腰直角三角形．
(2)画一个钝角三角形．
(3)画一个底边为8厘米的等腰三角形
19．从下面的五根小棒中，任选3根，你能摆出几个不同的三角形？
①2厘米； ②4厘米 ③5厘米； ④8厘米； ⑤9厘米．
20．把一根18厘米长的小棒截成三段围成一个等腰三角形(每段都是整厘米数)一共有多种截法？是怎样截的，请把每种截法的长度写出来．
挑战名校
21．(武侯区期中)把30厘米长的铁丝围成一个底边是8厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长多少厘米？
22．(江苏校级期末)一个等腰三角形的周长是31厘米，腰比底长5厘米，这个等腰三角形的腰和底分别是多少厘米？
23．在一个等腰三角形中，一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，这个三角形三个内角的度数分别是多少？
24．一个等边三角形的周长与一个边长是18厘米的正方形周长相等，这个等边三角形的边长是多少厘米？
25．求如图三角形中未知角的度数．
26．一个三角形的三个内角分别是，，，并且，，求，，的度数．
27．(安徽校级期末)如图，已知，，求图、、的度数．
28．下图是一个正方形，求、、的度数．人教小数学生辅导讲义
[教师版]
学员姓名 年 级
辅导科目 学科教师
上课时间
第5讲 三角形
思维导图
知识梳理
知识点一：三角形的特性
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连或重合)，叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标
3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
知识点二：三角形的分类
1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△(等边三角形或正三角形是特殊的等腰△)。
3、等边△的三边相等，每个角是60度。(顶角、底角、腰、底的概念)
4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是特殊的等腰三角形
知识点三：三角形的内角和
1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：(1)当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。
(2)任何两个(完全一样)的三角形可以拼成一个平行四边形。
并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。
(3)两个(完全一样)的直角三角形可以拼成
(平行四边形)或(长方形)或(等腰三角形)。
(4)用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。
(5)三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。
(6)至少需要两个三角形，才可以拼四边形。
至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。
至少用(2个)直角三角形可以拼成一个长方形。
至少用(3个)等边三角形可以拼成一个等腰梯形。
至少用(2个)等边三角形可以拼成一个平行四边形。
(7)多个三角形可以拼出各种美丽的图案。
密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形
精讲精练
考点1：三角形的特性
典例分析
例1．(云岩区)有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．
【思路分析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此规范解答．
【规范解答】解：根据思路分析知，共有以下情况，
①2厘米，3厘米，4厘米；
②3厘米，4厘米，5厘米；
③2厘米，4厘米，5厘米；
答：一共可以拼成3个不同的三角形，分别为2厘米，3厘米，4厘米；3厘米，4厘米，5厘米；2厘米，4厘米，5厘米．
【名师点评】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．
举一反三
1．(宁阳县期末)自行车架做成三角形的，是利用了三角形 稳定性 的特性，升降梯是利用了平行四边形的 特性．
【思路分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，所以自行车架做成三角形的，是利用了三角形稳定性制作的；
因为平行四边形的具有不稳定性的性质，所以利用了平行四边形的易变性的特性制作了升降梯．
【规范解答】解：自行车架做成三角形的，是利用了三角形稳定性的特性，升降梯是利用了平行四边形的易变形的特性．
故答案为：稳定性，易变性的．
【名师点评】本题考查了三角形和平行四边形的特性．
2．(靖州县期末)下面各组线段不能围成三角形的是
A．、 和 B．、 和
C．、和
【思路分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行思路分析．
【规范解答】解：、，能够组成三角形；
、，不能够组成三角形；
、，能组成三角形．
故选：．
【名师点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．(法库县期末)下面 组数字的长度可以围成等腰三角形．
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行规范解答即可．
【规范解答】解：、，不能围成三角形；
、因为，所以能组成三角形，又因为两条边都是2厘米，所以能围成等腰三角形；
、因为，所以不能围成三角形；
、因为，所以能围成三角形，但不是等腰三角形；
故选：．
【名师点评】规范解答此题的关键是根据三角形的特性进行思路分析、规范解答即可．
考点2：三角形的分类
典例分析
例2．(沙河口区期末)下列各图表示的关系正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路分析】根据三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边可以分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等边三角形属于等腰三角形；四边形可以分为一般四边形和长方形，其中正方形是长方形的一种特殊情况；由此规范解答即可．
【规范解答】解：下列各图表示的关系正确的个数有0个；
故选：．
【名师点评】灵活掌握三角形的分类、四边形的分类，是规范解答此题的关键．
举一反三
1．(法库县校级月考)三角形按角可分为______三角形、______三角形和______三角形．
A．直角 锐角 钝角 B．等边 等腰 正
C．锐角 等边 直角 D．等边 直角 等腰
【思路分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分为两类：不等腰三角形和等腰三角形；等边三角形是等腰三角形的特殊形式，进而规范解答即可．
【规范解答】解：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
故选：．
【名师点评】此题考查了三角形按角分类的方法．
2．(内江期末)用三根长6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形的每个角都是 ．这个三角形按边分是 三角形，按角分是 三角形．
【思路分析】因为三角形三个边相等都是3厘米，根据等边三角形的定义，可得这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是，所以这个三角形按角分是锐角三角形．据此规范解答即可．
【规范解答】解：因为三角形三个边相等都是3厘米，所以这个三角形是等边三角形；
根据等边三角形性质，三个角相等都是，所以这个三角形按角分是锐角三角形．
故答案为：、等边、锐角．
【名师点评】本题考查等边三角形的定义，以及等边三角形性质．
3．(肇州县校级期末)分一分，将正确答案的序号填在括号内．
【思路分析】根据三角形按照角的大小分类情况，三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此进行判断即可．
【规范解答】解：锐角三角形：①④⑦
直角三角形：②⑧
钝角三角形：③⑤⑥
故答案为：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类的情况及应用，要熟悉各类三角形的判定条件．
考点3：三角形的内角和
典例分析
例3．求下面未知角的度数．
【思路分析】(1)三角形的内角和是，求出的度数，再根据平角的定义，的角叫做平角．用减去的度数就是的度数，据此列式规范解答．
(2)如图：首先根据平均的定义求出的度数，再根据三角形的内角和是，那么，据此规范解答．
【规范解答】解：(1)如图：
答：的度数是．
(2)如图：
答：的度数是．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的意义、平角的定义及应用．
举一反三
1．(韶关期末)算一算．和的度数各是多少？
【思路分析】(1)在直角三角形中，两个锐角的度数和是，所以用减去即得的度数；
(2)由图可知，与跟它相邻的角组成一个平角，是，而在右边的三角形中，与相邻的角，所以；据此规范解答．
【规范解答】解：(1)
(2)．
【名师点评】此题考查了三角形的内角和是的运用．
2．在一个三角形中，三个内角分别为、和，其中与的度数和比大，求的度数．
【思路分析】三角形的内角和是，在一个三角形中，三个内角分别为、和，其中与的度数和比大，用再除以2即可求出的度数，据此列式规范解答．
【规范解答】解：
答：的度数是．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和，并且能够根据三角形的内角和求出三角形中任意一个未知角的度数．
3．一个等腰三角形顶角度数比一个底角多，求它的顶角和一个底角各多少度？
【思路分析】等腰三角形的两个底角相等，设三角形的底角是度，则三角形的顶角是度．根据三角形的内角和是180度．列方程规范解答即可．
【规范解答】解：设三角形的底角是度，
(度
答：这个三角形的顶角是126度，底角是27度．
【名师点评】规范解答本题的关键是根据等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是规范解答即可．
考点4：等腰和等边三角形及直角三角形
典例分析
例4．徐东用铁丝围成了一个边长4分米的等边三角形．如果用这根铁丝围成一个底是2分米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长多少分米？
【思路分析】用这根铁丝不论是围成什么形状的三角形，周长不变，就是这根铁丝的长度．根据等边三角形的特征，等边三角形三条边都相等，由此即可求出这根铁丝的长度．再根据等腰三角形的特征，等腰三角形有两条边相等，用这根铁丝的长度减去底2分米再除以2就是围成的这个等腰三角形的腰长．
【规范解答】解：
(分米)
答：这个等腰三角形的腰长5分米．
【名师点评】规范解答此题的关键一是明白：用这根铁丝不论是围成什么形状的三角形，周长不变；二是等边三角形、等腰三角形的特征．
举一反三
1．(青龙县期末)小明家有一块等腰三角形形状的菜地，菜地两条边的长度分别是15米和30米．小明想用篱笆把菜地圈起来，篱笆长最少多少米？
【思路分析】三角形的任意两边之和大于第三边，据此确定这个的腰是多少米，再求它的周长即可．
【规范解答】解：(米，两边之和等于第三边不合题意，
所以这个等腰三角形的腰是30米
(米
答：篱笆的长最少是75米．
【名师点评】本题的重点是确定这个等腰三角形的腰是多少，再进行规范解答．
2．(成武县期末)用一根铁丝围成了一个边长9厘米的正方形．现在把它改围成一个等边三角形，算一算，若围成等边三角形，边长应该是多少厘米？
【思路分析】根据正方形的周长公式，求出正方形的周长，即铁丝的长度，再除以3就是等边三角形的边长．
【规范解答】解：(厘米)，
答：等边三角形的边长是12厘米．
【名师点评】关键是根据正方形的周长公式及等边三角形的性质解决问题．
3．(新沂市校级期中)一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？
【思路分析】依据三角形的内角和是180度，及等腰三角形的两个底角相等，再据顶角和底角的关系即可作答．
【规范解答】解：设底角为，
则，
，
；
；
答：这个等腰三角形度底角是，顶角是．
【名师点评】此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的角的度数特点．
考点5：画指定要求的三角形及高
典例分析
例5．在下面的点子图中画一个锐角三角形、一个钝角三角形和一个等腰直角三角形(顶点都在点子上)，并给每个三角形画上一条高．
【思路分析】根据锐角、直角、钝角三角形的意义及等腰三角形的意义即可分别画出一个锐角三角形、一个钝角三角形和一个等腰直角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有两条边相等的三角形叫等腰三角形．经过三角形的顶点(与底相对的点)向对边(底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高．
【规范解答】解：在下面的点子图中画一个锐角三角形、一个钝角三角形和一个等腰直角三角形(顶点都在点子上)，并给每个三角形画上一条高(高为红色虚线)．
【名师点评】此题考查的知识有：三角形的分类(按边、按角)，作三角形的高．
举一反三
1．(东西湖区校级期末)在方格纸上分别画一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形．
【思路分析】根据含义：有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；两个腰相等的三角形，叫等腰三角形；画出即可．
【规范解答】解：画图如下：
【名师点评】此题主要考查的是对各个三角形意义和特点的理解，应灵活运用．
2．下面给出了三角形的一条边，请在点子图中按要求画三角形．
【思路分析】根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的即可分别画出等腰直角三角形、等腰锐角三角形和等腰钝角三角形．有两条边相等的三角形是等腰三角形；一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形．
【规范解答】解：下面给出了三角形的一条边，请在点子图中按要求画三角形．
【名师点评】规范解答此题的关键是等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的意义．
3．在点子图上画一画．
(1)画一个钝角三角形．
(2)画一个三角形，使它既是等腰三角形，又是直角三角形．
【思路分析】(1)根据钝角三角形的特征，在三角形中，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形．据此画出一个钝角三角形即可．
(2)根据等腰直角三角形的特征，在三角形中，有一个角是直角且两条直角边相等的三角形，就是等腰直角三角形．据此画出这个三角形．
【规范解答】解：(1)作图如下：
(2)作图如下：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握钝角三角形、等腰直角三角形的特征及应用．
阶梯训练
基础训练
1．(新华区期末)升降机可以上下活动是利用了平行四边形的 易变性 ；
篮球架中的三角形，是利用了三角形的 ．
【思路分析】根据三角形的稳定性和平行四边形的易变形(不稳定性)进行规范解答．
【规范解答】解：升降机可以上下活动是利用了平行四边形的 易变性；
篮球架中的三角形，是利用了三角形的 稳定性．
故答案为：易变性，稳定性．
【名师点评】灵活掌握三角形和平行四边形的特性，是规范解答此题的关键．
2．(聊城期中)三角形有 3 条边， 个角， 个顶点．任意一个三角形都有 条高．
【思路分析】根据“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形”可知，任意一个三角形都有三条边，三个角；因为三角形的高是指过顶点与对边垂直的线段，任意三角形都有三个顶点，所以一定有三个高；据此判断即可．
【规范解答】解：三角形有 3条边，3个角，3个顶点．任意一个三角形都有 3条高．
故答案为：3，3，3，3．
【名师点评】此题考查了三角形的定义和特征及三角形高的含义．
3．(天津模拟)一个三角形最多有 1 个钝角或 个直角，至少有 个锐角，应选 ．
、1，1，3 、1，1，2 、2，2，2．
【思路分析】根据三角形内角和是即可解决问题．
【规范解答】解：如果一个三角形中出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于，不符合三角形内角和是，
因此一个三角形最多有1个钝角；
如果一个三角形中出现2个或3个直角，再加上第三个角，那么三角形的内角和就大于，也不符合三角形内角和是；
所以，三角形中最多有一个直角；
如果一个三角形中至少有1个锐角，则可能有两个直角或钝角，那么三个内角的和也要大于，也不符合三角形内角和是；
所以一个三角形中最少有2个锐角，最多有3个锐角，如锐角三角形．
故答案为：1，1，2，．
【名师点评】此题考查了三角形内角和定理的灵活运用．
4．张敏要去书店买书，第 ② 条路最近，因为两点间所有连线中 最短．
【思路分析】依据“两点之间线段最短”即可进行判断．
【规范解答】解：张敏要去书店买书，第②条路最近，因为两点间所有连线中线段最短．
故答案为：②，线段．
【名师点评】本题考查了线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的熟练掌握．
5．(东莞市期末)小强将一根铁丝做成正方形，边长是6分米．小虎将它改变成三条边都相等的三角形，如图．那么，这个三角形每条边的长度是 分米．
A．6 B．8 C．10
【思路分析】根据题意，根据：正方形的周长边长，先求出这根铁丝的长度，即折成的三角形的周长，由此求出三角形的边长．
【规范解答】解：
(分米)
答：这个三角形每条边的长度是8分米．
故选：．
【名师点评】根据铁丝的长度不变，求出三角形的周长，也就是正方形的周长，是规范解答此题的关键．
6．(明光市期末)一个等腰三角形相邻的两边分别长15分米和7分米，这个等腰三角形的周长是
A．37分米 B．29分米
C．29分米或37分米
【思路分析】因为这是一个等腰三角形所以有两条边相等，又因为相邻两条边分别是15分米和7分米，所以这三条边有两种情况的可能：一是7、7、15，二是15、15、7，根据三角形任两条边的和大于第三边的定理，据此规范解答．
【规范解答】解：这个等腰三角形的三条边有两种可能：
一是：7、7、15
因为，
所以这种情况不成立；
二是：15、15、7
因为，
所以这种情况成立，周长是(分米)
所以这个等腰三角形的周长是37分米．
故选：．
【名师点评】此题主要是根据三角形任两边的和大于第三边，看最短两边的和与第三边的关系判断就行．
7．(天津模拟)把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是
A．和 B．和 C．和
【思路分析】等边三角形的三个角都相等，所以三个角都是，把这个等边三角形分成两个直角三角形后，则其中的一个锐角是，则另一个锐角是，由此即可规范解答．
【规范解答】解：等边三角形的三个角都相等，都是，
把这个等边三角形分成两个直角三角形后，则其中的一个锐角是，则另一个锐角是，
故选：．
【名师点评】此题考查了等边三角形和直角三角形的性质和三角形的内角和定理．
8．(威海期末)用一根18厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，它的边长可能是 厘米．
A．10，4，4 B．8，3，7 C．8，5，5
【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行规范解答即可．
【规范解答】解：、，所以不能围成三角形；
、，可以围成三角形，但不是等腰三角形；
、，可以围成三角形，是等腰三角形；
所以它的边长可能是8厘米、5厘米、5厘米．
故选：．
【名师点评】规范解答此题的关键是根据三角形的特性进行思路分析、规范解答．
9．(宿迁模拟)一个等腰三角形的顶角是．这个三角形是
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【思路分析】根据三角形的分类，有一个角是直角的三角形是直角三角形，它又是一个等腰三角形，因此它是一个等腰直角三角形，据此规范解答即可．
【规范解答】解：根据三角形的分类，有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形．
故选：．
【名师点评】规范解答本题时应用了三角形分类和等腰三角形、直角三角形的定义及性质．要综合应用学过的知识规范解答问题．
10．(天津模拟)下面说法，正确的是
A．等腰三角形都是等边三角形 B．等边三角形都是等腰三角形
C．等腰三角形都是锐角三角形
【思路分析】根据等腰三角形的定义，等边三角形的定义进行思路分析即可作出选择．
【规范解答】解：、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原来的说法是错误的；
、等边三角形都是等腰三角形是正确的；
、等腰直角三角形是直角三角形，原来的说法是错误的．
故选：．
【名师点评】考查了等腰三角形与等边三角形：两条边相等的三角形是等腰三角形；三条边相等的三角形是等边三角形．
拓展拔高
11．猜一猜正面被遮住一部分的三角形是什么三角形，选择对应的字母填入括号中．
．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．不确定．
【思路分析】三角形按角分类的方法是：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；据此即可判断．
【规范解答】解：观察图形可知：(1)直角三角形；
(2)锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，所以不能确定；
(3)钝角三角形．
故选：，，．
【名师点评】此题考查了按三角形按角进行分类的方法．
12．在下面的三个圈图中填人相应的三角形名称．
【思路分析】①三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；
②三角形按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形、一般的三角形；
③等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是直角三角形或钝角三角形；所以最上面的扇形表示锐角三角形，左面和右面的扇形分别表示直角三角形和钝角三角形．
【规范解答】解：根据思路分析，可得
．
【名师点评】此题主要考查了三角形的分类，要熟练掌握，注意按角分还是按边分．
13．(香河县期末)在下表中适当的空格内填上“”，体会几种三角形之间的联系和区别．
图形名称 三条边都相等 有两条边相等 有一个角是直角 只有两个锐角 有三个锐角
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
【思路分析】有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形；三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个叫是钝角的三角形叫做钝角三角形，据此规范解答即可．
【规范解答】解：标注如下：
图形名称 三条边都相等 有两条边相等 有一个角是直角 只有两个锐角 有三个锐角
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
【名师点评】此题主要考查三角形的分类方法及其特征．
14．(元谋县校级期末)请你在方格纸上画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形各一个．
【思路分析】根据含义：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；两个腰相等的三角形，叫等腰三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形；画出即可．
【规范解答】解：作图如下：
【名师点评】此题主要考查的是对各个三角形意义和特点的理解，应灵活运用．
15．(邓州市期末)(1)请在下面的方格中，以给出的线段为底边，画一个等腰三角形．
(2)请在给出的底边上画出这个三角形的高．
【思路分析】①根据等腰三角形的两个腰相等即可画出给出的线段为底边的等腰三角形；
②根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．
【规范解答】解：
【名师点评】此题主要是考查作等腰三角形以及三角形高的做法．
16．(巴中校级期中)按要求画三角形．
(1)一个锐角三角形和一个直角三角形．
(2)图中三角形是等腰三角形的一半，请你画出完整的等腰三角形．
【思路分析】(1)根据锐角三角形和直角三角形的定义画出一个锐角三角形和一个直角三角形即可；
(2)根据对称的知识画出另外一半即可．
【规范解答】解：(1)画完锐角三角形和直角三角形后如下图：
(2)作完另外一半三角形后如下图：
【名师点评】此题考查了学生的对锐角三角形和直角三角形及作图能力．
17．(覃塘区校级月考)在点子图中画一个等腰直角三角形和一个等边三角形．
【思路分析】根据它们的定义：有两个腰相等的三角形，叫做等腰三角形，有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形，进而画出即可．
【规范解答】解：
【名师点评】此题考查了三角形按角分类的方法，应灵活理解并掌握．
18．在边长为1厘米的正方形方格纸内按要求画三角形．
(1)画一个腰长为4厘米的等腰直角三角形．
(2)画一个钝角三角形．
(3)画一个底边为8厘米的等腰三角形
【思路分析】(1)因为直角三角形的两条直角边所夹的角是直角，由此先画出一个90度的角，以这个直角的顶点为端点，在角的两边上分别截取线段等于2厘米，再把两条线段的另外两个端点连接起来即可得出这个等腰直角三角形，据此即可画图．
(2)根据钝角三角形的特征：一个角大于90度，其余两个角是锐角作图即可．
(3)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的这两条边叫做腰，不相等的那条边叫做这个等腰三角形的底，根据等腰三角形的性质，先作底边上的垂直平分线并取垂直平分线上的一点，再与连接两端点连接即可得到等腰三角形．
【规范解答】解：作图如下：
【名师点评】此题考查了三角形的画法．
19．从下面的五根小棒中，任选3根，你能摆出几个不同的三角形？
①2厘米； ②4厘米 ③5厘米； ④8厘米； ⑤9厘米．
【思路分析】根据三角形的特性：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此思路分析、规范解答即可．
【规范解答】解：因为，所以2米、4米和5米能摆出三角形；
因为，所以2米、8米和9米能摆出三角形；
因为，所以4米、5米和8米能摆出三角形；
因为，所以4米、8米和9米能摆出三角形；
因为，所以5米、8米、9米能摆出三角形．共5种．
答：能摆出5个不同的三角形．
【名师点评】本题主要考查了三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
20．把一根18厘米长的小棒截成三段围成一个等腰三角形(每段都是整厘米数)一共有多种截法？是怎样截的，请把每种截法的长度写出来．
【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边和等腰三角形两个腰相等；进行规范解答即可．
【规范解答】解：由题意，符合题意的三角形各边分别为：
①8、8、2；②7、7、4；③6、6、6；④5、5、8；所以共4种截法；
答：一共有4种截法．
【名师点评】规范解答此题的关键是根据三角形的特性进行思路分析、规范解答．
挑战名校
21．(武侯区期中)把30厘米长的铁丝围成一个底边是8厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长多少厘米？
【思路分析】铁丝的长度就是这个三角形的周长，也就是三条边的长度和，在等腰三角形中，两条腰的长度相等，先用周长减去底边的长度，求出两腰长度的和，再除以2即可求出这个等腰三角形的一条腰长多少厘米．
【规范解答】解：
(厘米)
答：这个等腰三角形的一条腰长11厘米．
【名师点评】解决本题关键是知道等腰三角形两条腰的长度相等这一特点．
22．(江苏校级期末)一个等腰三角形的周长是31厘米，腰比底长5厘米，这个等腰三角形的腰和底分别是多少厘米？
【思路分析】等腰三角形的两条腰相等，因为腰比底长5厘米，设底边为厘米，腰长为厘米，列式为，规范解答即可
【规范解答】解：设底边为厘米，腰长为厘米，
腰：(厘米)
答：这个等腰三角形的腰和底分别是12厘米和7厘米．
【名师点评】此题考查三角形的周长的定义以及等腰三角形两腰相等的性质的灵活应用．
23．在一个等腰三角形中，一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，这个三角形三个内角的度数分别是多少？
【思路分析】根据题意，一个等腰三角形的一个内角是另一个角的2倍，分为两种情况，第一种是顶角是底角的2倍，最大的角是顶角；第二种是底角是顶角的2倍，最大的角是底角；一个等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是180度，进一步规范解答即可．
【规范解答】解：当顶角是底角的2倍，顶角是最大的角；
此时底角的度数是：(度
顶角的度数是：(度
当底角是顶角的2倍，最大的角是底角；
此时顶角的度数是：(度
底角的度数是：(度．
答：这个三角形的三个内角可能是90度、45度、45度或72度、72度、36度．
【名师点评】根据题意，由等腰三角形的特点，分为两种情况，再根据三角形的内角和是180度，由和倍公式进一步规范解答即可．
24．一个等边三角形的周长与一个边长是18厘米的正方形周长相等，这个等边三角形的边长是多少厘米？
【思路分析】先根据正方形的周长边长，求出正方形的周长，即等边三角形的周长，然后根据等边三角形的三条边都是相等，用周长除以3，就是这个三角形的边长．
【规范解答】解：，
，
(厘米)；
答：这个等边三角形的边长是24厘米．
【名师点评】明确正方形的周长计算公式及等边三角形的特点，是规范解答此题的关键．
25．求如图三角形中未知角的度数．
【思路分析】先根据平角的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可规范解答问题．
【规范解答】解：
【名师点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及平角的定义的计算应用．
26．一个三角形的三个内角分别是，，，并且，，求，，的度数．
【思路分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是，先求出是多少度，进而即可分别求出、各是多少度．
【规范解答】解：因为，
所以
又因为
所以
【名师点评】本题的关键是根据三角形的内角和是180度求出的度数．
27．(安徽校级期末)如图，已知，，求图、、的度数．
【思路分析】如图：
根据可知：该三角形为等腰三角形，两底角相等，即，因为，所以，因为三角形的内角和，所以；因为平角是180度，所以，在中，用“”求出和的度数和，又因为，所以，用“”规范解答求出的度数．
【规范解答】解：如图：因为，所以，又因为，所以，在中，
，
，
在三角形中，，所以：
；
答：，，．
【名师点评】规范解答此题用到的知识点：(1)三角形的内角和是180度；(2)平角的含义；(3)等腰三角形两底角相等的特征．
28．下图是一个正方形，求、、的度数．
【思路分析】根据等边三角形的性质可得的度数是60度，根据正方形的性质每个角都是90度和等腰三角形的性质两底角相等可得的度数，再根据周角等于360度可得的度数．
【规范解答】解：由等边三角形的性质可得
答：的度数是，的度数是，的度数是．
【名师点评】考查了线段与角的综合，本题关键是熟悉等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质和周角的定义．
