2022—2023学年人教版数学七年级上册 第4章几何图形的初步 角的计算 分论讨论思想 练习（word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2022—2023学年人教版数学七年级上册 第4章几何图形的初步 角的计算 分论讨论思想 练习（word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 766.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-08 16:36:02 | ||
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文档简介
角的计算 分类讨论
一．填空题（共13小题）
1．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 ．
2．已知∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为 ．
3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数是 ．
4．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．
5．在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB分成∠AOE、∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，∠DOE＝90°，则∠COD＝ ．（用含有α的代数式表示）
6．在同一平面内，∠AOC＝∠BOD＝50°，射线OB在∠AOC的内部，且∠AOB＝20°，OE平分∠AOD，则∠COE的度数是 ．
7．OC是∠AOB的平分线，从点O引出一条射线OD、使∠BOD∠COD，若∠BOD＝15°，则∠AOB＝ °．
8．已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．
9．已知∠AOB＝70°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是 ．
10．已知∠AOB＝110°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），则∠COD的度数为 ．
11．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 ．
12．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
13．如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 ．
二．解答题（共2小题）
14．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
15．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
16．已知点A，O，C在同一条直线上，射线OB在AC上方，且∠BOC＝20°，
（1）若射线OD平分∠AOB，求∠BOD的度数；
（2）射线OM以30°每秒的速度从射线OA开始顺时针运动，∠POQ开始时与∠BOC重合，其中OP与OB重合，以10°每秒的速度逆时针运动．
①当运动时间为多长时，射线OM和∠POQ的角平分线重合？
②试探究是否存在运动到某一时刻，∠MOP∠MOQ？若存在，求出所有符合条件的∠AOM的度数；若不存在，请说明理由．
17．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．
（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON＝ °．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
角的计算 分类讨论（解析）
一．填空题（共13小题）
1．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 45°或25° ．
【解答】解：分为两种情况：如图①，当∠AOB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD，
∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝35°﹣10°＝25°；
如图②，当∠AOB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+10°＝45°，
故答案为：25°或45°．
2．已知∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为 90°或30° ．
【解答】解：如图①，∠BOC在∠AOC的内部，
∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣30°＝30°；
如图②，①，∠BOC在∠AOC的外部，
∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+30°＝90°；
故答案为：30°或90°．
3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数是 30°或50° ．
【解答】解：①如图，当OB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD∠AOB＝10°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE∠AOC＝40°．
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°；
②如图，当OB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD∠AOB＝10°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE∠AOC＝40°．
∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝30°；
综上，∠DOE的度数是30°或50°．
故答案为：30°或50°．
4．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 5°或55° ．
【解答】解：如图1，OD在∠AOB内，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝60°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝30°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝5°；
如图2，OD在∠AOB外，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝60°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝30°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+25°＝55°．
则∠EOF的度数是5°或55°．
故答案为：5°或55°．
5．在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB分成∠AOE、∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，∠DOE＝90°，则∠COD＝ 或180° ．（用含有α的代数式表示）
【解答】解：①当射线OD，OE在直线AB的同侧时，如图所示：
∵OC为∠AOE的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，
∴∠AOE＝180°﹣α，
∴∠1＝∠2（180°﹣α）＝90°α，
∴∠COD＝∠DOE+∠1＝90°+90°180°；
②当射线OD、OE在直线AB的异侧时，如图所示：
∵OC为∠AOE的平分线，
∴∠l＝∠2，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，
∴∠AOE＝180°﹣α，
∴∠1＝∠2（180°﹣α）＝90°α，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠1＝90°﹣（90°）．
综上所述，∠COD或180°．
故答案为：或180°．
6．在同一平面内，∠AOC＝∠BOD＝50°，射线OB在∠AOC的内部，且∠AOB＝20°，OE平分∠AOD，则∠COE的度数是 15°或65° ．
【解答】解：①当OD在OC的左侧时，如图，
∵∠AOC＝∠BOD＝50°，∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝70°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝20°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE∠AOD＝35°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝15°；
②当OD在OA的下方时，如图，
∵∠AOC＝∠BOD＝50°，∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE∠AOD＝15°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝65°．
综上所述，∠COE的度数为15°或65°．
故答案为：15°或65°．
7．OC是∠AOB的平分线，从点O引出一条射线OD、使∠BOD∠COD，若∠BOD＝15°，则∠AOB＝ 120°或60 °．
【解答】解：①当射线OD在∠AOB的内部时，如图1，
∵∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，
∴∠COD＝3∠BOD＝45°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝15°+45°＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝120°；
②当射线OD在∠AOB的外部时，如图2，
∵∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，
∴∠COD＝3∠BOD＝45°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝45°+15°＝30°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝60°；
综上，∠AOB＝120°或60°．
故答案为：120°或60．
8．已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 10°或60° ．
【解答】解：如图1，OD在∠AOB内，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝35°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝10°；
如图2，OD在∠AOB外，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝35°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝60°．
则∠EOF的度数是10°或60°．
故答案为：10°或60°．
9．已知∠AOB＝70°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是 10°或14°或30°或42° ．
【解答】解：设∠BOC＝α，
∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，
依据题意，分两种情况：
①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：
i）若射线OD在∠AOC内部，如图1，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝2α，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，
∴α＝14°，
∴∠BOC＝14°；
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图2，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD∠CODα，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3ααα＝70°，
∴α＝30°，
∴∠BOC＝30°；
②当射线OC在∠AOB外部时，
依据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能：
i）若射线DO在∠AOB内部，如图3，
则∠COD＝∠BOC+∠BOD＝4α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝4α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝3α+4α＝7α＝70°，
∴α＝10°，
∴∠BOC＝10°
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图4，
则∠COD＝∠BOC+∠DOB＝4α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD∠CODα，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3ααα＝70°，
∴α＝42°，
∴∠BOC＝42°，
综上所述：∠BOC的度数分别是10°，14°，30°，42°．
故答案为：10°或14°或30°或42°
10．已知∠AOB＝110°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），则∠COD的度数为 60°或或 ．
【解答】解：（1）如图1所示：
当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4∠BOC＝4α，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，
∵∠AOD∠AOC，
∴3α+∠AOD＝3∠AOD，
∴∠AODα，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BODα+4α＝110°，
∴α＝20°，
∴∠DOC＝60°
②如图2所示，若射线OD在∠AOC外部，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4α，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD∠CODα，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝4ααα＝110°，
∴α．
∴∠DOC；
（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜35°，∠AOD∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能；
①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，
∵∠COD＝∠BOC+∠BOD＝5α，
设∠AOD＝β，则∠AOC＝3β，
∴3β＝5α+β，
∴βα，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4ααα＝110°，
∴α，
∴∠DOC＝5α；
②若射线OD在∠AOB外部，如图4所示，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4α，
∵∠AOB＝110°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝4α﹣110°，
∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝α+110°，
∵∠AOD∠AOC，
∴3（4α﹣110°）＝α+110°
解得α＝40°＞35°，
此种情况不符合题意，
综上所述：∠COD的度数为：60°，，．
11．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 3或或 ．
【解答】解：当∠NPQ∠MPN时，
15t（75+5t），
解得t＝3；
当∠NPQ∠MPN时，
15t（75+5t），
解得t．
当∠NPQ∠MPN时，
15t（75+5t），
解得t．
故t的值为3或或．
故答案为：3或或．
12．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 5或23 ．
【解答】解：∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON∠AOC＝40°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，
∴t＝50°÷10°＝5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，
∴t＝230°÷10°＝23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
13．如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 2∠DOE＝∠AOC或∠AOC＝360°﹣2∠DOE ．
【解答】解：设∠COD＝α，∠BOE＝β，
如图1，当旋转角度小于180°时，
∵∠COD∠AOB，
∴∠AOB＝2α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠EOC＝β，
∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝β+α，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝2α+2β，
∴2∠DOE＝∠AOC；
如图2，当旋转角度大于180°时，
∵∠COD∠AOB，
∴∠AOB＝2α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠EOC＝β，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣3α﹣2β，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝360°﹣2α﹣2β，
∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β，
∴∠AOC＝360°﹣2∠DOE；
故答案为：2∠DOE＝∠AOC或∠AOC＝360°﹣2∠DOE．
二．解答题（共2小题）
14．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 是 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 20°或30°或40° 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，
当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，
当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，
故答案为：20°或30°或40°；
②依题意有，3°45′＝3.75°，
当3.75t＝6060时，
解得t＝24；
当3.75t＝2×60时，
解得t＝32；
当10t＝60+2×60时，
解得t＝48．
故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；
15．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【解答】解：（1）①如图，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
②如图，∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB．
综上，∠AOC+∠BOC＝∠AOB或∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB；
（2）有，射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
如图，
理由：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°，
则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°，
因为∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOC＝∠BOD＝45°，
∴射线OB平分∠COD．
又∠BOD＝45°∠AOB，
∴射线OD平分∠AOB；
（3）①是．理由：
第（2）问中∠AOB＝90°，∠AOC＝135°，∠BOC＝45°，
则∠AOB＝2∠BOC，
所以OC是∠AOB的“优线”；
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AOB＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
16．已知点A，O，C在同一条直线上，射线OB在AC上方，且∠BOC＝20°，
（1）若射线OD平分∠AOB，求∠BOD的度数；
（2）射线OM以30°每秒的速度从射线OA开始顺时针运动，∠POQ开始时与∠BOC重合，其中OP与OB重合，以10°每秒的速度逆时针运动．
①当运动时间为多长时，射线OM和∠POQ的角平分线重合？
②试探究是否存在运动到某一时刻，∠MOP∠MOQ？若存在，求出所有符合条件的∠AOM的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝20°，点A、O、C在同一条直线上，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝180°﹣20°＝160°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠BODAOB＝80°；
（2）①如图，
由题意得，∠AOM＝30t，∠POB＝10t，∠POQ＝20°，
∵射线OM和∠POQ的角平分线重合，
∴∠MOPPOQ＝10°，
∴∠AOP＝30t﹣10°，
∵∠AOP+∠POB+∠BOC＝180°，
∴30t﹣10°+10t+20°＝180°，
解得t，
答：当运动时间为秒时，射线OM和∠POQ的角平分线重合；
②当OM在∠POQ内部时，
∵∠MOP∠MOQ，
∴∠MOPPOQ，
∵∠MOP＝∠AOM﹣∠AOP＝30t﹣（160°﹣10t）﹣30t＝40t﹣160°，
∴40t﹣160°20°，
解得t，
此时∠AOM＝30t＝125°；
当OM在∠POQ外部时，
∵∠MOP∠MOQ，
∴∠MOP＝∠POQ，
∵∠MOP＝∠AOP﹣∠AOM＝（160°﹣10t）﹣30t＝20°，
∴160°﹣40t＝20°，
解得t，
此时，∠AOM＝30t＝105°；
综上，当t或时，∠MOP∠MOQ，此时∠AOM＝125°或105°．
17．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．
（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；
（2）①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB∠AOD＝60°α＝45°，
∴α＝30°；
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON＝ 35 °．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵∠BOC＝110°
∴∠MOB＝55°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；
故答案为：35；
（2）∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝70°，
当直线NO恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，
∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，10t＝55，t＝5.5．
当ON平分∠AOC时，∠AON＝35°，
∴∠AOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，
由题意得，10t＝235，t＝23.5．
综上所述，t＝5.5或t＝23.5．
一．填空题（共13小题）
1．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 ．
2．已知∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为 ．
3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数是 ．
4．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．
5．在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB分成∠AOE、∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，∠DOE＝90°，则∠COD＝ ．（用含有α的代数式表示）
6．在同一平面内，∠AOC＝∠BOD＝50°，射线OB在∠AOC的内部，且∠AOB＝20°，OE平分∠AOD，则∠COE的度数是 ．
7．OC是∠AOB的平分线，从点O引出一条射线OD、使∠BOD∠COD，若∠BOD＝15°，则∠AOB＝ °．
8．已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．
9．已知∠AOB＝70°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是 ．
10．已知∠AOB＝110°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），则∠COD的度数为 ．
11．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 ．
12．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
13．如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 ．
二．解答题（共2小题）
14．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
15．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
16．已知点A，O，C在同一条直线上，射线OB在AC上方，且∠BOC＝20°，
（1）若射线OD平分∠AOB，求∠BOD的度数；
（2）射线OM以30°每秒的速度从射线OA开始顺时针运动，∠POQ开始时与∠BOC重合，其中OP与OB重合，以10°每秒的速度逆时针运动．
①当运动时间为多长时，射线OM和∠POQ的角平分线重合？
②试探究是否存在运动到某一时刻，∠MOP∠MOQ？若存在，求出所有符合条件的∠AOM的度数；若不存在，请说明理由．
17．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．
（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON＝ °．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
角的计算 分类讨论（解析）
一．填空题（共13小题）
1．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 45°或25° ．
【解答】解：分为两种情况：如图①，当∠AOB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD，
∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝35°﹣10°＝25°；
如图②，当∠AOB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+10°＝45°，
故答案为：25°或45°．
2．已知∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为 90°或30° ．
【解答】解：如图①，∠BOC在∠AOC的内部，
∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣30°＝30°；
如图②，①，∠BOC在∠AOC的外部，
∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+30°＝90°；
故答案为：30°或90°．
3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数是 30°或50° ．
【解答】解：①如图，当OB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD∠AOB＝10°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE∠AOC＝40°．
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°；
②如图，当OB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD∠AOB＝10°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE∠AOC＝40°．
∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝30°；
综上，∠DOE的度数是30°或50°．
故答案为：30°或50°．
4．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 5°或55° ．
【解答】解：如图1，OD在∠AOB内，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝60°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝30°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝5°；
如图2，OD在∠AOB外，
∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝60°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝30°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+25°＝55°．
则∠EOF的度数是5°或55°．
故答案为：5°或55°．
5．在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB分成∠AOE、∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，∠DOE＝90°，则∠COD＝ 或180° ．（用含有α的代数式表示）
【解答】解：①当射线OD，OE在直线AB的同侧时，如图所示：
∵OC为∠AOE的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，
∴∠AOE＝180°﹣α，
∴∠1＝∠2（180°﹣α）＝90°α，
∴∠COD＝∠DOE+∠1＝90°+90°180°；
②当射线OD、OE在直线AB的异侧时，如图所示：
∵OC为∠AOE的平分线，
∴∠l＝∠2，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，
∴∠AOE＝180°﹣α，
∴∠1＝∠2（180°﹣α）＝90°α，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠1＝90°﹣（90°）．
综上所述，∠COD或180°．
故答案为：或180°．
6．在同一平面内，∠AOC＝∠BOD＝50°，射线OB在∠AOC的内部，且∠AOB＝20°，OE平分∠AOD，则∠COE的度数是 15°或65° ．
【解答】解：①当OD在OC的左侧时，如图，
∵∠AOC＝∠BOD＝50°，∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝70°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝20°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE∠AOD＝35°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝15°；
②当OD在OA的下方时，如图，
∵∠AOC＝∠BOD＝50°，∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE∠AOD＝15°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝65°．
综上所述，∠COE的度数为15°或65°．
故答案为：15°或65°．
7．OC是∠AOB的平分线，从点O引出一条射线OD、使∠BOD∠COD，若∠BOD＝15°，则∠AOB＝ 120°或60 °．
【解答】解：①当射线OD在∠AOB的内部时，如图1，
∵∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，
∴∠COD＝3∠BOD＝45°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝15°+45°＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝120°；
②当射线OD在∠AOB的外部时，如图2，
∵∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，
∴∠COD＝3∠BOD＝45°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝45°+15°＝30°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝60°；
综上，∠AOB＝120°或60°．
故答案为：120°或60．
8．已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 10°或60° ．
【解答】解：如图1，OD在∠AOB内，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝35°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝10°；
如图2，OD在∠AOB外，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝70°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝35°，
∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，
∴∠FOC＝25°，
∴∠EOF＝60°．
则∠EOF的度数是10°或60°．
故答案为：10°或60°．
9．已知∠AOB＝70°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是 10°或14°或30°或42° ．
【解答】解：设∠BOC＝α，
∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，
依据题意，分两种情况：
①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：
i）若射线OD在∠AOC内部，如图1，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝2α，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，
∴α＝14°，
∴∠BOC＝14°；
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图2，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD∠CODα，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3ααα＝70°，
∴α＝30°，
∴∠BOC＝30°；
②当射线OC在∠AOB外部时，
依据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能：
i）若射线DO在∠AOB内部，如图3，
则∠COD＝∠BOC+∠BOD＝4α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝4α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝3α+4α＝7α＝70°，
∴α＝10°，
∴∠BOC＝10°
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图4，
则∠COD＝∠BOC+∠DOB＝4α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD∠CODα，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3ααα＝70°，
∴α＝42°，
∴∠BOC＝42°，
综上所述：∠BOC的度数分别是10°，14°，30°，42°．
故答案为：10°或14°或30°或42°
10．已知∠AOB＝110°，∠AOD∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），则∠COD的度数为 60°或或 ．
【解答】解：（1）如图1所示：
当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4∠BOC＝4α，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，
∵∠AOD∠AOC，
∴3α+∠AOD＝3∠AOD，
∴∠AODα，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BODα+4α＝110°，
∴α＝20°，
∴∠DOC＝60°
②如图2所示，若射线OD在∠AOC外部，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4α，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，
∵∠AOD∠AOC，
∴∠AOD∠CODα，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝4ααα＝110°，
∴α．
∴∠DOC；
（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜35°，∠AOD∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能；
①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，
∵∠COD＝∠BOC+∠BOD＝5α，
设∠AOD＝β，则∠AOC＝3β，
∴3β＝5α+β，
∴βα，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4ααα＝110°，
∴α，
∴∠DOC＝5α；
②若射线OD在∠AOB外部，如图4所示，
设∠BOC＝α，则∠BOD＝4α，
∵∠AOB＝110°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝4α﹣110°，
∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝α+110°，
∵∠AOD∠AOC，
∴3（4α﹣110°）＝α+110°
解得α＝40°＞35°，
此种情况不符合题意，
综上所述：∠COD的度数为：60°，，．
11．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 3或或 ．
【解答】解：当∠NPQ∠MPN时，
15t（75+5t），
解得t＝3；
当∠NPQ∠MPN时，
15t（75+5t），
解得t．
当∠NPQ∠MPN时，
15t（75+5t），
解得t．
故t的值为3或或．
故答案为：3或或．
12．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 5或23 ．
【解答】解：∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON∠AOC＝40°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，
∴t＝50°÷10°＝5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，
∴t＝230°÷10°＝23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
13．如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 2∠DOE＝∠AOC或∠AOC＝360°﹣2∠DOE ．
【解答】解：设∠COD＝α，∠BOE＝β，
如图1，当旋转角度小于180°时，
∵∠COD∠AOB，
∴∠AOB＝2α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠EOC＝β，
∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝β+α，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝2α+2β，
∴2∠DOE＝∠AOC；
如图2，当旋转角度大于180°时，
∵∠COD∠AOB，
∴∠AOB＝2α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠EOC＝β，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣3α﹣2β，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝360°﹣2α﹣2β，
∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β，
∴∠AOC＝360°﹣2∠DOE；
故答案为：2∠DOE＝∠AOC或∠AOC＝360°﹣2∠DOE．
二．解答题（共2小题）
14．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 是 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 20°或30°或40° 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，
当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，
当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，
故答案为：20°或30°或40°；
②依题意有，3°45′＝3.75°，
当3.75t＝6060时，
解得t＝24；
当3.75t＝2×60时，
解得t＝32；
当10t＝60+2×60时，
解得t＝48．
故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；
15．【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【解答】解：（1）①如图，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
②如图，∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB．
综上，∠AOC+∠BOC＝∠AOB或∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB；
（2）有，射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
如图，
理由：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°，
则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°，
因为∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOC＝∠BOD＝45°，
∴射线OB平分∠COD．
又∠BOD＝45°∠AOB，
∴射线OD平分∠AOB；
（3）①是．理由：
第（2）问中∠AOB＝90°，∠AOC＝135°，∠BOC＝45°，
则∠AOB＝2∠BOC，
所以OC是∠AOB的“优线”；
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AOB＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
16．已知点A，O，C在同一条直线上，射线OB在AC上方，且∠BOC＝20°，
（1）若射线OD平分∠AOB，求∠BOD的度数；
（2）射线OM以30°每秒的速度从射线OA开始顺时针运动，∠POQ开始时与∠BOC重合，其中OP与OB重合，以10°每秒的速度逆时针运动．
①当运动时间为多长时，射线OM和∠POQ的角平分线重合？
②试探究是否存在运动到某一时刻，∠MOP∠MOQ？若存在，求出所有符合条件的∠AOM的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝20°，点A、O、C在同一条直线上，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝180°﹣20°＝160°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠BODAOB＝80°；
（2）①如图，
由题意得，∠AOM＝30t，∠POB＝10t，∠POQ＝20°，
∵射线OM和∠POQ的角平分线重合，
∴∠MOPPOQ＝10°，
∴∠AOP＝30t﹣10°，
∵∠AOP+∠POB+∠BOC＝180°，
∴30t﹣10°+10t+20°＝180°，
解得t，
答：当运动时间为秒时，射线OM和∠POQ的角平分线重合；
②当OM在∠POQ内部时，
∵∠MOP∠MOQ，
∴∠MOPPOQ，
∵∠MOP＝∠AOM﹣∠AOP＝30t﹣（160°﹣10t）﹣30t＝40t﹣160°，
∴40t﹣160°20°，
解得t，
此时∠AOM＝30t＝125°；
当OM在∠POQ外部时，
∵∠MOP∠MOQ，
∴∠MOP＝∠POQ，
∵∠MOP＝∠AOP﹣∠AOM＝（160°﹣10t）﹣30t＝20°，
∴160°﹣40t＝20°，
解得t，
此时，∠AOM＝30t＝105°；
综上，当t或时，∠MOP∠MOQ，此时∠AOM＝125°或105°．
17．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．
（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；
（2）①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB∠AOD＝60°α＝45°，
∴α＝30°；
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON＝ 35 °．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵∠BOC＝110°
∴∠MOB＝55°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；
故答案为：35；
（2）∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝70°，
当直线NO恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，
∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，10t＝55，t＝5.5．
当ON平分∠AOC时，∠AON＝35°，
∴∠AOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，
由题意得，10t＝235，t＝23.5．
综上所述，t＝5.5或t＝23.5．