2023届高三数学一轮复习：点、直线与圆锥曲线的位置关系 教案

点、直线与圆锥曲线的位置关系高三复习
教学设计
　
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．
(二)能力训练点
通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．
二、教材分析
1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)
2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)
3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．
(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)
三、教学过程
(一)问题提出
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．
2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？
引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．
(二)讲授新课
1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系
的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
(由教师引导学生完成，填好小黑板)
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．
2．直线L∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
3．例题应用
例题1:参数取值范围
已知抛物线在点处的切线斜率为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围．
【解析】（1）点，则切线方程为：，由消去y并整理得：，依题意，，解得，
所以抛物线C的方程是.
（2）设抛物线C上关于l对称的两点为，则设直线AB方程为：，
由消去y并整理得：，则有，解得，
，，显然线段的中点在直线l上，
于是得，即有，而，因此，，解得，
所以实数m的取值范围是.
例题2：离心率问题
如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为___________.
【答案】
【解析】如图，连接，，则，，和，，都三点共线，
设，则.
由，
所以
所以，
又，所以，即，
，即，
又，
因此，即，
在中，即.
故.
故答案为：
例题3：最值问题
已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．
【解析】设，则的中点为，所以，整理得，
即动点的轨迹为抛物线，焦点为，
由直线过抛物线的焦点，则，
其中的证明过程如下：
当不垂直于轴时，可设直线的方程为，，，显然．
由得:，∴，．
当轴时，直线方程为，则，，∴，同上也有．
由抛物线的定义知：，，又，所以，且．
所以
圆圆心为，半径1，
，
当且仅当，即，时取等号；最小值为23，故为：．
例题4：存在性问题
在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．
（1）求的轨迹的方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，
则动点到点的距离与到直线的距离相等，
故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为 ，
则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；
（2）由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，
由 ，消去y得： ，
，
设 ，则，
故 ，同理可求得，
所以直线AB的斜率，
故直线AB方程为：
，
故直线AB过定点 ，设该点为,
又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，
由于 , ,
故以EF为直径的圆的方程为，
故存在定点，使得线段的长度为定值2.
课堂思考：
例题1-4是在圆锥曲线问题中寻找直线方程位置关系，反之，已知直线位置关系，如何求圆锥曲线问题？
已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为______．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角，
根据焦点弦长公式可得，，
所以，
因为，所以当时取得最小值，
所以，所以，所以抛物线方程为，故答案为：
四、布置作业
1.已知，则下述正确的是　　
A．圆的半径 B．点，在圆的内部
C．直线与圆相切 D．圆与圆相交
答案：ACD
2已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为0
C. 的最大值为 D. 的最大值为
答案：ABD
3．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为________．
【答案】
五、板书设计
六、附录：选择练习题组
1.
已知圆，圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长．
【答案】（1）；（2）．
2.
斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知点在抛物线C上，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N（M，N不同于点P）两点，且的平分线与y轴垂直，求证：MN的斜率为定值.
【答案】（1）
3.
设椭圆过点，两点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E标准方程；
（2）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，圆的方程为，
4.
已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P().
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点 并说明理由.
解:(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(),所以=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为=1.
(2)由题意,E点坐标为(x0,0).设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).
再由AD⊥AE知,·=0,即xDx0+8=0.
由于x0y0≠0,故xD=-.
因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G.
故直线QG的斜率kQG=.
又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以
+2=8.①
从而kQG=-.
故直线QG的方程为y=-.②
将②代入椭圆C方程,得
(+2)x2-16x0x+64-16=0.③
再将①代入③,化简得
x2-2x0x+=0.
解得x=x0,y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.