周期性与对称性（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
周期性与对称性
【知识点讲解】
1、周期性
(1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x)是周期函数,其中的一个周期T 2a
(2)如果 f (x
1
a) ( a 0 ),那么 f (x)是周期函数,其中的一个周期T 2a .
f (x)
1
(3)如果 f (x a) (a 0 ),那么 f (x)是周期函数,其中的一个周期T 2a .
f (x)
(4)如果 f (x a) f (x) c ( a 0 ),那么 f (x)是周期函数,其中的一个周期T 2a .
(5)如果 f (x a) f (x b) ( a 0,b 0 ),那么 f (x)是周期函数,其中的一个周期T | a b |.
(6)如果 f (x) f (x a) f (x a) (a 0 ),那么 f (x)是周期函数,其中的一个周期T 6a .
2、对称性（包括奇偶性）
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，
则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称；
(2)若函数 y＝f(x＋a)是奇函数，即 f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0 恒成立，
则函数 y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；
（3）若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的 2倍，为
相邻对称中心距离的 2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的 4倍．
a＋b
（4）若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 对称.
2
a＋b
，0
（5）若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于点 2 对称.
a＋b c
，
（6）若函数 f(x)满足 f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数 f(x)的图象关于点 2 2 对称.
（7）指数函数（易忽略点）
f (x) n x (a 0且a 1,mn 0)
n
的对称中心为 (log m , ) .（还可以在数列求和中出现）
a m a 2m
3、解题导语
做此类问题要注意记住上面一些结论并善于利用。最后提醒：指数函数型的对称性是教学
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination three-round sprint
周期性与对称性（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
中的遗漏点，但是它的用处还是挺多的。比如：在函数的性质中求和，还有在数列求和的倒序
相加法中常用。
【例题详析】
4x 1
例 1．设 f (x) ， f f
2 f 3 f 10
4x 2 11 11 11 11
A．4 B．5 C．6 D．10
例 2．已知 f x 是 R的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，若 f 1 2，则 f 1 f 2 f 3 f 2019
A． 50 B．2 C．0 D．50
【跟踪训练】
一、单选题
1 x
2
．已知函数 f x ，则 f 1 f 2 f 3 f 4
1 1 1
f f
1 x2 2
f
3 4
（ ）
7
A．3 B．4 C． D 9．
2 2
2．设函数 f x 2 2x 1，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前
n项和的方法，求得
f 5 f 4 f 0 f 4 f 5 的值为（ ）
11
A．9 B 9．11 C． D．
2 2
3 f x cos x ln x f 2 ．已知函数 ，若 f
2018
f
x 2019 2019
2019
1009 a b ln （a 0,b 0) 1 1，则 的最小值为
a b
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
1
4．已知函数 f (x) e x 1 e1 x sin x ，实数 a，b满足不等式 f 3a b f a 1 0，则下列不等
2
式成立的是（ ）
A． 4a b 3 B．4a b 3
C．2a b 1 D．2a b 1
5．已知函数 f (x)(x R)满足 f ( x) 2 f (x)
x 1
，若函数 y 与 y f (x)图像的交点为
x
m
(x1, y1), (x2 , y2 ), , (xm , ym ),则 (xi yi )
i 1
A．0 B．m C． 2m D．4m
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周期性与对称性（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
1
6．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 3 f x ，且 y f x 3 为偶函数，若 f x 在 0,3 内
单调递减，则下面结论正确的是
A． f 4.5 ＜f 3.5 ＜f 12.5 B． f 3.5 ＜f 4.5 ＜f 12.5
C． f 12.5 ＜f 3.5 ＜f 4.5 D． f 3.5 ＜f 12.5 ＜f 4.5
7．已知定义在R上的奇函数 f (x)满足 f (x 2) f (x)，当 x 0,1 时， f (x) 2 x 1，则（ ）
A． f (6) f ( 7)
11 11
f ( ) B． f (6) f ( ) f ( 7)
2 2
f ( 7) f (11C． ) f (6) f (
11
D． ) f ( 7) f (6)
2 2
3
8．已知定义在 R上的函数 f x 是奇函数且满足 f ( x) f (x)， f ( 2) 3，数列{an}是等差数2
列，若 a2 3，a7 13，则 f (a1) f (a2 ) f (a3 ) f (a2015 ) （ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．3
9．已知 f x 是定义域为R的函数，满足 f x f x 4 ， f x 2 f 2 x ，当0 x 2时，
f x x 2 x，则下列说法错误的是（ ）
A．函数 f x 是偶函数 B．函数 f x 的最小正周期为4
1
C．当0 x 4时，函数 f x 的最小值为 D．方程 f x log2 3 x 有10个根
10．已知 F x f x
1
2 1 n 1 是 R上的奇函数，a f 0 f f f 1 ，n N 2 n n n 则数列
an 的通项公式为（ ）
A． an n B．an 2 n 1 C． a 2n n 1 D． an n 2n 3
y f (x 1) 2 g(x) 2x 111．已知函数 是奇函数， ，且 f (x)与 g(x)的图像的交点为 (x1, y1)，(x2 , y2 )，x 1
L ， (x6 , y6 )，则 x1 x2 x6 y1 y2 y6 （ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
12．已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且 f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若 y g(x)的图像
22
关于直线 x 2对称， g(2) 4，则 f (k) （ ）
k 1
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
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周期性与对称性（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
13．已知函数 g x ，h x 分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且 g x h x ex sin x x，若
函数 f x 3 x 2020 g x 2020 2 2有唯一零点，则实数 的值为（ ）
A 1
1
． 1或 B．1 或 2 C． 12 或 2 D． 2或 1
二、多选题
14．已知定义在 R上的函数 y f x 满足条件 f x 2 f x ，且函数 y f x 1 为奇函数，则
（ ）
A．函数 y f x 是周期函数 B．函数 y f x 的图象关于点 1,0 对称
C．函数 y f x 为 R上的偶函数 D．函数 y f x 为 R上的单调函数
15．已知函数 y f x 1 的图象关于直线 x 1对称，且对 x R 有 f x f x 4 .当 x 0,2 时，
f x x 2 .则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的周期T 8 B． f x 的最大值为 4
C． f 2021 2 D． f x 2 为偶函数
16．设函数 y f (x)的定义域为R，且满足 f (x) f (2 x)， f ( x) f (x 2)，当 x ( 1,1]时，
f (x) x2 1，则下列说法正确的是（ ）
A． f (2022) 1 B．当 x 4,6 时， f (x)的取值范围为 1,0
C． y f (x 3)为奇函数 D．方程 f (x) lg(x 1)仅有 5个不同实数解
三、填空题
x 1 1 x 1
17．若函数 f (x) x3 3x2 e e ，则 f ( ) f (
2 ) f ( 4038) f ( 4039 ) ______
2 2020 2020
．
2020 2020
x
18．若偶函数 f x 满足 f x 1 ＝f x 1 ，在 x [0，1]时， f x ＝x2，则关于 x的方程 f x 1 ＝
10
在[0，4]上根的个数是___．
19． f x 2x ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
2x 1
f 1 2 2020 2021
f f 2021 2021 ______．
4x20．设 f (x) f
1 f 2 f 3 2016 f
4x
，则
2 2017
2017 2017 2017
__________．
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【知识点讲解】
1、周期性
(1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期
(2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
2、对称性（包括奇偶性）
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，
则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，
则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；
（3）若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．
（4）若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
（5）若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
（6）若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
（7）指数函数（易忽略点）
的对称中心为.（还可以在数列求和中出现）
3、解题导语
做此类问题要注意记住上面一些结论并善于利用。最后提醒：指数函数型的对称性是教学中的遗漏点，但是它的用处还是挺多的。比如：在函数的性质中求和，还有在数列求和的倒序相加法中常用。
【例题详析】
例1．设，
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【详解】由于，故原式.
例2．已知是的奇函数，满足，若，则
A． B．2 C．0 D．50
【答案】C
【详解】因为，用代替上式中的，得到
而是的奇函数，所以有
用代替上式中的，得，所以，
可得的周期为.因为，
所以时，由得
时，由得
故，，
，所以
【跟踪训练】
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若 ，则的最小值为
A． B． C． D．
4．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
6．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
9．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期为
C．当时，函数的最小值为 D．方程有个根
10．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
12．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
二、多选题
14．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数
15．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期 B．的最大值为4
C． D．为偶函数
16．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解
三、填空题
17．若函数，则______．
18．若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．
19．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
20．设，则__________．
【参考答案】
1．C【详解】因为，所以，所以，
记，
则，
所以，
故.
2．B
【详解】
，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
3．A
【详解】
由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
4．A
【详解】
解：∵，
∴，
∴函数关于对称，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，则是增函数，
∵，
∴，
∴，得，
故选：A.
5．B
【详解】由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.
6．B
【详解】∵函数满足，∴=，
∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），
又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），
又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，
且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）
故选B．
7．B
【详解】解：，
，
函数是周期为的周期函数，
又当时，，
所以，，，
，
故选：B．
8．B
【详解】因为函数是奇函数且满足，可得，
则，即，所以为周期为3的函数，
又因为数列是等差数列，且，，
可得，解得，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
9．C
【详解】
因为是定义域为R的函数，
由，则，
又，
所以，即，
所以，所以函数是偶函数，故A正确；
由，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；
当时，，
函数的最小值为，
由，所以为对称轴，
所以当时，函数的最小值为，故C不正确；
作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，
又与为偶函数，
由对称性可知方程有10个根，故D正确.
10．B
【详解】由题已知是上的奇函数，故，
代入得：
∴函数关于点对称，令，则，得到．
∵，
倒序相加可得，即 ，
故选B．
11．D
【详解】
，由此的图像关于点中心对称，是奇函数，由此，所以关于点中心对称，，，所以
，故选D
12．D
【详解】因为的图像关于直线对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
13．A
【详解】解：已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：，
由于关于对称，
则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，
则关于对称，
由于有唯一零点，
则必有，，
即：，
解得：或.
14．ABC
【详解】
因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；
因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.
15．ABD
【详解】解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，
函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，
，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，
当时，，
又函数的图象关于直线对称，
在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：ABD.
16．BCD
【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，
又，即，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
对于A，，A不正确；
对于B，当时，，有，则，
当时，，，有，
，当时，的取值范围为，B正确；
对于C，，函数为奇函数，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：
方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.
故选：BCD
17．
【详解】
因为，
所以，
因此；
记，
则
，
因此.
故答案为：
18．4
【详解】
解：满足，故可得，所以函数是以2为周期的周期函数，且是偶函数
根据，得该函数在[0，4]上的图象为：
再在同一坐标系中做出函数的图象，当时，，当时，，而当时，
如图，当时，两函数图象有四个交点．
所以方程在[0，4]上有4个根．
故答案为：4．
19．2020
【详解】
解：由题意可知，
令S=
则S=
两式相加得，
．
故填：
20．1008
【详解】
∵函数，∴，∴，故答案为1008周期性与对称性
【知识点讲解】
1、周期性
(1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期
(2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
(6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.
2、对称性（包括奇偶性）
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，
则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，
则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；
（3）若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．
（4）若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
（5）若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
（6）若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
（7）指数函数（易忽略点）
的对称中心为.（还可以在数列求和中出现）
3、解题导语
做此类问题要注意记住上面一些结论并善于利用。最后提醒：指数函数型的对称性是教学中的遗漏点，但是它的用处还是挺多的。比如：在函数的性质中求和，还有在数列求和的倒序相加法中常用。
【例题详析】
例1．设，
A．4 B．5 C．6 D．10
例2．已知是的奇函数，满足，若，则
A． B．2 C．0 D．50
【跟踪训练】
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若 ，则的最小值为
A． B． C． D．
4．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
6．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
9．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期为
C．当时，函数的最小值为 D．方程有个根
10．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
12．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
二、多选题
14．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数
15．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期 B．的最大值为4
C． D．为偶函数
16．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解
三、填空题
17．若函数，则______．
18．若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．
19．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
20．设，则__________．
