角平分线定理与中线定理
【知识点讲解】
1、中线长定理
中, 是边上的中线，则.
2（AD2+BD2）=AB2+AC2
中线的向量计算
=+
再由两边平法可得：
AD2=(AB2+AC2+ABAC)
通过此公式的计算亦可得到中线长
3、内角平分线定理
AD为△ABC中∠BAC的平分线，则.
4、角平分线长的计算
由等面积法可知：S△ABC=S△ABD+S△ACD（设角ABD=角ACD=）
即：ABAC=ABAD+ADAC
5、解题导语
利用中线长、角平分线长有时是解三角形题目的突破口，但由于高中课程中涉及少，而容易造成遗漏。通过本课时学习，要掌握中线、角平分线的灵活运用。
【例题详析】
【例1】在中，已知边上的中线，求的值．
【答案】
【详解】设为的中点，连接，则，且
．
设，在中利用余弦定理，得，
即．
解方程，得（舍去）．．
．
又，由．解方程得．
【跟踪训练1】在中，边上的中线长为3，且，
，则边长为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
,由
中，由余弦定理的
【例2】在中，，，的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图，
由正弦定理可得，，
∵，，，
∴，得，
∴，，
∴，∴，
∴由正弦定理得，
【跟踪训练2】已知是的角平分线，且，求的长.
【答案】
【详解】
解：在中，由余弦定理得
，
（负值舍去），
.
由角平分线的性质可得，
，
，
（负值舍去）.
【对点训练】
一、填空题
1．在中，已知，，，则边上的中线长为________．
【答案】
【详解】
由条件知：,
设中线长为,由余弦定理知：
所以.所以边上的中线长为.
故答案为:.
2．已知在中，的角平分线交线段于，则___________.
【答案】或
【详解】
由余弦定理得，
所以，所以，
由于，
在直角三角形中，.
3．在中，，，，则的角平分线的长为______．
【答案】
【详解】因为,且,
所以,由已知得,
因为是的平分线,所以,
即,
所以,解得,
在中，由余弦定理得
所以
4．在中, 的角平分线,则的长为 ．
【答案】
【详解】设,在中运用余弦定理得,解之得,再运用正弦定理得,即,所以,即,由此可推得,则有.
在中运用余弦定理得.
5．在中，的角平分线长为，则________．
【答案】
【详解】如图所示：
因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以
6． 中, 于,则边上中线的长等于 ．
【答案】
【详解】如图,由题意设,则,即.在中,由余弦定理得,将代入并化简可得 ,解之得,所以,再在中运用余弦定理可得,所以.
7．在中，已知，，，则边上的中线长为___________.
【答案】
【详解】在中，设BD的中点为D，则AD为BC边上的中线长
中，由余弦定理得：
∴中，由余弦定理得：
∴.
8．在中，，，，则边上中线长度为______.
【答案】.
【详解】
在中，设BD的中点为D，则AD为BC边上的中线，，
中，由余弦定理得：，
∴中，由余弦定理得：，
∴.
9． 中, 边上的中线等于,且,则________．
【答案】
【详解】设中点为，，因为 边上的中线等于，所以，由余弦定理知及诱导公式得，，解得，，故答案为．
10．在中，，边上的中线长为____________.
【答案】
【详解】如图取中点，连接，且，
由余弦定理得，
，
所以. 故答案为：.
11．中，，，，则边上的中线长_______.
【答案】1
【详解】
设，，，
由余弦定理得：，
所以，或（舍去），
在中，，
由余弦定理得：，
所以.
故答案为：.
12．在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是________
【答案】
【详解】设的平分线与交于，设
由角平分线性质定理可得：
又，，，
，解得：，即
直线方程为：，整理为：
13．在中，已知，角平分线与中线交于点.则______.
【答案】
【详解】
如图4，作，与的延长线交于点.
则，即
.
又为的平分线，故
.
因此，.
14．已知，，，则角平分线的长为________．
【答案】
【详解】解：由题可知，，，，
则，
，
，
即在中，，
由于，所以是直角三角形， ，
在中，， ，
由于是的角平分线，
所以，
在中，，
在中，由正弦定理得：，
则，解得：.
故答案为：.
15．已知为△的角平分线，，则______.
【答案】或
【详解】在△中，，即，
由正弦定理得：，由为△的角平分线知：,
在△中，由正弦定理得，
所以
16．在中，，，的角平分线，则________.
【答案】
【详解】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以．
17．在中，，，，则的角平分线，则______．
【答案】
【详解】
中，，，
由正弦定理可得：
，
为的角平分线
，
在中，由正弦定理可得：
18．已知△，，，是边上的中线，且，则的长为__________．
【答案】
【详解】
取AB中点E，因为D为BC中点，所以,
由余弦定理得，
即
19．在中，，，则中线的取值范围是______．
【答案】
【详解】由正弦定理得，则点是以，为焦点的椭圆上的一点，
不妨以，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，则椭圆方程为，
由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点距离最大为长轴的一半，最小为短轴的一半，
则可知中线长的取值范围为．
20．在△中，已知，边上的中线，则的值为_______．
【答案】
【详解】如图，为中点，设，，，，
根据余弦定理
，
，
又 ，
所以 ①，
根据题意， ，
②，
所以联立①②解得 ， ，
由 得 ，
又根据正弦定理： ，
所以 ．
21．已知中，且边上中线，则___________．
【答案】
【详解】
，，可得，，，即的值为，故答案为.
二、双空题
22．在中，，的角平分线交于点，若，，则，_______，_______．
【答案】
【详解】
在中，由余弦定理，
，
所以；
所以为等腰三角形，，，
在中，，
由正弦定理，，
即，解得.
故答案为：；
23．已知AD是的角平分线，，，，则_________，________.
【答案】 或
【详解】
解：因为，
所以，
因为AD是的角平分线，所以，
则，
则，
所以，
所以，
又，即，
解得.
故答案为：；.
24．已知中，，则______．若的中点为，则中线 ______．
【答案】
【详解】
因为，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得：，
所以，
由余弦定理得：
所以，
所以.
在中，由余弦定理得：
，
所以.
故答案为：①；②
25．在中，AD为BC上的中线，，，，则________，________.
【答案】
【详解】
，，，
在中，由正弦定理可得：
.
.
在中，由余弦定理，
可得：，即：，
解得：，或（舍去），
，
由余弦定理可得：
，
故答案为：，.角平分线定理与中线定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
角平分线定理与中线定理
【知识点讲解】
1、中线长定理
ABC 中, AD是边 BC 上的中线，则 AD2 BD2 1 (AB2 AC 2 ) .
2
2（AD2+BD2）=AB2+AC2
2、中线的向量计算
=1 +1
2 2
再由两边平法可得：
AD2=1(AB2+AC2+AB ACcos∠ )
4
通过此公式的计算亦可得到中线长
3、内角平分线定理
AB BD
AD 为△ABC 中∠BAC 的平分线，则 .
AC DC
4、角平分线长的计算
由等面积法可知：S△ABC=S△ABD+S△ACD（设角 ABD=角 ACD=θ）
1
即： AB ACsin 2 =1AB ADsin +1AD ACsin
2 2 2
5、解题导语
利用中线长、角平分线长有时是解三角形题目的突破口，但由于高中课程中涉及少，而容
易造成遗漏。通过本课时学习，要掌握中线、角平分线的灵活运用。
【例题详析】
1 4 6【例 】在 ABC中，已知 AB ,cosB 6 ,AC 边上的中线 BD 5，求 sin A的值．
3 6
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination three-round sprint
角平分线定理与中线定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
【跟踪训练 1】在 ABC中， BC边上的中线 AD长为 3，且 cos B 10 ，
8
cos 1 ADC ，则 AC边长为
4
A． 4 B．16 C． 10 D． 6
【例 2】在 ABC中， B 120 ， AB 2，A的角平分线 AD 3，则 AC （ ）
A 6 B C 6 2． ． 2 ． D．
2 2
【跟踪训练 2】已知 AD是 ABC的角平分线，且 AC 2,AB 3,A 60 ，求 AD的长.
【对点训练】
一、填空题
1．在 ABC中，已知CB 7， AC 8， AB 9，则 AC边上的中线长为________．
2．已知在 ABC中， AB 2, AC 1, A
π
, A的角平分线交线段 BC于M ，则 AM ___________.
3
3．在 ABC中， AB 4， AC 3， BC 5，则 A的角平分线 AD的长为______．
2
4．在 ABC中, A , AB 2,B 的角平分线BD 3 ,则 BC的长为 ．3
5．在Rt ABC中， C 90 ,b 6, A的角平分线长为4 3，则a ________．
6． ABC 中, BAC 45 ,AD BC 于D,BD 2,DC 3 ,则 AC边上中线 BE的长等于 ．
7．在 ABC中，已知 AB 4， AC 7，BC 9，则 BC边上的中线长为___________.
8．在 ABC中， AB 9， BC 6，CA 7，则 BC边上中线长度为______.
1
9． ABC 中, BC 边上的中线等于 BC ,且 AB 3, AC 2 ,则BC ________3 ．
10．在 ABC中， a 6,b 7,c 8， AB边上的中线长为____________.
cos B 711． ABC中， AB 2， AC 6， ，则 BC边上的中线 AD长_______.8
12．在 ABC中，若 A 2,3 ，B 2,0 ，C 2,0 ，则 BAC的角平分线所在直线 l的方程是________
AP
13．在 ABC中，已知 AB 7, AC 5，角平分线 AD与中线 BM交于点 P .则 ______.PD
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角平分线定理与中线定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
14．已知 A(4,1)， B(7,5)，C( 4,7)，则 ABC角平分线 AD的长为________．
15．已知 AD为△ ABC的角平分线， AC 2, AB 3, A 60 ，则 AD ______.
16．在 ABC中，B 1200， AB 2，A的角平分线 AD 3，则 AC ________.
17．在 ABC中，B 120 ，AB 2 ，AC 6，则A的角平分线 AD，则AD ______．
18．已知△ ABC， AB 4 3， AC 2 3， AD是 BC边上的中线，且 BAD 30 ，则 AD的长为
__________．
19．在 ABC中，BC 2， sin B sinC 3sin A，则中线 AD的取值范围是______．
7
20．在△ ABC中，已知 BC 8,cosC ， AB边上的中线CD 34，则sin B的值为_______．8
21．已知 ABC中， AC 2,BC 1,且 AB边上中线CD 2，则 AB ___________．
二、双空题
22．在 ABC中，A
A
6 ， 的角平分线
BD交 BC于点D，若 AB 2，AC 6，则，BC _______，
AD _______．
23．已知 AD 3是 ABC的角平分线， cos BAC ， AB 5， AC 2，则BC _________，
4
AD ________.
24．已知 ABC 2 5中，B 45 ,AC 10,cosC ，则BC ______．若 AB的中点为D，则中线CD
5
______．
25．在 ABC中，AD为 BC上的中线， AB 1， AD 5， ABC 45 ，则 sin ADC ________，
AC ________.
第 3 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination three-round sprint角平分线定理与中线定理
【知识点讲解】
1、中线长定理
中, 是边上的中线，则.
2（AD2+BD2）=AB2+AC2
中线的向量计算
=+
再由两边平法可得：
AD2=(AB2+AC2+ABAC)
通过此公式的计算亦可得到中线长
3、内角平分线定理
AD为△ABC中∠BAC的平分线，则.
4、角平分线长的计算
由等面积法可知：S△ABC=S△ABD+S△ACD（设角ABD=角ACD=）
即：ABAC=ABAD+ADAC
5、解题导语
利用中线长、角平分线长有时是解三角形题目的突破口，但由于高中课程中涉及少，而容易造成遗漏。通过本课时学习，要掌握中线、角平分线的灵活运用。
【例题详析】
【例1】在中，已知边上的中线，求的值．
【跟踪训练1】在中，边上的中线长为3，且，
，则边长为
A． B． C． D．
【例2】在中，，，的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】已知是的角平分线，且，求的长.
【对点训练】
一、填空题
1．在中，已知，，，则边上的中线长为________．
2．已知在中，的角平分线交线段于，则___________.
3．在中，，，，则的角平分线的长为______．
4．在中, 的角平分线,则的长为 ．
5．在中，的角平分线长为，则________．
6． 中, 于,则边上中线的长等于 ．
7．在中，已知，，，则边上的中线长为___________.
8．在中，，，，则边上中线长度为______.
9． 中, 边上的中线等于,且,则________．
10．在中，，边上的中线长为____________.
11．中，，，，则边上的中线长_______.
12．在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是________
13．在中，已知，角平分线与中线交于点.则______.
14．已知，，，则角平分线的长为________．
15．已知为△的角平分线，，则______.
16．在中，，，的角平分线，则________.
17．在中，，，，则的角平分线，则______．
18．已知△，，，是边上的中线，且，则的长为__________．
19．在中，，，则中线的取值范围是______．
20．在△中，已知，边上的中线，则的值为_______．
21．已知中，且边上中线，则___________．
二、双空题
22．在中，，的角平分线交于点，若，，则，_______，_______．
23．已知AD是的角平分线，，，，则_________，________.
24．已知中，，则______．若的中点为，则中线 ______．
25．在中，AD为BC上的中线，，，，则________，________.
