正切恒等式与射影定理
【知识点讲解】
1、正切恒等式
斜三角形中，.
2、推导过程
，所以
3、射影定理
a＝b＋c； b＝a＋c； c＝b＋a．
由图可知：BC=BD+CD
又因为CD=b,BD=c
所以：a＝b＋c
4、正弦平方差公式（补充知识点）
sin2－sin2＝sin(－ sin(＋
5、推导过程
sin（A + B）× sin（A - B）
= （cosB + ）x （sinAcosB - cosAsinB）
= sin Acos B - cos Asin B
= sin A（1 - sin B） - sin B（1 - sin A）
= sin A - sin Asin B - sin B + sin Asin B
= sin A - sin B
6、解题导语
使用正切恒等式与射影定理只是能够简化过程，但是在考试中不能直接使用，需要推导。
但在一些小题中能够快速得答案，所以学习是有必要的。
【例题讲解】
【例1】已知分别为三个内角的对边，且，
则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【跟踪训练1】在中，，则角是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知△ABC中，tanB＋tanC＋＝tanB·tanC，则角A为( )
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（多选）已知为锐角三角形，且，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
【对点训练】
一、单选题
1．在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
2．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
4．已知在非直角三角形△ABC中，三个内角为A，B，C，下列陈述正确的是
A．sin（A＋B）＝sinC B．cos（A＋B）＝cosC
C．sin（2A＋2B）＝sin2C D．tanA·tanB·tanC＝tanA＋tanB＋tanC
5．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则sinA＞cosB
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
D．若acosA＝bcosB，则一定是等腰三角形
三、填空题
6．在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.
7．在锐角△ABC中，C＝，则tanA+tanB的最小值为_____
8．(1) 已知函数，若，则_____．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，a11－a4＝7，则S13＝________.
(3)若命题“ x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______．
(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，且sinA·cosA＝，则此三角形为_______．
9．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
四、解答题
10．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长.
①；②的面积为.
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量，.
(1)若，，求A；
(2)若，，为锐角，求的值.
12．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，过作的垂线与的延长线交于点，求的面积.
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下面三个条件中任选一个作为已知，并解答后面的问题：
①
②
③△ABC的面积
(1)求C；
(2)若D为AB中点，且，求a，b.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．在中，内角的对边分别是，且的面积是，再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.
(1)求角A；(2)求.
条件①，条件②
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
15．在中，角所对的边分别为．在①，②，③这三个条件中选择一个做条件．
(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
16．在中，角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；(2)若交于点，，，求边长.
17．在中，分别是角所对应的边，若，的面积为，且
(1)求角的大小(2)求的周长
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有三个条件①；②；③，请在这三个条件中任选一个，并加以解答．
(1)求A；
(2)若，且，求的面积．
19．在中，角的对边分别为，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求.
20．A，B，C为三角形ABC的内角，R为三角形ABC外接圆半径，r为△ABC内切圆半径.
（1）求证：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC(A，B，C)；
（2）求证： ．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．
(1)求A的大小；
(2)若a＝，请在如下的三个条件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面积为中选择一个作为已知，求△ABC的周长．正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
正切恒等式与射影定理
【知识点讲解】
1、正切恒等式
斜三角形 ABC中， tan A+ tanB+ tanC= tan A tanB tanC .
2、推导过程
tan A tan B C tan B tanC
1 tan B tanC ，所以 tan A tanB tanC tan AtanB tanC
3、射影定理
a＝bcos ＋ccos ； b＝acos ＋ccos ； c＝bcos ＋acos ．
由图可知：BC=BD+CD
又因为 CD=bcos C,BD=ccos B
所以：a＝bcos C＋ccos B
4、正弦平方差公式（补充知识点）
sin2 －sin2 ＝sin( － sin( ＋
5、推导过程
sin（A + B）× sin（A - B）
= （sinA cosB + cosA sinB）x （sinAcosB - cosAsinB）
= sin Acos B - cos Asin B
= sin A（1 - sin B） - sin B（1 - sin A）
= sin A - sin Asin B - sin B + sin Asin B
= sin A - sin B
6、解题导语
使用正切恒等式与射影定理只是能够简化过程，但是在考试中不能直接使用，需要推导。
但在一些小题中能够快速得答案，所以学习是有必要的。
【例题讲解】
【例 1】已知a，b，c分别为 ABC三个内角 A，B，C的对边，且b cosC a cosB a，
则 ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination three-round sprint
正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
【跟踪训练 1】在 ABC中， a bcosC csinB，则角 B是（ ）
A
B 2 ． 6 ． C． D4 3 ． 3
【例 2】已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3＝ 3 tanB·tanC，则角 A 为( )
A． B ． 6 C
2 5
3 ． 3
D． 6
【跟踪训练 2】（多选）已知 ABC为锐角三角形，且 sin A sin B sinC，
则下列结论中正确的是（ ）
A． tan B tanC tan B tanC B． tan A tan B tanC tan A tan B tanC
4
C．1 tan A D． tan A tan B tanC3 的最小值为 4
【对点训练】
一、单选题
1．在 ABC中，A，B，C分别为 ABC三边 a，b，c所对的角，若 cos B 3 sin B 2 ，且
cos B cosC 2sin Asin B
，则a c的最大值是（ ）
b c 3sinC
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
二、多选题
2．在 ABC中，内角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，则下列说法正确的是（ ）
A． c acosB bcos A
B．若a cos A bcosB，则 ABC为等腰或直角三角形
C．若 a2 tan B b2 tan A，则 a b
D．若a3 b3 c3，则 ABC为锐角三角形
3．在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若a cos A bcosB，则 ABC一定是等腰三角形
B．若 AB 2 2， B 45 ， AC 3，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若 ABC不是直角三角形，则 tan A tanB tanC tan AtanB tanC
D．若 AB BC 0，则 ABC为钝角三角形
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination three-round sprint
正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
4．已知在非直角三角形△ABC中，三个内角为 A，B，C，下列陈述正确的是
A．sin（A＋B）＝sinC B．cos（A＋B）＝cosC
C．sin（2A＋2B）＝sin2C D．tanA·tanB·tanC＝tanA＋tanB＋tanC
5．在 ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，下列与 ABC有关的结论，正确的是
（ ）
A．若 ABC为锐角三角形，则 sinA＞cosB
B．若 A＞B，则 sinA＞sinB
C．若 ABC为非直角三角形，则 tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
D．若 acosA＝bcosB，则 ABC一定是等腰三角形
三、填空题
6．在 ABC中，内角 A B C的对边分别为 a,b,c，若 2 cosC a cos B b cos A c 0，则角C的大小
为___________.
7．在锐角△ABC中，C＝ ，则 tanA+tanB的最小值为_____
4
8．(1) 已知函数 f x log 22 x a ，若 f 3 1，则a _____．
(2)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a2＝2，a11－a4＝7，则 S13＝________.
(3)若命题“ x∈R，使得 x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数 a 的取值范围是______．
(4)在△ABC 中，tanA＋tanB＋ 3＝ 3 tanA·tanB 3，且 sinA·cosA＝ ，则此三角形为_______．
4
9．在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是______.
四、解答题
10．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且2acosC bcosC ccosB .
(1)求角C的大小；
(2)设 c 2 3，从下面两个条件中选择一个，求 ABC的周长.
① sin A sin B 2 ；② ABC的面积为 3 .
2
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正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
11．在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设向量m a,c ，n cosC,cos A .
(1)若m∥n， c 3a，求 A；
4
(2)若m n 3bsin B， cos A ， B为锐角，求cosC的值.5
12．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c acosA
bcosC ccosB
，且 .2
(1)求角A的值；
(2)若 BC 7, AB 2，过C作 AC的垂线与 AB的延长线交于点D，求△BCD的面积.
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正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
13．已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，请从下面三个条件中任选一个作为
已知，并解答后面的问题：
a c a b
①
b a c
②2ccosC acosB bcos A
③ ABC的面积 S 1 sinC a2 2 2△ b c2
(1)求 C；
(2)若 D为 AB中点，且 c 2，CD 3，求 a，b.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，且b 6, ABC的面积是3 3，再从条件① 条
件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.
(1)求角 A；(2)求 a .
条件①asinC csin A 2ccosA acosB bcosA
3
，条件②
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
15．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c．在① b c a b c a bc，
② 2a cos A b cosC c cos B 0，③ cos B A C 2cos2 这三个条件中选择一个做条件．
2
(1)求角A的大小；(2)若 a 3，求 ABC面积的最大值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
16．在 ABC中，角A， B，C的对边分别为 a，b，c .已知 2ccosB 2bcosC ab 0 .
(1)求b；(2)若 AD AB交 BC于点D， ACB
， S6 ABC
3，求CD边长.
17．在 ABC中， a,b,c 3 3分别是角 A,B,C所对应的边，若c 7， ABC的面积为 ，且
2
c 2cosC(acosB bcos A)
(1)求角C的大小(2)求 ABC的周长
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正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
18．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，有三个条件① a cosC 3a sinC b c 0 ；
② (sin B sinC) 2 sin 2 A sin BsinC ；③2cos A(ccosB bcosC) a，请在这三个条件中任选一个，
并加以解答．
(1)求 A；
(2)若 a 3，且 c 2b，求 ABC的面积．
19．在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，a cosB bcos A 2c cosC .
(1)求角C的大小；
(2)若CA CB 4，a b 6，求 c .
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正切恒等式与射影定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考三轮冲刺
20．A，B，C为三角形 ABC的内角，R为三角形 ABC外接圆半径，r为△ABC内切圆半径.
（1）求证：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC π(A，B，C 2 )；
（2）求证： 2Rr
abc
．
a b c
21．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 tanA＋tanB＋tanC＝ 3 tanBtanC．
(1)求 A的大小；
(2) 2若 a＝ 3，请在如下的三个条件：①sinB-sinC＝ ；②b＋2c＝3 3；③△ABC的面积为
2
3 3
中选择一个作为已知，求△ABC的周长．
4
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【知识点讲解】
1、正切恒等式
斜三角形中，.
2、推导过程
，所以
3、射影定理
a＝b＋c； b＝a＋c； c＝b＋a．
由图可知：BC=BD+CD
又因为CD=b,BD=c
所以：a＝b＋c
4、正弦平方差公式（补充知识点）
sin2－sin2＝sin(－ sin(＋
5、推导过程
sin（A + B）× sin（A - B）
= （cosB + ）x （sinAcosB - cosAsinB）
= sin Acos B - cos Asin B
= sin A（1 - sin B） - sin B（1 - sin A）
= sin A - sin Asin B - sin B + sin Asin B
= sin A - sin B
6、解题导语
使用正切恒等式与射影定理只是能够简化过程，但是在考试中不能直接使用，需要推导。
但在一些小题中能够快速得答案，所以学习是有必要的。
【例题讲解】
【例1】已知分别为三个内角的对边，且，
则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【技巧点拨】由于a=b+c，所以c=a ，即a=c，或=0
【详解】由及正弦定理，得,
因为，所以,
所以,即，
当时，因为，所以，
当时，所以，即，
因为所以，
所以为等腰或直角三角形.
【跟踪训练1】在中，，则角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【技巧点拨】由a=b+c，得=，所以B=
【详解】
解：由，根据正弦定理得
即
化简得即
【例2】已知△ABC中，tanB＋tanC＋＝tanB·tanC，则角A为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【技巧点拨】由=,得=，即A=
【详解】
：△ABC中，∵tanB＋tanC＋＝tanB·tanC，， ，
∴ ．，
【跟踪训练2】（多选）已知为锐角三角形，且，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
【答案】ABC
【技巧点拨】B选项可以直接由正切恒等式得到，无需验证。
【详解】解：因为，
两边同除得，故A正确；
由均值不等式解得当且仅当时取等号，
，所以，故B正确；
，由，所以，所以得，故C正确；
，
由且在上单调递增，所以的最小值为，故D错误．
【对点训练】
一、单选题
1．在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】
得，又，所以.
在中，由正弦定理得：
所以，所以.
故当，即时，取得最大值
二、多选题
2．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
【答案】ABD
【详解】解：由余弦定理，A正确；
，由正弦定理得，，是三角形内角，所以或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B正确；
由得，，同上得或，C错；
若，所以，因此，
所以，即，，，所以为锐角，显然边最大，角最大，所以为锐角三角形，D正确．
3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
【答案】BC
【详解】
A：由正弦边角关系有，则，则中或，错误；
B：由，则，可得，故，满足条件的三角形有一个，正确；
C：由不是直角三角形且 ，则 ，所以，正确；
D：，即，故不一定为钝角三角形，错误；
4．已知在非直角三角形△ABC中，三个内角为A，B，C，下列陈述正确的是
A．sin（A＋B）＝sinC B．cos（A＋B）＝cosC
C．sin（2A＋2B）＝sin2C D．tanA·tanB·tanC＝tanA＋tanB＋tanC
【答案】AD
【详解】由题意知，在非直角三角形中，，
A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：由得，
所以，故D正确.
5．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则sinA＞cosB
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
D．若acosA＝bcosB，则一定是等腰三角形
【答案】ABC
【详解】对于A，锐角中，，而在上单调递增，
则，即，A正确；
对于B，在中，由正弦定理得：，B正确；
对于C，非直角三角形中，，
，即，C正确；
对于D，在中，由正弦定理及得：，即，
而，且，因此，或，即或，
是等腰三角形或直角三角形，D不正确.
三、填空题
6．在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.
【答案】 或
【详解】
由正弦定理有：
7．在锐角△ABC中，C＝，则tanA+tanB的最小值为_____
【答案】
【详解】∵△ABC为锐角三角形，∴tanA＞0，tanB＞0，且，所以 tanC＝﹣tan（A+B）＝ ＝1，
∴tanA+tanB＝﹣1+tanAtanB，∵tanAtanB≤ （tanA=tanB取等号），∴tanA+tanB≤﹣1+，
求得tanA+tanB≥，或tanA+tanB≤（舍去），
8．(1) 已知函数，若，则_____．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，a11－a4＝7，则S13＝________.
(3)若命题“ x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______．
(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，且sinA·cosA＝，则此三角形为_______．
【答案】 -7 91 a>3或a<-1 等边三角形
【详解】（1）函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，
可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为﹣7．
（2）由题意a2+a11－a4＝2+7，
即a4+a9-a4=9，所以a9=9，
所以,所以a7=a9-2d=7，
.
故答案为91.
（3）∵“ x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0
∴x2+（a﹣1）x+1＝0有两个不等实根
∴△＝（a﹣1）2﹣4＞0
∴a＜﹣1或a＞3
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
（4）∵tanA+tanBtanA tanB，即tanA+tanB（1﹣tanAtanB），
∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，
∴A+B＝120°，即C＝60°，
∵sinAcosA，
∴tanA，∴A＝60°，
则△ABC为等边三角形．故答案为等边三角形
9．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
【答案】8.
【详解】
，又，因此
即最小值为8.
四、解答题
10．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长.
①；②的面积为.
【答案】(1)(2)选条件①，选条件②
【解析】
（1）由可得,即，由于,故，而，故；
（2）选①，，，所以 ，，故 ，故的周长为.选②的面积为，则,则，，故 ，故的周长为.
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量，.
(1)若，，求A；
(2)若，，为锐角，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）∵，，， ∴，∴由正弦定理边角互化得 ，即，∵，∴或，∵，∴，，∴在中，，∴.
（2）∵，，∴，∴由正弦定理得，∵， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴
12．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，过作的垂线与的延长线交于点，求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）由正弦定理得，所以.因为，所以.又，故.
（2）在中，，即，因，解得，又在中，，从而，故.而，所以.
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下面三个条件中任选一个作为已知，并解答后面的问题：
①
②
③△ABC的面积
(1)求C；
(2)若D为AB中点，且，求a，b.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)选条件①：由已知可得
∴
∴由余弦定理可得
∵∴
选条件②：由已知及正弦定理可得
∴
∴
∵
∴∴.
选条件③：由已知可得
∵
∴
∴
∴由余弦定理可得∴
(2)由题意知
在△ACD中，即
在△BCD中，，即
∵.
∴
∴
由（1）知
∴，
∴
由
解得
14．在中，内角的对边分别是，且的面积是，再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.
(1)求角A；(2)求.
条件①，条件②
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)选①，因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以
即，所以，
因为，
所以；
选②，因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
(2)解：因为且由（1）知，
所以，
又，
所以，所以，
由余弦定理知，，所以.
15．在中，角所对的边分别为．在①，②，③这三个条件中选择一个做条件．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：由，
可得，整理得，
又由余弦定理得，
因为，所以．
选条件②：因为，
由正弦定理得，
即，
在中，因为，可得．
因为，所以．
选条件③：由，可得，
在中，因为，所以．
因为，所以．
(2)解：由，且，
根据余弦定理，可得，
又由，即，所以，
当且仅当时，所以，
所以面积取最大值．
16．在中，角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若交于点，，，求边长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由题意得
已知.
利用正弦定理：，
故，
所以，
由于，
故.
(2)由（1）知，
由于，解得，
在中，利用余弦定理：，
解得，
所以为等腰三角形，
所以.
在中，，
所以，
所以
17．在中，分别是角所对应的边，若，的面积为，且
(1)求角的大小
(2)求的周长
【答案】(1)(2)5+
【解析】
(1)∵，
∴由正弦定理可得
可得，
∵,所以，
∴解得，∴．
(2)∵，∴由的面积为=，解得，
∴由余弦定理，
可得，解得，
∴的周长为．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有三个条件①；②；③，请在这三个条件中任选一个，并加以解答．
(1)求A；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)解：选择①，由正弦定理得，，
所以，
化简得，
又因为，得，
所以，即，
又因为，所以，得；
选择②，由正弦定理得，，整理得，
又由余弦定理得，
又因为，所以；
选择③，由正弦定理得，，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以；
(2)解：因为，由得，
又，所以，，
所以的面积.
19．在中，角的对边分别为，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由正弦定理得：，
，，，.
(2)，，
由余弦定理得：，.
20．A，B，C为三角形ABC的内角，R为三角形ABC外接圆半径，r为△ABC内切圆半径.
（1）求证：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC(A，B，C)；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，得，
则，化简得，tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC.
（2）由题意得，r为△ABC内切圆半径，则，
又，得，代入上式得，
化简得， ．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．
(1)求A的大小；
(2)若a＝，请在如下的三个条件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面积为中选择一个作为已知，求△ABC的周长．
【答案】(1)；(2)见解析﹒
【解析】(1)在中，∵
∴，
整理得，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，
由题知，，
∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴；
(2)若选①，则由，
解得而，解得bc＝1，
∴∴△ABC的周长为
若选②，，b2＋c2－2bc＝3，则，
∴(7c－8)(c－)＝0，∴c＝或c＝．
当c＝时，b＝，此时△ABC周长为＋＋＝，
当c＝时，，此时△ABC周长为3；
若选③，bcsin＝，
解得bc＝3，b2＋c2－2bc＝3，解得(b＋c)2－3bc＝3，b＋c＝2，∴△ABC周长为3．
