沪科版八年级上册15.3等腰三角形（第1课时） 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
第15章 轴对称图形与等腰三角形
理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；(重点)
能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.（难点）
学习目标
1
2
3
经历操作、思考、探究证明等腰三角形的有关定理的过程，进一步掌握证明的基本步骤和书写格式；
知识回顾
A
C
B
腰
腰
底边
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
顶角
底角
底角
新课导入
操作：画一个等腰三角形ABC，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，得折痕AD，观察图形△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段和角相等？AD与BC垂直吗？为什么？
A
B
C
A
C（B）
D
D
思考： （1）△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
（2）△ADB 与△ADC 有什么关系？图中有哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
知识讲解
把剪出的等腰三角形ABC 沿折痕对折，其中重合的线段和角：
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的
猜想.
发现：
（1）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴；
（2）等腰三角形的两个底角相等，即∠B=∠C；
（3）即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.
A
B
C
D
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想：等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
已知： 如图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
取BC的中点D，连接AD， 则BD=CD.
AB=AC ( 已知），
BD=CD ( 已作），
AD=AD（公共边），
∴ △BAD≌△CAD (SSS).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中，
A
B
C
D
归纳：
定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的
角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
A
C
B
D
1
2
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2（已知），
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（2）∵AB=AC, BD=CD （已知），
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
（3）∵AB=AC, AD⊥BC（已知），
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
如图,在△ABC中,
归纳：
定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.
例1已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D,E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.
解∵AB=AC,(已知)
∴∠B=∠C.(等边对等角)
∴∠B=∠C= ×(180°-120°)=30°
又∵BD=AD,(已知)
∴∠BAD=∠B=30°(等边对等角)
同理,∠CAE=∠C=30°，
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°=60°

A
B
C
D
E
思考？
本例中去掉AB=AC这个条件，能否求出∠DAE的度数？
2、等边三角形的性质
A
B
C
A
B
C
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和
为180°
=60°
探究
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B
C
A
B
C
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
总结
图形 等腰三角形
性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE
＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
证明：
（1）如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
随堂训练
1、等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　 )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
2、如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
3、（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ；
（2）等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ；
（3）等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
4、在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角
为50°，则底角的大小为_________．
A
B
C
A
B
C
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
5、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解： ∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，
得2x+x+26°+ x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
6、如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.