沪科版八年级上册15.3等腰三角形（第2课时） 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
15.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形性质的应用
第15章 轴对称图形与等腰三角形
学习目标
1
2
掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理，运用定理进行相关的证明.(难点)
利用等腰三角形的性质进行相关的证明.(重点)
知识回顾
定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.
思考？
2.两个直角三角形全等的判定有哪些？
1.三角形全等的判定有哪些？
ASA SAS AAS SSS
ASA SAS AAS SSS HL
3.已知两边及其一边的对角分别相等，能否判定两个三角形全等？
若是两个直角三角形，则这两个三角形全等，否则，两个三角形不一定全等
新课导入
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求∠A和∠C的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠ABC=∠C=∠BDC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
知识讲解
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC 与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C 呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，（已知）
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.（等边对等角）
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵ ∠ABC= ∠C=∠BDC=2x,
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °，（三角形的内角和等于180°）
解方程，得x=36° ，
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例2 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知:如图在Rt△ABC 中和Rt△A′B′C′中, AC
∠C= ∠C'=90°，AB= A′B′,AC= A′C′.
求证:Rt△ABC ≌R△ABC.
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
证明:在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C,使点A 和点A'、点C和点C '重合,点B和点B'在AC的两侧
∵∠BCB'=90°+90°=180°,(等式性质)
∴B,C,B′三点在一条直线上(平角的定义)
在△ABB'中
∵AB=AB′,(已知)
∴∠B=∠B′(等边对等角)
在Rt△ABC和Rt△AB'C中
∠B=∠B′,(已证)
AB=A'B',(已知)
∴RtABC≌Rt△AB′C′ (AAS)
∵ ∠ACB=∠ACB′,(已知)
例3 已知，△ABC 是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．
分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的判定解答．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
1
2
1
2
3
图1
图2
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，
∴∠FDE＝∠DEB，
∴DF∥BC．
随堂训练
1.如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AC上一点，且DA＝DB，CB＝CD，则∠DBC的度数 ．
解析：∵AB＝BC，AD＝BD，
∴∠A＝∠C＝∠ABD，
∵BC＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵∠CDB＝∠A+∠ABD＝2∠C，
∴∠C+2∠C+2∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠DBC＝72°．
72°
A
B
C
D
2.如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接 AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．
A
B
C
D
E
F
（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE，
∴2∠ABC＝2∠FCE，∴∠ABC＝∠FCE，
∴CF∥AB；
（2）∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC，
∵DF平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠FDC，
∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，
∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC，
∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC，
∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°，
∴∠DFC＝20°．
3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE是∠ABC的平分线，ED是AB边的垂直平分线．求∠A的度数．
解：∵BE 是∠ABC的平分线，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵ED是AB边的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠EBD＝∠EAB，
设∠A＝x°，
则∠CBE＝∠EBD＝∠A＝x°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠CBA＝90°，
即3x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠A＝30°．
A
B
C
D
E
A
C
B
D
E
4. 求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
F
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中 点，DE ⊥ AB,DF ⊥AC.
求证： DE＝DF．
证明： ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵ D为BC的中 点, ∴BD=CD.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥AC,
∴∠DEB＝∠DFC，
∴△EDB≌△FDC（AAS），
∴DE＝CF．
课堂小结
等腰三角形的性质应用
等边对等角
三线合一
文字证明题
1.根据题意写出已知和求证；
2.画出符合题意的图形；
3.根据已知、求证写出证明过程.
求角的度数