2021-2022学年黑龙江省绥化市兰西县崇文实验学校八年级（下）期末数学试卷（五四学制）(word解析版)

2021-2022学年黑龙江省绥化市兰西县崇文实验学校八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列关于抛物线y＝（x+2）2+6的说法，正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．抛物线的顶点坐标为（2，6）
C．抛物线的对称轴是直线x＝6
D．抛物线经过点（0，10）
3．（3分）根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（　　）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土
B．白日依山尽，黄河入海流
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
5．（3分）一元二次方程x2+x+＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
6．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
7．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
A． B．2π C．3π D．12π
8．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　）
A．50° B．60° C．80° D．100°
9．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（　　）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
10．（3分）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）
A．2cm B． cm C． cm D．1cm
11．（3分）如图，已知圆O的半径为a，点A，B，C均在圆O上，且OB⊥AC，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．（ +π）a2 B．πa2 C．（ +1）a2 D．πa2
12．（3分）二次函数的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共10小题，每小题3分），共30分
13．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
15．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式是　 　．
16．（3分）某医药厂两年前生产1t某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1t该种药品的成本是3000元．设该种药品生产成本的年平均下降率为x，列出方程 　 　．
17．（3分）如图：一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是 　 　．
18．（3分）如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2cm，则弦AB的长为　 　cm．
19．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是　 　．
20．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是　 　．
21．（3分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是　 　．
22．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是　 　．
三、解答题（共54分）
23．（8分）解方程
（1）（2x+3）2﹣81＝0；
（2）y2﹣7y+6＝0．
24．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题：
（1）△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并直接写出点C的对应点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出点A旋转至A2经过的路径长．
（3）已知如图2所示△ABC，求作⊙O，使⊙O经过△ABC的三个顶点．（不写作法，保留作图痕迹）
25．（10分）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠DAB＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
27．（9分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
28．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年黑龙江省绥化市兰西县崇文实验学校八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36）
1．【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．【分析】根据抛物线的解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝（x+2）2+6＝x2+4x+10，
∴a＝1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，故选项C错误，
当x＝0时，y＝10，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、锄禾日当午，汗滴禾下土是必然事件；
B、白日依山尽，黄河入海流是必然事件；
C、离离原上草，一岁一枯荣是必然事件；
D、春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件的定义．
4．【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝10，
配方得：x2﹣6x+9＝19，即（x﹣3）2＝19，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．【分析】求出△的值即可判断．
【解答】解：一元二次方程x2+x+＝0中，
∵Δ＝1﹣4×1×＝0，
∴原方程由两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
6．【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即22﹣4 m （﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4 m （﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＜0，方程有两个相等的实数根；当Δ＝0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
7．【分析】根据弧长公式l＝，代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：根据弧长公式：l＝＝3π，
故选：C．
【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l＝．
8．【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD＝180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，如图所示，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
9．【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：∵h＝8cm，r＝6cm，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10（cm），
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π（cm2），
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
10．【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．
【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°（如图），
∴a＝2cos∠1＝，
∴a＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
11．【分析】根据阴影部分的面积＝半圆面积+△ABC的面积，计算即可；
【解答】解：如图连接OB．
∵OA＝OC，OB⊥AC，
∴S△ABC＝a2，S半圆＝πa2，
∴S阴＝a2+πa2＝（+1）a2，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积；
12．【分析】根据图象得出a＞0，﹣＝1，c＞0，结合图象上的点和对称轴即可逐项判断．
【解答】解：①∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，b＞0
∴abc＜0，故正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故正确；
③∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线上x＝0时的点与当x＝2时的点对称，
即当x＝2时，y＞0
∴4a+2b+c＞0，
故错误；
④∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，
故正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
二、填空题（共10小题，每小题3分），共30分
13．【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．
14．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+1）2，即y＝x2．
故答案为：y＝x2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
16．【分析】利用现在生产1t该种药品的成本＝两年前1t该种药品的成本×（1﹣该种药品生产成本的年平均下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：5000（1﹣x）2＝3000．
故答案为：5000（1﹣x）2＝3000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．【分析】根据几何概率的求法：最终停在地板上阴影部分的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察图形可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）的，
故最终停在地板上阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
18．【分析】首先由垂径定理可知：AE＝BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE＝OE＝2，从而可求得弦AB的长．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB
在Rt△AOE中，∠OAB＝45°，
∴tan∠OAB＝，
∴AE＝OE＝2．
∴AB＝2AE＝2×2＝4．
故答案为：4cm．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．
19．【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠A′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．
【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，
得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；
由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；
故∠BAC的度数是70°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，难度不大．
20．【分析】根据抛物线与x轴的交点的意义得到当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，即可得到方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），
∴当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，
即方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝2．
故答案为x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c＝0的解为交点的横坐标．
21．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，由垂径定理得AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OF+OE；当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离＝OF﹣OE．
【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA＝OC＝13，
则AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝5，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝12，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OF+OE＝12+5＝17；
当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7．
所以AB与CD的距离是17或7．
故答案为17或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．
22．【分析】先利用配方法得到抛物线y＝x2﹣2x的顶点坐标为（1，﹣1），则抛物线y＝x2向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝x2﹣2x，然后利用阴影部分的面积等于三角形面积进行计算．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，即平移后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
所以抛物线y＝x2向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝x2﹣2x，
所以对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积＝×1×2＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
三、解答题（共54分）
23．【分析】（1）先变形为（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（2x+3）2＝81，
2x+3＝±9，
所以x1＝3，x2＝﹣6；
（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，
y﹣1＝0或y﹣6＝0，
所以y1＝1，y2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
24．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）作线段AC，BC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，
∵OA＝＝
∴点A旋转至A2经过的路径长＝＝π．
（3）如图，⊙O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
25．【分析】（1）根据抽取的报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的10%，得出算式即可得出结果；
（2）由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数；补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，画出树状图，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，
占整个被抽取到学生总数的10%，
∴在这次调查中，一共抽取了学生为：20÷10%＝200（人）；
（2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：200×17.5%＝35（人），
报名“舞蹈”类的人数为：200×25%＝50（人）；
补全条形统计图如下：
（3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为70人，
∴扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：×360°＝126°；
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，
画树状图如图所示：
共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，
∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为＝．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
26．【分析】（1）连接OD，如图，证明∠ODA＝∠CAD，则可判断OD∥AC，再根据平行线的性质得到OD⊥BC，然后根据切线的判定定理得到BC为⊙O的切线；
（2）先利用圆周角定理得到∠BOD＝60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OD＝2，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
而OD为半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠OAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠OAD＝60°，
在Rt△BOD中，OD＝BD＝×2＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了扇形的面积公式．
27．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得：y＝60+10x，
由36﹣x≥24得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；
（2）设所获利润为W，
则W＝（36﹣x﹣24）（10x+60）
＝﹣10x2+60x+720
＝﹣10（x﹣3）2+810，
∵a＜0
∴函数开口向下，有最大值，
∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810，
答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．
28．【分析】（1）根据已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；
（2）①先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；
②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；
（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：
①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b，
得k＝﹣1，b＝3，
所以直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF＝CF＝2，
∴EC＝2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME＝EC＝2，
∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）
当EM＝EF＝2时，M（2，3）
答：点M的坐标为M1（2，3）或M2（2，1﹣2）或M3（2，1+2）．
【点评】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．
解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．