8.数学广角——数与形
一、单选题
1．下图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下图能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．你听说过“乌鸦喝水”的故事吧，一只乌鸦口褐了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着。聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法。它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝着水了。如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，横轴×表示时间，纵轴y表示瓶中的水位高度。下面图（ ）最符合故事情境。
A． B． C．
3．龟兔赛跑是我们熟悉的故事。故事的大意是乌龟和兔子赛跑，比赛开始不久，兔子就远远地跑在乌龟前面，于是兔子就在路边睡了一觉，乌龟不停地往目的地奔跑，最终乌龟获得了胜利。下面图（ ）表示了这个故事的大意。
A． B．
C． D．
4．龟兔赛跑的故事大家都知道，那么下面（ ）图描述的是兔子的行为，（ ）图描述的是乌龟的行为。
①
②
A．①和② B．②和①
5．王阿姨从家去书店买书，当她走了大约一半路程时，想起忘记带钱，于是她立即回家取钱，然后再去书店，买了几本书后回家，下面图形比较准确的反应了王阿姨的情况的是（ ）.
A．
B．
C．
6．小明骑车从家出发，15分钟后到达图书馆，在图书馆看书1个小时，然后又以相同的速度骑车回家。下图（ ）最能反映在这段时间里小明离家路程的变化情况。
A．
B．
C．
7．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是（ ）。
A．小狗的速度始终比兔子快
B．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
C．图中BC段表明兔子在做匀速直线运动
D．在前4秒内，小狗比兔子跑得快
8．一家三口去离家1000m远的公园健身中心，用时15分钟。在公园玩了30分钟后。乘出租车回到家里，用时5分钟，下面( )幅图描述的是离家时间和离家距离的关系。
A．
B．
C．
9．某城市限定每户每月用水量不超过6吨时，每吨价格为2元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨水价为3元，每户每月水费y(元)与用水量x(吨)的关系是图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．五年级一班同学星期一第一节课到二楼教室上数学课，第二节课到三楼语音室上英语课，第三节课到四楼美术室上美术课，第四节课到室外上体育课，下面第（ ）幅图描述了这一过程。
A．
B．
C．
二、填空题
11．如图描述的是妈妈出门后不久，爸爸发现妈妈忘记带购物卡，马上骑车去追她把购物卡交给她后立即按原路回家。妈妈接过购物卡后又走了5分钟到达超市（点B），这时，爸爸也刚好到家。已知爸爸骑车的速度是妈妈步行速度的5倍，妈妈从家到超市共用 分钟。
12．下边是一个人骑自行车离家的距离与时间的关系图，骑车人9时离开家，15时回家，根据图回答问题。
①这个人离家最远的距离是 千米。
②返回时这个人骑车的速度是每时 千米。
13．下面是小刚和小强800米赛跑的情况示意图，看图回答问题。
请用“快”“慢”来描述他们的比赛情况。
小刚是先 后 ，
小强是先 后 。
14．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 分钟．
15．如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 千米．
16．小刚和淘气一起去上学。小刚觉得要迟到了，就开始跑步，跑一段后累了又走着；淘气开始走着，后来怕迟到也跑了起来，直到校门口又赶上了小刚。下面四幅图中，第 幅是描述小刚的行程图，第 幅是描述淘气的行程图。
A、 B、
C、 D、
17．小刚和小强赛跑情况如图．
（I） 先到达终点．
（II）开赛初 领先，开赛 分后 领先，比赛中两人相距最远约是 米．
（III）小刚的平均速度是 米．（得数保留整数）
18．小明从家去相距4千米远的图书馆看书和借书．从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了 分钟，去时平均速度是每小时 千米，返回时平均速度是每小时 千米．
19．如图，电车从A站经过B站到达C站，停留了一段时间后返回，去时在B站停车，而返回时不停．若电车行驶时为匀速运动，去时的车速为每小时48千米，则电车从C站返回到A站行驶的速度为每小时 千米．
20．下图是一辆汽车从甲地到乙地，再从乙地返回到甲地的路程和时间的关系图，从图中可看出汽车在乙地停留了 分钟，汽车往返的平均速度是 千米/时。
三、解答题
21．下图反映了两种汽车行驶的情况，看图后回答有关问题。
（1）这幅图反映的是甲、乙两辆车怎样行驶的情况？
（2）这两辆汽车的速度各是多少？A点（两条斜线的交叉点）说明了什么？
（3）你还能从图中知道什么？
22．一种笔记本每本售价2元，回答下面问题。
数量/本 0 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 0 2 4 6 8 10 12 …
（1）把笔记本的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。
（2）买7本笔记本要多少钱？
23．
（1）李明骑车一共行驶 千米，用了 小时。他在途中休息了 小时。
（2）从统计图中，你还发现了什么
24．王叔叔经常乘坐火车从甲地到乙地，列车提速前平均速度为120千米。
车票显示如下信息：
行驶区间 车次 起始时刻 到站时刻
甲地到乙地 K×××× 9：38 14：38
列车提速后，车票显示如下信息：
行驶区间 车次 起始时刻 到站时刻
甲地到乙地 D×××× 10：0.2 13：02
（1）如果列车提速前的运行图如图①，那么提速之后的运行示意图是图 。
（2）列车提速的幅度是多少？（得数百分号前保留一位小数）
25．下面是小明和小丽两人1600米赛跑的行程图。
（1）小丽跑完全程用了多少分？
（2）小明到达终点后，小丽还要再跑多少分才能到达终点？
（3）出发几分后两人相距200米？8.数学广角——数与形
一、单选题
1．下图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下图能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是B。
2．你听说过“乌鸦喝水”的故事吧，一只乌鸦口褐了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着。聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法。它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝着水了。如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，横轴×表示时间，纵轴y表示瓶中的水位高度。下面图（ ）最符合故事情境。
A． B． C．
【答案】A
【解析】解： 乌鸦看到瓶子时水不多、瓶口又小、喝不到水，从那一刻开始计时，它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，水面升高，乌鸦就喝着水了，水面逐渐下降，最终喝不到水，这时水面会高于它看到瓶子时的水面，因此图A最符合故事情境。
3．龟兔赛跑是我们熟悉的故事。故事的大意是乌龟和兔子赛跑，比赛开始不久，兔子就远远地跑在乌龟前面，于是兔子就在路边睡了一觉，乌龟不停地往目的地奔跑，最终乌龟获得了胜利。下面图（ ）表示了这个故事的大意。
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：A：图像表示的意义正确；
B：图像表示乌龟和兔子同时到达终点。表示的意义不正确；
C：图像表示兔子先到达终点。表示的意义不正确；
D：图像表示兔子先到达终点，且兔子没有睡觉。表示的意义不正确。
4．龟兔赛跑的故事大家都知道，那么下面（ ）图描述的是兔子的行为，（ ）图描述的是乌龟的行为。
①
②
A．①和② B．②和①
【答案】B
【解析】解：下面②图描述的是兔子的行为，①图描述的是乌龟的行为。
5．王阿姨从家去书店买书，当她走了大约一半路程时，想起忘记带钱，于是她立即回家取钱，然后再去书店，买了几本书后回家，下面图形比较准确的反应了王阿姨的情况的是（ ）.
A．
B．
C．
【答案】B
【解析】解：根据题意可得：
由于在书店买书耽误一段时间，则这时折线应是水平的，故选项A错误；由于王阿姨是从家出发的，则路程为0，选项A没有表示停留，是错误的；选项C的出发点不是0，是错误的，选项B符合题意.
6．小明骑车从家出发，15分钟后到达图书馆，在图书馆看书1个小时，然后又以相同的速度骑车回家。下图（ ）最能反映在这段时间里小明离家路程的变化情况。
A．
B．
C．
【答案】B
【解析】解：A：图像表示看完书后没有骑车回家。不符合题意；
B：图像表示符合题意；
C：图像表示在图书馆的时间比较短，且回家的时间比去的时间多，说明回家的速度慢。不符合题意。
7．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是（ ）。
A．小狗的速度始终比兔子快
B．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
C．图中BC段表明兔子在做匀速直线运动
D．在前4秒内，小狗比兔子跑得快
【答案】B
【解析】 一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是整个过程中小狗和兔子的平均速度相同。
8．一家三口去离家1000m远的公园健身中心，用时15分钟。在公园玩了30分钟后。乘出租车回到家里，用时5分钟，下面( )幅图描述的是离家时间和离家距离的关系。
A．
B．
C．
【答案】A
【解析】解：A：表示在公园玩的时间是30分钟，此选项正确；
B：表示没有在公园玩，此选项错误；
C：表示在公园玩的时间是35分钟，此选项错误。
9．某城市限定每户每月用水量不超过6吨时，每吨价格为2元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨水价为3元，每户每月水费y(元)与用水量x(吨)的关系是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、超过6吨后水费减少了，此选项错误；
B、超过6吨后水费增加了，此选项正确；
C、水费一直是不变的，此选项错误；
D、开始不交水费，到一定时候再交，此选项错误.
10．五年级一班同学星期一第一节课到二楼教室上数学课，第二节课到三楼语音室上英语课，第三节课到四楼美术室上美术课，第四节课到室外上体育课，下面第（ ）幅图描述了这一过程。
A．
B．
C．
【答案】A
【解析】五年级一班同学从二楼到三楼到四楼，一直向上，最后到室外上课，再向下。
A选项，符合这一描述；B选项，中间有向下的过程，不符合这一描述；C选项，中间有向下的过程，不符合这一描述。
二、填空题
11．如图描述的是妈妈出门后不久，爸爸发现妈妈忘记带购物卡，马上骑车去追她把购物卡交给她后立即按原路回家。妈妈接过购物卡后又走了5分钟到达超市（点B），这时，爸爸也刚好到家。已知爸爸骑车的速度是妈妈步行速度的5倍，妈妈从家到超市共用 分钟。
【答案】30
【解析】爸爸的速度：1÷5=，
妈妈的速度：÷5=，
1÷+5
=25+5
=30（分）
12．下边是一个人骑自行车离家的距离与时间的关系图，骑车人9时离开家，15时回家，根据图回答问题。
①这个人离家最远的距离是 千米。
②返回时这个人骑车的速度是每时 千米。
【答案】20；10
【解析】①最多的距离是20千米，
所以这个人离家最远的距离是20千米；
②20÷2=10（千米）；
返回时这个人骑车的速度是每时10千米。
13．下面是小刚和小强800米赛跑的情况示意图，看图回答问题。
请用“快”“慢”来描述他们的比赛情况。
小刚是先 后 ，
小强是先 后 。
【答案】快；慢；慢；快
【解析】小刚是先快后慢，小强是先慢后快。
14．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 分钟．
【答案】37.2
【解析】解：上坡速度：
36÷18=2（百米/分钟）；
下坡速度：
（96﹣36）÷（30﹣18）
=60÷12，
=5（百米/分钟）．
则回家需要：
（96﹣36）÷2+36÷5
=60÷2+7.2，
=30+7.2，
=37.2（分钟）．
答：那么小明从学校骑车回家用的时间是 37.2分钟．
15．如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 千米．
【答案】72
【解析】解：48×（4+5）÷（19﹣13），
=48×9÷6，
=72（千米）；
答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．
16．小刚和淘气一起去上学。小刚觉得要迟到了，就开始跑步，跑一段后累了又走着；淘气开始走着，后来怕迟到也跑了起来，直到校门口又赶上了小刚。下面四幅图中，第 幅是描述小刚的行程图，第 幅是描述淘气的行程图。
A、 B、
C、 D、
【答案】B；D
【解析】解：B中的图是描述小刚的行程图；D中的图是描述淘气的行程图。
17．小刚和小强赛跑情况如图．
（I） 先到达终点．
（II）开赛初 领先，开赛 分后 领先，比赛中两人相距最远约是 米．
（III）小刚的平均速度是 米．（得数保留整数）
【答案】小强；小刚；3；小强；100；145
【解析】解：（I）行驶800米小强用了4.5分钟，小刚用了5.5分钟，
所以小强先到达终点，
（II）开赛初小刚领先，开赛3分钟后小强领先，
当小强到达终点时，两人相距最远约为800﹣700=100（米），
（III）800÷5.5≈145（米/分）；
答：小刚的平均速度是145米/分．
18．小明从家去相距4千米远的图书馆看书和借书．从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了 分钟，去时平均速度是每小时 千米，返回时平均速度是每小时 千米．
【答案】70；8；12
【解析】解：100﹣30=70（分钟）
答：小明在图书馆呆了70分钟．
30分钟=0.5小时，
4÷0.5=8（千米）；
120﹣100=20分钟 小时，
4 ÷=12（千米）；
答：小明去时平均速度是每小时8千米，返回时平均速度是每小时12千米．
19．如图，电车从A站经过B站到达C站，停留了一段时间后返回，去时在B站停车，而返回时不停．若电车行驶时为匀速运动，去时的车速为每小时48千米，则电车从C站返回到A站行驶的速度为每小时 千米．
【答案】72
【解析】48×(4+5)÷(19-13)
=48×9÷6
=432÷6
=72（千米）
20．下图是一辆汽车从甲地到乙地，再从乙地返回到甲地的路程和时间的关系图，从图中可看出汽车在乙地停留了 分钟，汽车往返的平均速度是 千米/时。
【答案】15；64
【解析】解：从图中可看出汽车在乙地停留了40-25=15分钟；24×2÷[25÷60+（60-40）÷60]=48÷=64千米/时，所以汽车往返的平均速度是64千米/时。
三、解答题
21．下图反映了两种汽车行驶的情况，看图后回答有关问题。
（1）这幅图反映的是甲、乙两辆车怎样行驶的情况？
（2）这两辆汽车的速度各是多少？A点（两条斜线的交叉点）说明了什么？
（3）你还能从图中知道什么？
【答案】（1）答：甲、乙从两地同时出发到对方出发地。
（2）解：乙：500÷12 =40（千米/时）
甲：500÷8 =60（千米/时）
两车在A点相遇。
（3）解：从图中可以知道，甲的速度比乙的速度快。
【解析】（1）从图中可以看出，在没有出发（0小时）的时候，乙的路程是0千米，甲的路程是500千米，最后乙的路程是500千米，而甲的路程变成0千米，所以这幅图反映的是甲、乙从两地同时出发到对方出发地；
（2）甲汽车的速度=两地之间的距离÷甲到达乙的出发地用的时间；
乙汽车的速度=两地之间的距离÷乙到达甲的出发地用的时间；
这是路程-时间图，所以中间的A点表示两车相遇；
（3）从图中看出，甲到达乙的出发地用的时间明显比乙到达甲的出发地用的时间少，路程一样，那么甲的速度比乙的速度快。
22．一种笔记本每本售价2元，回答下面问题。
数量/本 0 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 0 2 4 6 8 10 12 …
（1）把笔记本的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。
（2）买7本笔记本要多少钱？
【答案】（1）
（2）2×7=14（元）
答：买7本笔记本要14元。
【解析】（1）观察统计表可知，横轴表示数量，纵轴表示总价，根据统计表中的数据绘制图像；
（2）已知单价和数量，要求总价，依据单价×数量=总价，据此列式解答。
23．
（1）李明骑车一共行驶 千米，用了 小时。他在途中休息了 小时。
（2）从统计图中，你还发现了什么
【答案】（1）30；2；半
（2）从统计图可以发现：李明在最后半个小时行驶的路程最远。
【解析】（1）此题主要考查了从统计图中获取信息，观察图可知，李明骑车一共行驶30千米，从9时到11时一共用了2小时，他在途中休息了半小时；
（2）从统计图可以发现：李明在最后半个小时行驶的路程最远。
24．王叔叔经常乘坐火车从甲地到乙地，列车提速前平均速度为120千米。
车票显示如下信息：
行驶区间 车次 起始时刻 到站时刻
甲地到乙地 K×××× 9：38 14：38
列车提速后，车票显示如下信息：
行驶区间 车次 起始时刻 到站时刻
甲地到乙地 D×××× 10：0.2 13：02
（1）如果列车提速前的运行图如图①，那么提速之后的运行示意图是图 。
（2）列车提速的幅度是多少？（得数百分号前保留一位小数）
【答案】（1）④
（2）解：14：38-9：38=5（小时）
13：02-10：02=3（小时）
120×5÷3=200（千米/时）
（200-120）÷120=66.7%
答：列车提速的幅度是66.7%。
【解析】（1）提速后图像的倾斜度会比原来的大，据此作答即可；
（2）从甲地到乙地用的时间=到站时间-起始时间，所以甲乙两地之间的距离=列车提速前的速度×提速之前从甲地到乙地用的时间，那么提速后的速度=甲乙两地之间的距离÷提速后从甲地到乙地用的时间，所以列车提速的幅度=（提速前的速度-提速后的速度）÷提速前的速度。
25．下面是小明和小丽两人1600米赛跑的行程图。
（1）小丽跑完全程用了多少分？
（2）小明到达终点后，小丽还要再跑多少分才能到达终点？
（3）出发几分后两人相距200米？
【答案】（1）解：小丽跑完全程用了8分钟。
（2）解：8-6=2（分钟）
答：小丽还要再跑2分才能到达终点。
（3）解：出发3分钟后两人相距200米。
【解析】（1）小丽到达终点对应的时间是8分钟；
（2）小明到达终点对应的时间是6分钟，所以小丽还要再跑2分才能到达终点；
（3）相同时间内距离相差200米的是第3分钟时，所以此时两人相距200米。
