2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题1（Word版含解析）

2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
4．设全集为R，集合，则
A． B． C． D．
5．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是
A． B．
C． D．
7．已知a，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素
C．若，则 D．若，则
10．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
11．对任意实数a、b，给出下列命题，其中真命题有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“是无理数”是“b是无理数”的充要条件
12．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
三、双空题
13．已知全集，集合，，则______；______.
14．设A=,B=，若，则实数的取值范围是______函数的定义域是____________
四、填空题
15．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________
16．某学校调查50名学生对事件A，B的态度，有如下结果：赞成A的人数占五分之三：赞成B的人比赞成A的人多3人另外，对A，B都赞成的人是对A，B都不赞成的人的2倍，则对A，B都不赞成的学生有_______人．
五、解答题
17．已知集合，若，求的值．
18．已知全集，集合，．
(1)若，求；．
(2)若，求实数a的取值范围．
19．已知集合，集合，.
（1）若“”是真命题，求实数取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20．命题；命题
（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
21．在中，，垂足为H．
(1)求的长；
(2)记向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，设，求实数的值．
22．如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，A（﹣2，0），C（1，3）.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△COD的面积；
（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
直接由补集和交集的概念求解即可.
【详解】
，所以．
故选：A.
2．D
【解析】
【详解】
试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．
解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
故选D．
点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．
3．C
【解析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4．D
【解析】
【详解】
试题分析：，
考点：1．解不等式；2．集合的子集关系
5．A
【解析】
【分析】
由重要不等式得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立.
【详解】
当时，由，故充分性成立，当时，比如，满足，但，故必要性不成立.
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，由函数是增函数知，，
当时，函数，
将函数的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，
又由函数满足，所以函数为偶函数，
且图象关于轴对称，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：若，因为，所以，即充分性成立；
由推不出，如，，满足，
此时，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
①根据，得出，即；
②根据，证明，即；
③根据，，证明．
【详解】
解：集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选．
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
9．ABC
【解析】
【分析】
首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】
（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
10．ACD
【解析】
【分析】
求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
11．BD
【解析】
根据是的必要不充分条件判断A；利用不等式的性质与特殊值判断BC；根据根据充分条件与必要条件的定义判断D；
【详解】
推不出，（a，b有可能小于零），， 是的必要不充分条件，A为假命题；
，充分性成立，是推不出（如），必要性不成立，是的充分不必要条件，B是真命题；
可以推出，但推不出的（如），是的充分不必要条件，C为假命题；
是无理数，可以直接推出b就是无理数，b是无理数也可以推出是无理数，是无理数是是无理数的充要条件，D是真命题.
故选：BD
【点睛】
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
12．BCD
【解析】
【分析】
根据给定定义，对每一组x，y值代入求出集合的z值，即可判断作答.
【详解】
，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确.
故选：BCD
13．
【解析】
【分析】
根据集合，，直接可以求出，由集合中除去集合的元素，可得出.
【详解】
全集，集合，
则.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本题考查求两集合的交集和求集合的补集，属于基础题.
14． ；
【解析】
【详解】
试题分析：由题：，又，得：.
，得：
考点：（1）一元二次不等式的解法及子集的定义. （2）定义域与三角不等式组的解法.
15．
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件和集合之间的关系等价法，即可求出.
【详解】
因为是的充分非必要条件，所以是的真子集．
当，即时，，解得，又因为，所以；
当时，，显然是
的真子集．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：.
16．26
【解析】
设对A，B都赞成的学生有，根据韦恩图得到，即可得解.
【详解】
赞成的人数为，赞成的人数为，
设对A，B都赞成的学生有，则对A，B都不赞成的人有
则，解得.
故答案为：26.
17．-1.
【解析】
【分析】
由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．
【详解】
∵集合，
∴解得，
则．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．
18．(1)，或．
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，结合包含关系可得参数范围．
（1）时，，，又或，所以或．
（2）由得，若，即，则满足题意，若，则，无解，综上，．
19．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）若“”是真命题，则满足不等式，代入进行求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可
【详解】
（1）若“”是真命题，则，得．
（2），
若“”是“”的必要不充分条件，
则是的真子集，
即，即，得，
即实数的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义转化为集合关系是解决本题的关键．
20．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）若在上恒成立，则；
（2）由题意可知的解集是
【详解】
（1）若在上恒成立，
则，
所以有，
所以实数的范围为；
（2）或，
根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，
根据韦达定理有，
所以，．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
21．(1);
(2).
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理求出BC，利用面积等积法求AH；
（2）求出投影向量，根据垂直关系及三点共线列出方程求解即可.
(1)
由余弦定理，，
所以，
由可得.
(2)
,,
，
,
，①
又三点共线，所以，②
联立①②可解得.
22．（1）y＝x+2，y＝；（2）4；（3）﹣3≤x＜0或x≥1.
【解析】
（1）用待定系数发法，即可求解；
（2）△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）观察图象即可求解.
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为：y＝x+2①，
将点C的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，
故反比例函数表达式为：y＝②；
（2）联立①②并解得：x＝1或﹣3，
故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）；
∵点B（0，2），
∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当y1≥y2时x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥1.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强.
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