2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题4（Word版含解析）

2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
4．已知全集，，，则集合，之间的关系为（ ）
A．集合是集合的真子集 B．集合是集合的真子集
C． D．集合是集合的补集的真子集
5．“”是“函数在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是
A． B．
C． D．
7．已知向量，，则“存在实数，使得”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素
C．若，则 D．若，则
10．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
11．下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量，若，且同向，则
B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D．若，则与的夹角是钝角
12．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
三、双空题
13．已知全集，集合，，则______；______.
14．设A=,B=，若，则实数的取值范围是______函数的定义域是____________
四、填空题
15．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
16．某学校调查50名学生对事件A，B的态度，有如下结果：赞成A的人数占五分之三：赞成B的人比赞成A的人多3人另外，对A，B都赞成的人是对A，B都不赞成的人的2倍，则对A，B都不赞成的学生有_______人．
五、解答题
17．已知集合，若，求的值．
18．已知集合______，集合．从下列三个条件中任选一个，补充在上面横线中．①；②；③.
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
19．已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
20．命题；命题
（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
21．在中，角的对边分别为．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
22．如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，A（﹣2，0），C（1，3）.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△COD的面积；
（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
直接计算交集即可.
【详解】
由题意知：.
故选：C.
2．D
【解析】
根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
3．C
【解析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4．C
【解析】
先化简得．求出，由此得到．
【详解】
，
当时，，解得．；
当时，，成立；
当时，，解得．．
．
，
．
故选：．
【点睛】
本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．A
【解析】
【分析】
由指数函数的性质可得在R上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.
【详解】
解：在R上为增函数，则，即．
故时，为增函数，充分性成立；
但为增函数，a还可以是，故必要性不成立．
故选：A．
6．B
【解析】
【分析】
利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，由函数是增函数知，，
当时，函数，
将函数的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，
又由函数满足，所以函数为偶函数，
且图象关于轴对称，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
根据∥，则，使得，结合充分、必要条件判定．
【详解】
由存在实数，使得，可得共线；
但当时，共线，此时不一定存在实数，使得．
故选：A．
8．D
【解析】
【分析】
①根据，得出，即；
②根据，证明，即；
③根据，，证明．
【详解】
解：集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选．
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
9．ABC
【解析】
【分析】
首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】
（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
10．ACD
【解析】
【分析】
求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
11．BC
【解析】
【分析】
根据向量不能比较大小可判定选项A；利用投影向量的计算公式可判定选项B；利用充分不必要条件的逻辑关系可判定选项C；若，则与的夹角是钝角或角，可判定选项D.
【详解】
选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；
选项B：在单位向量上的投影向量为，故选项B正确；
选项C：若存在负数，使得，则；
若，则向量与的夹角为钝角或，故选项C正确；
选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；
故选：BC.
12．BCD
【解析】
【分析】
根据给定定义，对每一组x，y值代入求出集合的z值，即可判断作答.
【详解】
，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确.
故选：BCD
13．
【解析】
【分析】
根据集合，，直接可以求出，由集合中除去集合的元素，可得出.
【详解】
全集，集合，
则.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本题考查求两集合的交集和求集合的补集，属于基础题.
14． ；
【解析】
【详解】
试题分析：由题：，又，得：.
，得：
考点：（1）一元二次不等式的解法及子集的定义. （2）定义域与三角不等式组的解法.
15．
【解析】
【分析】
化简命题q，根据p是q的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解.
【详解】
令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M N，∴，解得0故填
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.
16．26
【解析】
设对A，B都赞成的学生有，根据韦恩图得到，即可得解.
【详解】
赞成的人数为，赞成的人数为，
设对A，B都赞成的学生有，则对A，B都不赞成的人有
则，解得.
故答案为：26.
17．-1.
【解析】
【分析】
由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．
【详解】
∵集合，
∴解得，
则．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先分别求两个集合，再求集合的运算；
（2）由条件可知，分和两种情况，求实数的取值范围.
(1)
若选①，则，所以，
若选②，得，
若选③，得，
时，，
；
(2)
由题意
当，，得
当，得
∴．
19．（1）（2）
【解析】
（1）化简得到和，代入计算得到答案.
（2）根据题意得到，计算得到或，再验证互异性得到答案.
【详解】
（1）因为，，所以.
（2）因为，所以中有两个元素，即，所以，
解得或，由元素的互异性排除可得.
【点睛】
本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.
20．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）若在上恒成立，则；
（2）由题意可知的解集是
【详解】
（1）若在上恒成立，
则，
所以有，
所以实数的范围为；
（2）或，
根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，
根据韦达定理有，
所以，．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
21．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用同角公式求出，再利用和角的余弦公式计算作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用三角形面积公式计算作答.
（1）在中，由得，，而，则.
（2）由（1）知，，所以的面积是.
22．（1）y＝x+2，y＝；（2）4；（3）﹣3≤x＜0或x≥1.
【解析】
（1）用待定系数发法，即可求解；
（2）△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）观察图象即可求解.
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为：y＝x+2①，
将点C的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，
故反比例函数表达式为：y＝②；
（2）联立①②并解得：x＝1或﹣3，
故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）；
∵点B（0，2），
∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当y1≥y2时x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥1.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强.
答案第1页，共2页
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