2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题5（Word版含解析）

2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
4．设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　）
A． B． C． D．
5．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
7．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
二、多选题
9．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素
C．若，则 D．若，则
10．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．集合的真子集个数为8
11．对任意实数a、b，给出下列命题，其中真命题有（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“是无理数”是“b是无理数”的充要条件
12．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
三、双空题
13．已知集合，，则____，____.
14．在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，就称这个函数是点A的“限定函数”.以下函数：①，②，③，④，其中是原点O的“限定函数”的序号是______.已知点在函数的图象上，若函数是点A的“限定函数”，则实数a的取值范围是______.
四、填空题
15．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
16．某学校100名学生在一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有______人．
五、解答题
17．已知集合，若，求的值．
18．从①；②；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知集合___________，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
20．命题；命题
（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
21．已为分别为三内角的对边，且
(1)求；
(2)若，角的平分线，求的面积．
22．对的所有实数，函数满足，求的解析式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据交集的定义可求.
【详解】
，
故选：B.
2．D
【解析】
根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
3．C
【解析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4．D
【解析】
【分析】
先分别求出集合A和B，由此能求出结果．
【详解】
∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A B．故选D．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．A
【解析】
【分析】
根据向量的运算及命题的充分必要性分别判断.
【详解】
时，，，成立，“”是“”的充分条件，
时，，，解得或，所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【详解】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
所以由推得出直线与圆相切，故充分性成立，
由直线与圆相切推不出，故必要性不成立，
故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件；
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题.
9．ABC
【解析】
【分析】
首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】
（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
10．AC
【解析】
【分析】
根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】
因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
11．BD
【解析】
根据是的必要不充分条件判断A；利用不等式的性质与特殊值判断BC；根据根据充分条件与必要条件的定义判断D；
【详解】
推不出，（a，b有可能小于零），， 是的必要不充分条件，A为假命题；
，充分性成立，是推不出（如），必要性不成立，是的充分不必要条件，B是真命题；
可以推出，但推不出的（如），是的充分不必要条件，C为假命题；
是无理数，可以直接推出b就是无理数，b是无理数也可以推出是无理数，是无理数是是无理数的充要条件，D是真命题.
故选：BD
【点睛】
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
12．BCD
【解析】
【分析】
根据给定定义，对每一组x，y值代入求出集合的z值，即可判断作答.
【详解】
，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确.
故选：BCD
13．
【解析】
【分析】
求出集合，利用交集和并集的定义可分别求出集合，.
【详解】
，，，.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查交集和并集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
14． ①③
【解析】
(1)当，求出各序号中y的取值范围A，若则此函数是原点的“限定函数”； (2) 由题意知，当时，若是点A的“限定函数”，则，由集合的包含关系列出不等式组即可求得a的取值范围.
【详解】
(1) ①当时，，因为，所以函数①是原点的“限定函数”；
②因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时， ，因为，所以②不是原点的“限定函数”；
③因为在上单调递增，所以当时，，因为，所以③是原点的“限定函数”；
④因为在上单调递增，所以当时，，因为，所以④不是原点的“限定函数”.
(2)因为点在函数的图象上，所以，
因为是点A的“限定函数”，并且当时，，
所以，解得.
故答案为：①③；
【点睛】
本题考查函数的概念与性质，涉及基本初等函数及正弦函数的单调性，根据集合的包含关系求参数，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
化简命题q，根据p是q的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解.
【详解】
令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M N，∴，解得0故填
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.
16．6
【解析】
【分析】
利用venn图求解即可.
【详解】
解：如图，设三科都参加的人有人，
由题意得，解得.
故答案为：6
17．-1.
【解析】
【分析】
由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．
【详解】
∵集合，
∴解得，
则．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．
18．(1)选①②③结果均为.
(2)选①②③时答案一致，均为实数的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）先解不等式，求出集合与，进而求出；（2）得到，利用包含关系，分类讨论，得到实数的取值范围.
(1)
选①时：，解得：，即，又因为，故，综上：
选②时：，解得：，所以
选③时：，解得：，所以
当时，
当选①时，；当选②时，；当选③时，.
(2)
因为，所以，由第一问可知：选①时，
当时，，解得：，
当时，要满足，解得：，
综上：实数的取值范围为
选②③时，答案与①一致，均为实数的取值范围为
19．（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知关系式，循环代入直到再次出现为止，即可得到集合M中的元素.
（2）假设M中只有一个元素a，则，方程无解，即不可能只有一个.
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出现4个元素分别为：，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值.
【详解】
（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.
【点睛】
本题考查集合中元素与集合的关系，考查集合中元素个数的问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.
20．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）若在上恒成立，则；
（2）由题意可知的解集是
【详解】
（1）若在上恒成立，
则，
所以有，
所以实数的范围为；
（2）或，
根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，
根据韦达定理有，
所以，．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
21．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦及辅助角公式求解作答.
（2）在中，用余弦定理求出，由角平分线及面积定理可得，再利用余弦定理求出即可计算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
整理得，而，则，即，
又，有，解得，所以.
(2)
如图，在中，由余弦定理得：，即，解得，
因平分，，
即，在中，，
又，则，
即，而，解得：，有，
所以的面积.
22．
【解析】
【分析】
中用代换，将所得函数方程与原函数方程联立，求得后，再作换元设，得到的表达式，进而得解.
【详解】
解析：由已知①
中用代换得到②
由①②得到③
设，则，则代入③得到，所以．
【点睛】
本题考查已知函数方程求函数的解析式，考查代换思想和换元思想，属中档题.
答案第1页，共2页
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