2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题7（Word含答案）

2022级高一新生暑假返校自主检测考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，8}，则A∩B=（ ）
A．{4} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}
2．用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
4．设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　）
A． B． C． D．
5．“是钝角”是“是第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知a，b是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素
C．若，则 D．若，则
10．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．集合的真子集个数为8
11．下列各命题中P是Q的充分不必要条件的是（ ）
A．P：；Q：；
B．P：；Q：
C．P：四边形为菱形；Q：四边形的对角线垂直；
D．P：；Q：
12．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
三、双空题
13．已知集合，，则____，____.
14．设A=,B=，若，则实数的取值范围是______函数的定义域是____________
四、填空题
15．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
16．某学校100名学生在一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有______人．
五、解答题
17．已知集合，若，求的值．
18．从①；②；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知集合___________，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
20．命题；命题
（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
21．设为的三内角的对边，，．
(1)求的大小；
(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①周长为；②面积为
22．如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，A（﹣2，0），C（1，3）.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△COD的面积；
（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据交集的定义即可得出答案.
【详解】
解：因为A={1，2，3}，B={2，4，8}，
所有.
故选：B.
2．D
【解析】
根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
3．C
【解析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4．D
【解析】
【分析】
先分别求出集合A和B，由此能求出结果．
【详解】
∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A B．故选D．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．A
【解析】
【分析】
根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】
因为是钝角，所以，因此是第二象限角，
当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，
所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，
故选：A
6．C
【解析】
先利用定义判断函数定义域和对称性，结合对数函数图象和平移变换作出y轴右侧部分图象，再结合对称性即得到函数图象.
【详解】
函数中，令得定义域为，且，即是偶函数，图象关于y轴对称，当时，，图象可由向右平移一个单位得到（如图所示），
再关于y轴对称得到时的图像，即函数图象为选项C中的图象.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．A
【解析】
【分析】
利用基本不等式及两个条件的推出关系可得正确的选项.
【详解】
若，则，故，
取，则成立，但，
故推不出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
①根据，得出，即；
②根据，证明，即；
③根据，，证明．
【详解】
解：集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选．
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
9．ABC
【解析】
【分析】
首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】
（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
10．AC
【解析】
【分析】
根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】
因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
11．AC
【解析】
【分析】
根据题意，结合充分条件、必要条件的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，当时，可得，即充分性成立；
反之：当，可得，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，所以A正确；
对于B中，当时，可得，即充分性成立；
反之：当时，可得，所以必要性成立，
所以是的充分必要条件，所以B不正确；
对于C中，由四边形为菱形，可得四边形的对角线垂直，即充分性成立；
反之：当四边形的对角线垂直，四边形不一定是菱形，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，所以C正确；
对于D中，例如：由，且时，可得，即充分性不成立，
反之：由，当时，可得；当时，可得，即必要性不成立，
所以是的既不充分也不必要条件，所以D正确.
故选：AC.
12．BCD
【解析】
【分析】
根据给定定义，对每一组x，y值代入求出集合的z值，即可判断作答.
【详解】
，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确.
故选：BCD
13．
【解析】
【分析】
求出集合，利用交集和并集的定义可分别求出集合，.
【详解】
，，，.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查交集和并集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
14． ；
【解析】
【详解】
试题分析：由题：，又，得：.
，得：
考点：（1）一元二次不等式的解法及子集的定义. （2）定义域与三角不等式组的解法.
15．
【解析】
【分析】
化简命题q，根据p是q的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解.
【详解】
令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M N，∴，解得0故填
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.
16．6
【解析】
【分析】
利用venn图求解即可.
【详解】
解：如图，设三科都参加的人有人，
由题意得，解得.
故答案为：6
17．-1.
【解析】
【分析】
由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．
【详解】
∵集合，
∴解得，
则．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．
18．(1)选①②③结果均为.
(2)选①②③时答案一致，均为实数的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）先解不等式，求出集合与，进而求出；（2）得到，利用包含关系，分类讨论，得到实数的取值范围.
(1)
选①时：，解得：，即，又因为，故，综上：
选②时：，解得：，所以
选③时：，解得：，所以
当时，
当选①时，；当选②时，；当选③时，.
(2)
因为，所以，由第一问可知：选①时，
当时，，解得：，
当时，要满足，解得：，
综上：实数的取值范围为
选②③时，答案与①一致，均为实数的取值范围为
19．（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知关系式，循环代入直到再次出现为止，即可得到集合M中的元素.
（2）假设M中只有一个元素a，则，方程无解，即不可能只有一个.
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出现4个元素分别为：，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值.
【详解】
（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为.
【点睛】
本题考查集合中元素与集合的关系，考查集合中元素个数的问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.
20．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）若在上恒成立，则；
（2）由题意可知的解集是
【详解】
（1）若在上恒成立，
则，
所以有，
所以实数的范围为；
（2）或，
根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，
根据韦达定理有，
所以，．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
21．(1)；
(2)选择见解析；
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简可求出的值，由余弦定理化简可求出的值；
（2）选①，由正弦定理可求得，由周长为，可求得，再由余弦定理可求得求出BC边上的中线的长.
选②，由三角形的面积为可求得，的值，由余弦定理可求得求出BC边上的中线的长.
(1)
，
由正弦定理得，
，
，
，
，
,
， ，
，
.
(2)
选①：由（1）得，，
由正弦定理得=，
，
取BC边上的中点，连接
，
选②：由（1）得，，，取BC边上的中点，连接，
， ，
，，
.
22．（1）y＝x+2，y＝；（2）4；（3）﹣3≤x＜0或x≥1.
【解析】
（1）用待定系数发法，即可求解；
（2）△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）观察图象即可求解.
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为：y＝x+2①，
将点C的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，
故反比例函数表达式为：y＝②；
（2）联立①②并解得：x＝1或﹣3，
故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）；
∵点B（0，2），
∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBD＝×OB×（xC﹣xD）＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当y1≥y2时x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥1.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强.
答案第1页，共2页
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