云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷三数学（理）试题（Word含答案）

2022届云南民族大学附属中学高考押题卷三（理科数学）
一 选择题
1. 若、是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. z的虚部为－ D. z在复平面内对应的点在第三象限
3. 某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）
参考公式：，.
0.05 0.01
3.841 6635
A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C. 若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关
D. 无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关
4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）
A. 2斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
5. 根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（ ）
（1），，，有一个解.
（2），，，有两个解
（3），，，无解
（4），，，有一解
A （1）（2） B. （2）（4）
C. （1）（2）（3） D. （1）（2）（4）
6. 已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8. 将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（ ）
A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 2021
11. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数只有一个零点，则（ ）
A. B. C. D.
二 选择题
13. 已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.
14. 数列，，，，，，前项和的值等于_____________
15. 如图所示，在长方体中，，，，则从点沿表面到点的最短距离为___________.
16. 某中学校园内的香樟树已有较长的历史.如图，小明为了测量香樟树高度，他在正西方向选取与香樟树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得香樟树根部C在西偏北的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北的方向上，树梢D的仰角为，则香樟树的高度为__________米.
三 解答题
17. 已知数列的前项和为，且满足，
（1）求和
（2）求证：．
18. 如图，在四棱锥中，平面，△为等边三角形，，，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
19. 2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该校所有参赛学生成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；
(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
20. 已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点，是椭圆上的两点点，，不共线，且，证明直线斜率存在时过定点，并求面积的取值范围．
21. 已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
22. 直角坐标系中，曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：.
（1）写出直线直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使它到直线的距离最小，并求出最小值.
23. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围.
2022届云南民族大学附属中学高考押题卷三（理科数学）
答案部分
1.B
2. D
3. AC
4. C
5. D
6.C
7. B
8.A
9. B
10. B
11. A【详解】解：，
；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．
12.A【详解】由函数只有一个零点，
所以方程只有一个实数根.
即方程只有一个实数根.
即函数的图象与函数的图象只有一个交点.
由
当时，，则.
当时，，则.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又时，，所以
时，，，所以，且
作出的大致图象如图.
如图，当时，函数的图象与函数的图象只有一个交点.
所以
故选：A
13.
14.
【解析】：依题意，易得该数列的通项公式为：，
；
故答案为： .
16.
【解析】中，，，
运用正弦定理可得，，解得，
在中，，
．
故答案为：．
17. 【解析】
【小问1详解】
时，，时，，
所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
所以，即，
当时，，
当时，，不满足上式，
所以，
【小问2详解】
当时，，原式成立．
当时，
所以．
18. 【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，．
又因为△为等边三角形，为的中点，所以．，
所以平面．
（2）取的中点，连结，则易知，，．因为△为等边三角形，所以．
以为原点，以所在直线分别为轴如图建系，
，，，
设平面的法向量，则：，即，
令，得平面的一个法向量，易知平面的一个法向量为
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）假设棱上存在点，使得平面，且设，则，
，则，
，要使得平面，则，得，
所以线段上存在点，使得平面，．
19. 【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，
获三等奖的16人，所以有30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，
由古典概型概率计算公式可得，，
所以抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率.
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布.
（i）因为，所以，
参赛学生中成绩超过79分的学生数约为.
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布.
随机变量的所有可能取得的值为0，1，2，3.
，
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以.
20. 【解析】
【小问1详解】抛物线的焦点为，∴E的焦点为，
又，∴，又，∴．
∴椭圆E的方程为．
【小问2详解】
设直线AB的方程为（），，，
由得，，
，即，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
满足题意
直线恒过点，
，
令，则，
，又，
面积的取值范围是．
21. 【详解】（1），,
当时,；
当时,
当变化时,的变化情况如下表：
单调递增 单调递减
因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.
（2）令函数,
由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.
又
故在存在唯一零点.设为,则
当时,；当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减
又，
所以，当时,.
故.
22. 【详解】（1）由得的直角坐标方程为，即，
由得曲线的参数方程为(为参数)；
（2）设，
则到直线的距离为
时，.
，，
，，
.
23. 详解：（Ⅰ），由条件得 ，得或，
∴，即或.
（Ⅱ）原不等式等价于恒成立，
而， ∴，则恒成立，
∵，∴， 等号成立当且仅当时成立.