2022-2023学年高二上暑假返校联考适应性考试——数学试题5（Word版含解析）

2022-2023学年高二上暑假返校联考适应性考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（，i为虚数单位），满足，则（ ）
A． B．3 C． D．5
2．若圆锥的底面半径与高均为，则圆锥的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
3．甲 乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲 乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.2 0.4
乙 0.3 0.3
则甲 乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
4．如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知a>b>0，且a+b=1，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值； B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值； D．偶函数，在时取到最小值；
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对任意向量，，，下列关系式中恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．若为增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点 D．当时，函数恰有1个极值点
11．在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A． B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆的半径为
12．某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为，金属底座是由边长为4的正三角形沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（ ）
A． ，，，四点共面
B．经过，，三点的截面圆的面积为
C．直线与平面所成的角为
D．奖杯整体高度为
三、填空题
13．已知函数和.若对任意的，都有使得，，则实数的取值范围是______.
14．若正实数，满足，则的最小值是______．
15．已知正数满足，，则的最小值为__________.
16．已知，则的取值范围是_________．
四、解答题
17．已知，复数，当为何值时，
（1）？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
（4）对应的点位于复平面第二象限？
（5）对应的点在直线上？
18．中，角所对的边分别为，已知，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
(1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；
(2)当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
20．已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．
(1)若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率；
(2)若甲、乙两人各自对目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率．
21．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为．
(1)若，，求三棱锥的体积；
(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．
22．已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据可求的值，从而可求.
【详解】
，而，故，
故，
故选：A
2．A
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径与高均为，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后由圆锥的表面积公式求解.
【详解】
因为圆锥的底面半径与高均为，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的表面积等于，
故选：A
【点睛】
本题主要考查圆锥的几何特征和表面积的求法，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
先求出甲购买A种医用口罩和乙购买B种医用口罩的概率，然后利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.
【详解】
由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为0.4，乙购买B种医用口罩的概率为0.4，
所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为
.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
取的中点，连接，，由异面直线NO与AM所成角即为与AM所成角求解.
【详解】
如图所示：
取的中点，连接，，易知，
所以异面直线NO与AM所成角就为与AM所成角，
因为，M分别是正方形的边AD，的中点，
所以由正方形知识可知，
所以异面直线NO与AM所成角的大小为90°．
故选：D
5．D
【解析】
【分析】
通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
6．D
【解析】
【分析】
A反例法判断，B结合对数的运算反证，C将根式化为指数并用指数函数的性质判断，D对数函数的性质结合基本不等式判断.
【详解】
因为a>b>0，且a+b=1，所以，，在这个前提下，
对于A，如，，则，，，因为在上单调递增，则，，A错.
对于B，如果，，，则，但，所以B错.
对于C，，单调递减，，则，所以C错.
对于D，由基本不等式，，则，当且仅当，时成立，但，所以，所以D对.
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】
，
取，
当时，有最大值，
即，所以，可得，
所以，，
则，
因为，所以，为偶函数，
，
，
故B正确，
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及求出的取值范围.
9．ACD
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的性质及运算法则逐一判断即可．
【详解】
解：对于，故正确；
对于，表示与平行的向量，表示与平行的向量，
而与的关系是不确定的，故错误；
对于，向量的平方等于向量模的平方，故正确；
对于，因为，故正确．
故选：．
10．AB
【解析】
【分析】
A利用奇偶性定义判断；B利用导数研究恒成立求a的范围；C结合B结论即可判断；D利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.
【详解】
且定义域为，即为奇函数，A正确；
若为增函数，恒成立，
令，则，即递增；
又，故上，上，即在上递减，在上递增，
所以恒成立，可得，B正确；
由B知：时为增函数，不可能存在两个零点，C错误；
时，由B分析知：，，，故在、上各有一个异号零点，则有2个极值点，D错误；
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：构造中间函数研究恒成立求参数范围，根据零点存在性定理及单调性判断的零点个数.
11．ACD
【解析】
【分析】
先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误, 结合余弦定理可得B，C的正误.
【详解】
由题意,设,
解得;
所以,
所以A 正确;
由以上可知最大,
所以为锐角,
所以B错误;
由以上可知最小,
,
,
即,
因为为锐角,为锐角,所以
所以C正确;
因为，所以,
设外接圆的半径为,则由正弦定理可得
所以
所以D正确.
故选: ACD.
12．ACD
【解析】
【分析】
对A，由两条平行线唯一确定一个平面，即可判断；对B，作的射影，根据是边长为的正三角形，即可求出其外接圆半径，即可求解；对C，根据线面角的定义，找到直线与平面所成的角，即可求解；对D，在中求出,，再根据球的体积公式求出球的半径。利用勾股定理求出球心到面的距离，即可求出奖杯的高度.
【详解】
解：对A，如图所示：点三点在底面上的射影分别是三边中点，连接，
由题意可知：且，
故四边形是平行四边形，
故，
又，
，
由两条平行线唯一确定一个平面知：，，，四点共面，故A正确；
对B，由点三点在底面上的射影分别是三边中点，
与全等且所在的面平行，
故的截面圆与的截面圆相等，
由题意知：的边长为，
其外接圆半径为：，
故截面圆面积为：，故B错误；
对C，平面平面，
故点在平面内的射影在上，
故即直线与平面所成的角，
又为等边三角形，
即直线与平面所成的角为，故C正确；
对D，由上图可知：，
设球的半径为，
则，
的外接圆半径，
解得：，
故球心到面的距离为：，
故奖杯整体高度为，故D正确.
故选：ACD.
13．
【解析】
根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解.
【详解】
由题意得， ,并且对于值域中的每一个数，都有至少两个不同数和，使得成立.
①当时， 在上单调递减，显然，此种情况不成立.
②当，在上的值域为，由的函数图象可知，只要使得，则解得.
③当时，在上的值域为，由的函数图象可知，要满足即可，得，综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围的问题，结合函数图象可更好的理解题意，属于能力提升题.
14．
【解析】
【分析】
由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．
【详解】
因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，
则，
时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用不等式求最小值，解题关键有两点：一是由由不等式得，二是换元后利用函数的单调性求得最小值．判断时注意基本不等式的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．##
【解析】
【分析】
把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.
【详解】
由，得，，
则，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
16．
【解析】
【分析】
数形结合，得到向量，再利用三角函数，即可求解.
【详解】
由题意，图中是等腰三角形，C为中点，，
因此，
设，
所以,
（其中）
又，所以，又，所以，
所以
所以，，
∴，∴
故答案为：
17．（1）(2)（3）或（4）（5）或
【解析】
【详解】
试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即且，解得.（2）要复数为纯虚数，则实部，虚部，解得.（3）复数对应的点在第二象限，则实部，虚部，解得.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得.
试题解析：
（1）由，且，得，
故当时，；
（2）由
解得或，
故当或时，为纯虚数；
（3）由
解得，
故当时，复数对应的点位于复平面的第二象限；
（4）由，
解得或，
故当或时，复数对应的点在直线上.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，得到，化简得到，进而求得的大小.
（2）由（1）结合正弦定理求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合单调性，即可求解.
(1)
解：由题意，向量，
因为，可得，
又由正弦定理得，
因为，所以，所以，
即，所以，
可得，所以或，
又因为，所以.
(2)
解：由（1）结合正弦定理，可得，
所以，
所以，
又由为锐角三角形，且，则，解得，
因为在单调递增，所以，
所以，即.
19．(1)，，
(2)当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元
【解析】
【分析】
(1)根据题意得，代入化简即可；
(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.
(1)
由题意得
，
即，，.
(2)
由，得，
因，当且仅当时取等号，所以.
故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.
20．(1)
(2)
【解析】
【详解】
解：（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C
三人同时对同一目标射击，目标被击中为事件D
可知，三人同时对同一目标射击，目标不被击中为事件
有P()=1 P()
又由已知
∴
∴三人同时对同一目标进行射击，目标被击中的概率为
（2）设“四次射击中恰有两次击中目标”为事件E
则
∴四次射击中恰有两次击中目标的概率为
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面积和高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出，结合第一问结论求出，从而求出答案.
(1)
取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，，所以△DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积；
(2)
设，则，，由（1）知：，，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知：
，
则
其中，且，，故，
由第一问可知，又是的中点，所以，所以，
因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为.
【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案.
22．（1）详见解析；（2）.
【解析】
【详解】
（1）分析题意可知在上单调，从而可知
，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知
，再由可得，
，即可得证.
试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..
考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页