沪科版八年级上册15.3.3等腰三角形的判定（ 第3课时）课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定
1.掌握等腰三角形的判定定理，运用定理进行论证和证明;(重点)
2.掌握等边三角形的判定定理.(重点)
3.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)
学习目标
等腰三角形有哪些性质？
1.等腰三角形的两底角相等．
（简写成 “等边对等角”）
A
B
C
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
知识回顾
2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（ 简写成“三线合一” ）
A
B
C
D
∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，
AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC， AD⊥BC （已知）
∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
知识讲解
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
3cm
3cm
测量后发现AB与AC相等
探究1：等腰三角形的判定
定理：有两个角相等的三角形是等
腰三角形.(等角对等边)
等腰三角形的判定定理：
归纳总结
应用格式：
在△ABC中，
∵∠B=∠C， （已知）
∴ AC=AB. （等角对等边）
即△ABC为等腰三角形.
B
C
A
(
(
已知：如图，在△ABC中，
求证：AB=AC.
证明：
过点A作AD⊥BC,D为垂足，
则∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）.
∠B=∠C ( 已知 ),
∠ADB=∠ADC ( 已证 ),
AD=AD (公共边),
∴ △ADB ≌ △ADC (SAS).
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等).
在△ADB和△ADC中，
A
B
C
D
∠B=∠C.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
探究2：等边三角形的判定
A
B
C
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
推论1 三个角相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
A
C
B
60°
【验证】
证明：在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°, ∴∠B =60°．
延长BC 到D，使CD =BC，连接AD，则△ACD≌ △ACB (SAS).
∴AD=AB,∠BAC=∠DAC=30°,∠BAD=60°.
则△ABD 是等边三角形． ∴BD=AB.
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
∴　BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
探究3：含30°角的直角三角形的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，　　
A
B
C
∴ BC = AB．　　
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
例1.已知：如图，AB=DC,BD=CA,
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）
∴AE=DE(等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形。
例题讲解
例2 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例题讲解
例3 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.
解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a．
（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）
例4 如图,上午10 时，一条船从A处出发以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°方向上.
（1）画出暗礁C的位置；
（2）求从B处到暗礁C的距离.
60°
30°
N
B
A
C
北
解 (1)以B为顶点,向北偏西60作角,这角一边与
AC交于点C,则点C为礁石所在地.
(2)∵∠ACB=60°-30°=30°,(三角形的外角性质)
又∵∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BAC，∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20( mile),
∴ BC =20 ( mile).
即从B处到礁石C的距离是20 mile.
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
9
2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=_____ ．
A
B
C
3
30°
6
随堂训练
3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
证明:
∵ AB=BC，
∴△ABC是等边三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
4.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．
求证:BD=
D
A
C
B
30°
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC= ∠B=60°．
∴∠BCD=30°，
∴BD=
∴BD=
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=　BD．
又∵BC= 　AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
5．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB．
求证：∠BAC=30°．
C
B
A
D
2.等边三角形的判定:
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.特殊的直角三角形的性质:
（1）在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
（2）拓展：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
4.数学方法：分类的思想．
课堂小结
1.等腰三角形的判定：
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）.