4.2.2　比较线段的长短 同步练习（含答案）

4.2　直线、射线、线段
4.2.2　比较线段的长短
【知识梳理】
1．线段长短的比较：比较两条线段的长短，我们可以用刻度尺分别测量出它们的 来比较，即度量法，或者把其中的一条线段移到 段上作比较，即叠合法．
2．把一条线段分成 相等线段的点，叫做这条线段的中点．
【基础强化】
知识点1　线段的尺规作图和线段的和差计算
1.尺规作图所用的作图工具是( )
A.刻度尺和圆规 B.刻度尺
C.无刻度的直尺和圆规 D.圆规
2.在直线l上取三点A,B,C,使线段AB＝8 cm,AC＝3 cm,则线段BC的长为( )
A.5 cm B.8 cm C.5 cm或8 cm D.5 cm或11 cm
3.【信阳期末】如图，点C是线段AB的中点，下列式子：①AB＝2AC；②2BC＝AB；③AC＝BC；④AC＋BC＝AB.其中正确的有( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.用直尺和圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:线段a,b.
求作:线段AB,使AB＝a＋b.
知识点2　线段的大小比较
5.七年级(1)班的同学举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出较长的绳子，最合适的方法是(　　)
A．把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的为长绳
B．把两条绳子接在一起
C．把两条绳子重合，观察端点的情况
D．没有办法挑选
6.如图,用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短,其中正确的是( )
A.A'B'＞AB B.A'B'＝AB C.A'B'＜AB D.没有刻度尺,无法确定
7.如图,比较线段a和线段b的长度,结果正确的是( )
A.a＞b B.a＜b C.a＝b D.无法确定
8.如图，已知AD＞BC，则AC与BD的关系是( )
A.AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．无法确定
9.如图，比较图中线段的大小：
AB_____AC，AB_____BC.(用“＞”或“＜”填空)
知识点3　线段的中点
10.如果点B在线段AC上,那么下列等式中:①AB＝AC;②AB＝BC;③AC＝2AB;④AB＋BC＝AC.其中能表示B是线段AC的中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，则下列判断中错误的是(　　)
A．CD＝AB B．AD＝AB－BD C．AB＝BC＋2CD D．AD＝2CD
12.如图,线段AB＝8 cm,C是AB的中点,点D在CB上,DB＝1.5 cm.求线段CD的长度.
【知能提升】
一、选择题
1.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法中错误的是(　　)
A．如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么ABB．如果点A，C重合，点B落在线段CD的内部．那么ABC．如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB>CD
D．如果点B，D重合，点A，C位于点B的同侧，且点A落在线段CD的外部，那么AB>CD
2.体育课上,小悦在点O处进行了四次铅球试投,铅球分别落在图中的M,N,P,Q四个点处,则表示他最好成绩的点是( )
A.M B.N C.P D.Q
3.如图，点D是AB的中点，点E是BC的中点，若AC＝8，EC＝3，则AD＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．5
4.【2022石家庄期末】如图,延长线段AB到C,使BC=AB,若AC=15,点D为线段AC的中点,则BD的长为(　　)
A.4.5 B.3.5 C.2.5 D.1.5
5.【2021盐城期末】点C在线段AB上,下列条件中,不能确定点C是线段AB的中点的是(　　)
A.AC=BC B.AC+BC=AB C.AB=2AC D.BC=AB
6.在一条直线上,依次有E,F,G,H四个点.若F是线段EG的中点,G是线段FH的中点,则有( )
A.EF＝2GH B.EF＞GH C.EF＞2GH D.EF＝GH
7.已知C是线段AB的三等分点,D是线段AC的中点,E是线段BC的中点.若CE＝6,则AB的长为( )
A.18 B.36 C.16或24 D.18或36
8.【2021·包头中考】已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为( )
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
9.【2022佛山南海区期末】如图,点C是线段AB上任意一点(不与端点重合),点M是AB的中点,点P是AC的中点,点Q是BC的中点,给出下列结论:①PQ=MB;②PM=(AM-MC);③PQ=(AQ+AP);④MQ=(MB+MC).其中正确的有(　　)
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个
10.如图,某工厂有三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工30人,15人,10人,且这三点在一条大道上(A,B,C三点在同一条直线上).已知AB＝300米,BC＝600米.为了方便职工上下班,该厂的接送车打算在此路段设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在( )
A.点A B.点B C.AB之间 D.BC之间
二、填空题
11.如图,有一种电子游戏,电子屏幕上有一条直线,在直线上有A,B,C,D四点,且AB＝BC＝CD,点P沿直线l从右向左移动,当出现点P与A,B,C,D四点中的至少两个点距离相等时,就会发出警报,则直线l上会发出警报的点P有　　个.
12.如图,点C在AB上,D是AC的中点,E是BC的中点.若AB＝m,则DE＝ 　 .(用含m的式子表示)
13.如图,C是AB的延长线上一点,D是AC的中点,E是BC的中点.若AB＝m,则DE＝　 　.(用含m的式子表示)
14.【2022金华期末】已知线段MN=10 cm,点C是直线MN上一点,NC=4 cm,若P是线段MN的中点,Q是NC的中点,则线段PQ的长是　　　　cm.
三、解答题
15.已知线段AB＝2,延长线段AB到点C,使BC＝2AB,D是AC的中点.
(1)画出图形;
(2)求线段AC的长;
(3)求线段BD的长.
16.选做题:请在A,B两题中任选一题作答.
A:如图,C,D是线段AB上的两点,已知AC∶CD∶DB＝1∶2∶3,M,N分别为AC,DB的中点.
(1)若AM＝2,求AB的长;
(2)若AD＝6,求CN的长.
B:如图所示,把一根细线绳对折成两条重合的线段AB,点P在线段AB上,且AP∶BP＝2∶3.
(1)若细线绳的长度是100 cm,则图中线段AP的长为　　cm;
(2)从点P处把细线绳剪断后展开,细线绳变成三段,若三段中最长的一段为60 cm,求原来细线绳的长.
我选做　　　　题(填A或B),并写出完整的答题过程.
17.先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的n(n＞1)台机床工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题先“退”到比较简单的情形.
如图1,如果直线上有2台机床,显然设在A1和A2之间的任何地方都可以,因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离.
如图2,如果直线上有3台机床,不难判断,供应站设在中间一台机床A2处最合适,因为如果P不放在A2处,甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离,可是乙还得走从A2到P的这一段,这是多出来的,因此P放在A2处是最佳选择.
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方,有5台机床,P应设在第3台的位置.
问题:(1)有n台机床时,P应设在何处
(2)根据(1)的结论,求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－617|的最小值.
18.如图，已知A，B，C是数轴上三点，O是原点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12.
(1)求点A，B表示的数；
(2)动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t(t>0)秒．
①求数轴上点M，N表示的数；(用含t的式子表示)
②当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点？
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参考答案
【知识梳理】
1．线段长短的比较：比较两条线段的长短，我们可以用刻度尺分别测量出它们的长度 来比较，即度量法，或者把其中的一条线段移到另一条线 段上作比较，即叠合法．
2．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
【基础强化】
知识点1　线段的尺规作图和线段的和差计算
1.尺规作图所用的作图工具是( C )
A.刻度尺和圆规 B.刻度尺
C.无刻度的直尺和圆规 D.圆规
2.在直线l上取三点A,B,C,使线段AB＝8 cm,AC＝3 cm,则线段BC的长为( D )
A.5 cm B.8 cm C.5 cm或8 cm D.5 cm或11 cm
3.【信阳期末】如图，点C是线段AB的中点，下列式子：①AB＝2AC；②2BC＝AB；③AC＝BC；④AC＋BC＝AB.其中正确的有( D )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.用直尺和圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:线段a,b.
求作:线段AB,使AB＝a＋b.
解:如图所示,线段AB即为所求.
知识点2　线段的大小比较
5.七年级(1)班的同学举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出较长的绳子，最合适的方法是(　A　)
A．把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的为长绳
B．把两条绳子接在一起
C．把两条绳子重合，观察端点的情况
D．没有办法挑选
6.如图,用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短,其中正确的是( C )
A.A'B'＞AB B.A'B'＝AB C.A'B'＜AB D.没有刻度尺,无法确定
7.如图,比较线段a和线段b的长度,结果正确的是( B )
A.a＞b B.a＜b C.a＝b D.无法确定
8.如图，已知AD＞BC，则AC与BD的关系是( A )
A.AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．无法确定
9.如图，比较图中线段的大小：
AB__＞___AC，AB__＜___BC.(用“＞”或“＜”填空)
知识点3　线段的中点
10.如果点B在线段AC上,那么下列等式中:①AB＝AC;②AB＝BC;③AC＝2AB;④AB＋BC＝AC.其中能表示B是线段AC的中点的有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，则下列判断中错误的是(　D　)
A．CD＝AB B．AD＝AB－BD C．AB＝BC＋2CD D．AD＝2CD
12.如图,线段AB＝8 cm,C是AB的中点,点D在CB上,DB＝1.5 cm.求线段CD的长度.
解:由题知CB＝×8＝4(cm),
所以CD＝CB－DB＝4－1.5＝2.5(cm).
【知能提升】
一、选择题
1.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法中错误的是(　C　)
A．如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么ABB．如果点A，C重合，点B落在线段CD的内部．那么ABC．如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB>CD
D．如果点B，D重合，点A，C位于点B的同侧，且点A落在线段CD的外部，那么AB>CD
2.体育课上,小悦在点O处进行了四次铅球试投,铅球分别落在图中的M,N,P,Q四个点处,则表示他最好成绩的点是( C )
A.M B.N C.P D.Q
3.如图，点D是AB的中点，点E是BC的中点，若AC＝8，EC＝3，则AD＝(　A　)
A．1 B．2 C．4 D．5
4.【2022石家庄期末】如图,延长线段AB到C,使BC=AB,若AC=15,点D为线段AC的中点,则BD的长为(　A　)
A.4.5 B.3.5 C.2.5 D.1.5
【解析】解法一　因为AC=15,点D为线段AC的中点,所以CD=AC=7.5.因为BC=AB,所以BC=AC=3,所以BD=CD-BC=7.5-3=4.5.
解法二　设BC=x,则AB=4x,所以AC=AB+BC=4x+x=5x.因为AC=15,所以x=3,所以AB=12.因为D是AC的中点,所以AD=AC=×15=7.5,所以BD=AB-AD=12-7.5=4.5.
5.【2021盐城期末】点C在线段AB上,下列条件中,不能确定点C是线段AB的中点的是(　B　)
A.AC=BC B.AC+BC=AB C.AB=2AC D.BC=AB
6.在一条直线上,依次有E,F,G,H四个点.若F是线段EG的中点,G是线段FH的中点,则有( D )
A.EF＝2GH B.EF＞GH C.EF＞2GH D.EF＝GH
7.已知C是线段AB的三等分点,D是线段AC的中点,E是线段BC的中点.若CE＝6,则AB的长为( D )
A.18 B.36 C.16或24 D.18或36
8.【2021·包头中考】已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为( C )
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
9.【2022佛山南海区期末】如图,点C是线段AB上任意一点(不与端点重合),点M是AB的中点,点P是AC的中点,点Q是BC的中点,给出下列结论:①PQ=MB;②PM=(AM-MC);③PQ=(AQ+AP);④MQ=(MB+MC).其中正确的有(　C　)
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个
【解析】对于①,因为点P是AC的中点,点Q是BC的中点,所以PQ=PC+CQ=AC+CB=AB.因为点M是AB的中点,所以MB=AB,所以PQ=MB,①正确.对于②,因为点M是AB的中点,点P是AC的中点,所以PM=AM-AP=AB-AC=CB,又AM-MC=BM-MC=BC,所以PM=(AM-MC),②正确.对于③,由①知PQ=AB,由已知无法得出AQ+AP=AB,③错误.对于④,因为点M是AB的中点,点Q是BC的中点,所以MQ=AB-BC=AC,又MB+MC=AM+MC=AC,所以MQ=(MB+MC),④正确.
10.如图,某工厂有三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工30人,15人,10人,且这三点在一条大道上(A,B,C三点在同一条直线上).已知AB＝300米,BC＝600米.为了方便职工上下班,该厂的接送车打算在此路段设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在( A )
A.点A B.点B C.AB之间 D.BC之间
二、填空题
11.如图,有一种电子游戏,电子屏幕上有一条直线,在直线上有A,B,C,D四点,且AB＝BC＝CD,点P沿直线l从右向左移动,当出现点P与A,B,C,D四点中的至少两个点距离相等时,就会发出警报,则直线l上会发出警报的点P有　5　个.
12.如图,点C在AB上,D是AC的中点,E是BC的中点.若AB＝m,则DE＝ m　.(用含m的式子表示)
13.如图,C是AB的延长线上一点,D是AC的中点,E是BC的中点.若AB＝m,则DE＝ m　.(用含m的式子表示)
14.【2022金华期末】已知线段MN=10 cm,点C是直线MN上一点,NC=4 cm,若P是线段MN的中点,Q是NC的中点,则线段PQ的长是　　　　cm.
【答案】3或7　
【解析】因为P是线段MN的中点,Q是线段NC的中点,所以PN=MN=5 cm,QN=NC=2 cm.①当点C在线段MN上时,如图1,PQ=PN-QN=5-2=3(cm);②当点C在线段MN的延长线上时,如图2,PQ=PN+QN=5+2=7(cm);③点C在线段MN的反向延长线上时,不符合题意.综上,线段PQ的长为3 cm或7 cm.
三、解答题
15.已知线段AB＝2,延长线段AB到点C,使BC＝2AB,D是AC的中点.
(1)画出图形;
(2)求线段AC的长;
(3)求线段BD的长.
解:(1)如图所示,即为所求作的图形.
(2)因为线段AB＝2,所以BC＝2AB＝4,
所以AC＝AB＋BC＝6,即线段AC的长为6.
(3)因为D是AC的中点,所以AD＝AC＝3,
所以BD＝AD－AB＝3－2＝1,即线段BD的长为1.
16.选做题:请在A,B两题中任选一题作答.
A:如图,C,D是线段AB上的两点,已知AC∶CD∶DB＝1∶2∶3,M,N分别为AC,DB的中点.
(1)若AM＝2,求AB的长;
(2)若AD＝6,求CN的长.
B:如图所示,把一根细线绳对折成两条重合的线段AB,点P在线段AB上,且AP∶BP＝2∶3.
(1)若细线绳的长度是100 cm,则图中线段AP的长为　20　cm;
(2)从点P处把细线绳剪断后展开,细线绳变成三段,若三段中最长的一段为60 cm,求原来细线绳的长.
我选做　　　　题(填A或B),并写出完整的答题过程.
A:解:(1)AB＝AC＋CD＋DB＝24.
(2)CN＝CD＋DN＝7.
B:解:(2)设AP＝2x,BP＝3x.
若该绳子沿点B对折成线段AB,则剪断后的三段绳子长分别为2x,2x,6x,
则6x＝60,解得x＝10,
所以绳子的原长＝2x＋2x＋6x＝100cm;
若该绳子沿点A对折成线段AB,则剪断后的三段绳子长分别为4x,3x,3x,则4x＝60,解得x＝15,
所以绳子的原长＝4x＋3x＋3x＝150cm.
综上所述,绳子的原长为100 cm或150 cm.
17.先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的n(n＞1)台机床工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题先“退”到比较简单的情形.
如图1,如果直线上有2台机床,显然设在A1和A2之间的任何地方都可以,因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离.
如图2,如果直线上有3台机床,不难判断,供应站设在中间一台机床A2处最合适,因为如果P不放在A2处,甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离,可是乙还得走从A2到P的这一段,这是多出来的,因此P放在A2处是最佳选择.
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方,有5台机床,P应设在第3台的位置.
问题:(1)有n台机床时,P应设在何处
(2)根据(1)的结论,求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－617|的最小值.
解:(1)当n为偶数时,P应设在第台的位置.
(2)根据绝对值的几何意义,求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－617|的最小值,就是在数轴上找出表示x的点,使它到表示1,…,617各点的距离之和最小.根据问题(1)的结论,当x＝309时,原式的值最小,最小值是308＋307＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝95172.
18.如图，已知A，B，C是数轴上三点，O是原点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12.
(1)求点A，B表示的数；
解：由点C表示的数为6，可得OC＝6，
所以OB＝OC－BC＝6－4＝2，
所以点B表示的数为2.
因为AB＝12，所以OA＝AB－OB＝12－2＝10，
所以点A表示的数为－10.
(2)动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t(t>0)秒．
①求数轴上点M，N表示的数；(用含t的式子表示)
解：①依题意，得AP＝6t，
因为点M为线段AP的中点，
所以AM＝AP＝3t，所以点M表示的数为3t－10.
依题意，得CQ＝3t，CN＝CQ＝t，
所以点N表示的数为6－t.
②当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点？
解：②依题意，得AP＝6t，CQ＝3t，
所以点P表示的数为－10＋6t，点Q表示的数为6－3t，
因为原点O恰为线段PQ的中点，
所以－10＋6t＋6－3t＝0，解得t＝.
所以t为时，原点O恰为线段PQ的中点．