第2课时 公理、定理与证明
考向题组训练
命题点 1 公理与定理
1.下面关于公理和定理的说法不正确的是 ( )
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理,定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性不需证明,定理的正确性需证明
2.将弯曲的道路改直,根据什么可以说明这样做能缩短路程 ( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
3.下列叙述,错误的是 ( )
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有定理都是命题
D.所有公理都是命题
4.下列命题不是公理(基本事实)的是 ( )
A.两点确定一条直线
B.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
D.三边分别相等的两个三角形全等
5.下列命题中,不是定理的是 ( )
A.直角三角形两锐角互余
B.两直线平行,同旁内角互补
C.同角的补角相等
D.相等的角是对顶角
命题点 2 真命题的证明
6.下列推理中,错误的是 ( )
A.∵AB=CD,CD=EF,∴AB=EF
B.∵∠α=∠β,∠β=∠γ,∴∠α=∠γ
C.∵a>b,b>c,∴a>c
D.∵AB⊥EF,EF⊥CD,∴AB⊥CD
7.如图已知直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,∠FOB=∠DOE.求证:AO⊥OE.
8.如图一条光线AO射到墙上的镜子CD上后沿OB方向反射出去,已知OM⊥CD,∠1=∠2.
求证:∠2+∠3=90°.
9.如图C是△ABD的边BD上的一点,且AC=BC,求证:BD>AD.
10.写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程.
命题:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).
已知:如图 .
求证: .
11.证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的中点的距离相等”.
思维拓展培优
12.如图已知AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,C为BD上一点,且AB=CD,BC=DE,那么AC与CE有什么数量关系和位置关系 写出你的猜想,并写出证明过程.
13.如图点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE.有下列三个关系式:①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以其中的两个作为命题的条件,第三个作为命题的结论,构成三个命题:①② ③;①③ ②;②③ ①.
(1)以上三个命题是真命题的为 (直接作答);
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).
答案
第2课时 公理、定理与证明
1.B 2.B 3.B 4.C
5.D 直角三角形两锐角互余,A是定理;两直线平行,同旁内角互补,B是定理;同角的补角相等,C是定理;相等的角不一定是对顶角,D不是定理.故选D.
6.D
7.证明:∵OF⊥CD(已知),
∴∠DOF=90°(垂直的定义).
∴∠FOB+∠BOD=90°.
∵∠FOB=∠DOE(已知),
∴∠DOE+∠BOD=90°(等量代换),
即∠BOE=90°.
∴AO⊥OE(垂直的定义).
8.证明:∵OM⊥CD(已知),
∴∠1+∠3=90°(垂直的定义).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠2+∠3=90°(等量代换).
9.证明:∵AC+DC>AD(三角形两边之和大于第三边),AC=BC(已知),
∴BC+DC>AD(等量代换).
∵BC+DC=BD(已知),
∴BD>AD(等量代换).
10.解:已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.
求证:AB=AC.
证明:如图,过点A作AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中,
∵∠ADB=∠ADC,∠B=∠C,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
11.解:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为边BC,AB,AC的中点.
求证:DE=DF.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
∵D,E,F分别为边BC,AB,AC的中点,
且AB=AC,
∴BE=CF,BD=CD(中点的性质).
∴△BDE≌△CDF(SAS).
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).
12.解:AC=CE,AC⊥CE.
证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
又∵AB=CD,BC=DE,
∴△ABC≌△CDE.
∴AC=CE,∠A=∠DCE.
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠B=90°,
∴∠A+∠ACB=90°.
∴∠ACB+∠DCE=90°.
∴∠ACE=90°,
即AC⊥CE.
13.解:(1)①② ③,①③ ②,②③ ①
(2)答案不唯一,如选择①③ ②,证明如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE.第1课时 定义与命题
考向题组训练
命题点 1 定义
1.在学完定义与命题后,小林在笔记本上记下了几个定义:①如果一个整式方程含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,那么这个整式方程就叫做二元一次方程;②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形;③正比例函数是特殊的一次函数.其中你认为正确的是 .(填写序号)
命题点 2 命题及其组成
2.下列语句是命题的是 ( )
A.同角的余角相等
B.作直线AB的垂线
C.一个数的平方一定是非负数吗
D.圆的周长
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是 ( )
A.如果两条直线垂直于同一条直线
B.两条直线互相平行
C.两条直线互相垂直
D.两条直线垂直于同一条直线
4.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出其条件和结论.
(1)两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等;
(2)全等的两个三角形的面积相等.
命题点 3 命题的真假
5.下列命题中是真命题的是 ( )
A.若实数a,b满足a<0,b<0,则ab<0
B.三角形的三条高都位于三角形的内部
C.无限小数都是无理数
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.下列命题中,为假命题的是 ( )
A.若a3<0,则a是一个负数
B.若|a|=a,则a≥0
C.若a2=b2,则a=b
D.若a>b,则2a>2b
7.有下列命题:①两点之间,线段最短;②相等的角是对顶角;③同位角相等;④过一点有且只有一条直线与这条直线平行.其中真命题有 .(填序号)
8.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假.
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
(2)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3;
(3)锐角小于它的余角;
(4)三边分别相等的两个三角形全等.
命题点 4 说明一个命题是假命题
9.已知命题A:任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中,可以作为“命题A是假命题”的反例的是 ( )
A.2k B.15 C.24 D.42
10.判断下列命题的真假,若是假命题,请举出一个反例.
(1)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;
(2)若a+b=0,则ab=0;
(3)若ab=0,则a+b=0.
11.已知P=n2+n+17(n是自然数).
(1)填表:
n的值 0 1 2 3 4 5 6
P的值 17 19 23
(2)小欣归纳总结出一个命题:n为任意自然数时,相应P的值都是质数.你认为这个命题是
(填“真命题”或“假命题”).如果是真命题,请说明理由;如果是假命题,请举出一个反例.
思维拓展培优
12.在平面直角坐标系中,任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),规定运算:
①A B=(x1+x2,y1+y2);②A B=x1x2+y1y2;③当x1=x2且y1=y2时,A=B.
有下列四个命题:(1)若A(1,2),B(2,-1),则A B=(3,1),A B=0;(2)若A B=B C,则A=C;(3)若A B=B C,则A=C;(4)对任意点A,B,C,均有(A B) C=A (B C)成立.其中正确命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.试用举反例的方法说明下面的命题是假命题:
两个三角形中,两边及其中一边的对角分别相等,则这两个三角形全等.
答案
第1课时 定义与命题
1.①② ①是二元一次方程的定义,②是三角形的定义,③不是一次函数的定义.
2.A 3.D
4. 先把命题改写成“如果……那么……”的形式,再判断条件和结论.
解:(1)如果两个三角形的两角和其中一角的对边分别相等,那么这两个三角形全等.
条件:两个三角形的两角和其中一角的对边分别相等.结论:这两个三角形全等.
(2)如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.
条件:两个三角形全等.结论:这两个三角形的面积相等.
5.D A项,如果a<0,b<0,那么ab>0,所以A选项不符合题意;B项,钝角三角形两短边上的高位于三角形的外部,所以B选项不符合题意;C项,无限不循环小数是无理数,无限循环小数是有理数,所以C选项不符合题意;D项,在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以D选项符合题意.故选D.
6.C
7.① ①两点之间,线段最短,是真命题;
相等的角不一定是对顶角,故②是假命题;
两直线平行,同位角相等,故③是假命题;
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,故④是假命题.
8.解:(1)条件:两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.结论:这两条直线平行.真命题.
(2)条件:∠1=∠2,∠2=∠3.结论:∠1=∠3.真命题.
(3)条件:一个角是锐角.结论:这个角小于它的余角.假命题.
(4)条件:两个三角形的三条边分别相等.结论:这两个三角形全等.真命题.
9.D
10.解:(1)假命题.反例:如两条直线平行,内错角相等.
(2)假命题.反例:如a=3,b=-3,a+b=0,ab≠0.
(3)假命题.反例:如a=5,b=0,ab=0,a+b≠0.
11.解:(1)n=3时,P=n2+n+17=9+3+17=29;n=4时,P=n2+n+17=16+4+17=37;n=5时,P=n2+n+17=25+5+17=47;n=6时,P=n2+n+17=36+6+17=59.
故表中依次填29,37,47,59.
(2)假命题.
例如:当n=17时,P=172+17+17=17×19,P为合数.
12.C 设C(x3,y3).
(1)A B=(1+2,2-1)=(3,1),A B=1×2+2×(-1)=0,故(1)正确;
(2)A B=(x1+x2,y1+y2),B C=(x2+x3,y2+y3),而A B=B C,
所以x1+x2=x2+x3,y1+y2=y2+y3,则x1=x3,y1=y3,
所以A=C,故(2)正确;
(3)A B=x1x2+y1y2,B C=x2x3+y2y3,
而A B=B C,则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3,
不一定能得到x1=x3,y1=y3,
所以A不一定等于C,故(3)不正确;
(4)因为(A B) C=(x1+x2+x3,y1+y2+y3),A (B C)=(x1+x2+x3,y1+y2+y3),
所以(A B) C=A (B C),故(4)正确.
故选C.
13.解:如图所示,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠ABD=∠ABC,但△ABC与△ABD显然不全等,
所以这个命题是假命题.
