第1课时 三角形内角和定理
考向题组训练
命题点 1 与三角形内角和有关的计算
1.(2021毕节)将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为 ( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
2.(2021陕西)如图点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的度数为 ( )
A.60° B.70° C.75° D.85°
3.如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB.若∠BOC=110°,则∠A= °.
4.如图直线l1∥l2,Rt△ABC的两个顶点A,B在直线l2上,∠ACB=90°,E,F分别是直线l2,l1上的点,AD平分∠CAE交l1于点D.若∠ABC=40°,求∠ADF的度数.
命题点 2 与三角形内角和有关的证明与探究
5.如图△ABC是一块试验田,管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处的途中身体共转过 ( )
A.90° B.180° C.270° D.360°
6.如是A,B,C三个岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35°方向,B岛在A岛的北偏东65°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.
(1)求从B岛看A,C两岛的视角∠ABC的度数;
(2)求从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数;
(3)聪明的佳佳同学发现解决第(2)问,可以不用“B岛在A岛的北偏东65°方向”这个条件,你知道佳佳是怎样求的吗
思维拓展培优
7.如图在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论.小明通过这学期的学习知道:由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
受到实验方法1的启发,小明形成了证明该结论的想法:实验1的拼接方法直观上看,是把∠1和∠2移动到∠3的右侧,且使这三个角的顶点重合,如果把这种拼接方法抽象为几何图形,那么利用平行线的性质也可以解决问题.
小明的证明过程如下:
已知:如图△ABC.
求证:∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
证明:延长BC,过点C作CM∥BA,
则∠BAC=∠1(两直线平行,内错角相等),
∠ABC=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
请你参考小明解决问题的思路与方法,写出通过实验方法2证明该结论的过程.
8.如①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,E为垂足,∠B=40°,∠C=70°.
(1)求∠DAE的度数;
(2)如图②,若把“AE⊥BC,E为垂足”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC,E为垂足”,其他条件不变,求∠DFE的度数;
(3)如图③,若把“AE⊥BC,E为垂足”变成“EA平分∠BEC”,其他条件不变,∠DAE的大小是否变化 请说明理由.
答案
第1课时 三角形内角和定理
1.B 2.B
3.40 ∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB).
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∴∠BOC=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.
∵∠BOC=110°,
∴90°+∠A=110°.
∴∠A=40°.
4.解:∵∠ABC=40°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=50°.
∴∠CAE=180°-50°=130°.
∵AD平分∠CAE,
∴∠DAE=65°.
∵l1∥l2,
∴∠ADF=∠DAE=65°.
5.D 如图,分别延长BC,CA,AB.
由图可知,管理员从出发到回到原处的途中身体转过的角度之和为∠1+∠2+∠3.而∠1=180°-∠ACB,∠2=180°-∠BAC,∠3=180°-∠ABC,且∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°,
∴∠1+∠2+∠3=540°-(∠ACB+∠BAC+∠ABC)=540°-180°=360°.
6.解:(1)由DA∥BE,得∠DAB+∠ABE=180°,
所以∠ABE=180°-∠DAB=180°-65°=115°.
所以∠ABC=∠ABE-∠CBE=115°-40°=75°.
(2)∠CAB=∠DAB-∠DAC=65°-35°=30°.
在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=75°.
(3)知道.如图,过点C作CF∥AD,则CF∥BE,
所以∠FCA=∠DAC=35°,
∠FCB=∠EBC=40°.
所以∠ACB=∠FCA+∠FCB=75°.
7.解:已知:如图,△ABC.
求证:∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.
证明:过点A作MN∥BC,
则∠2=∠ABC,∠3=∠ACB(两直线平行,内错角相等).
∵∠2+∠1+∠3=180°(平角的定义),
∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°.
8.解:(1)∵∠B=40°,∠C=70°,
∴∠BAC=70°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=35°.
∴∠ADB=180°-40°-35°=105°.
∴∠ADE=180°-∠ADB=75°.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°.
∴∠DAE=90°-∠ADE=15°.
(2)同(1),可得∠ADE=75°.
∵FE⊥BC,
∴∠FEB=90°.
∴∠DFE=90°-∠ADE=15°.
(3)结论:∠DAE的大小不变.
理由:∵EA平分∠BEC,
∴∠AEB=∠AEC.
∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE.
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE,∠BAE=∠BAD+∠DAE,
∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∴2∠DAE=∠C-∠B=30°.
∴∠DAE=15°.第2课时 三角形的外角及性质
考向题组训练
命题点 1 三角形的外角
1.如图△ABC的外角是 ( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
2.如图四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是BC边上一点,连接AE,OE,则下列角中是△AEO的外角的是 ( )
A.∠AEB B.∠AOD C.∠OEC D.∠EOC
命题点 2 利用三角形外角性质求角度
3.(2021乐山)如图已知直线l1,l2,l3两两相交,且l1⊥l3,若∠α=50°,则∠β的度数为( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
4.(2021本溪)一副三角尺如图所示摆放,若∠1=80°,则∠2的度数是 ( )
A.80° B.95° C.100° D.110°
5.如图∠ABD,∠ACD的平分线交于点P.若∠A=55°,∠D=15°,则∠P的度数为
( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,∠DAC=10°,AE是△ABC的外角∠CAM的平分线,BF平分∠ABC,交AE于点F.若∠ABC=46°,求∠AFB的度数.
命题点 3 利用三角形外角性质证明角度之间的关系
7.如图∠1,∠2,∠3,∠4满足的关系是 ( )
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4-∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2-∠3
8.如图直线l1,l2被直线l3所截,且l1∥l2,过l1上的点A作AB⊥l3于点B,其中∠1<30°,则下列结论一定正确的是 ( )
A.∠2>120° B.∠3<60°
C.∠4-∠3>90° D.2∠3>∠4
9.如图在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E是AD上一点.
求证:(1)∠BED>∠C;
(2)∠AEB=∠EBD+∠C+∠CAD.
10.如图在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D.
(1)如图①,猜想∠AOC与∠ODC的关系,并说明理由;
(2)如图②,作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F,求证:BF∥OD.
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11.探索归纳:
(1)如①,已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2等于
( )
A.90° B.135° C.270° D.315°
(2)如图②,已知在△ABC中,剪去∠A后得到四边形BCEF,试探究∠1+∠2与∠A的关系,并说明理由;
(3)若没有将∠A剪掉,而是把它折成如图③的形状,试探究∠1+∠2与∠A的关系,并说明理由.
答案
第2课时 三角形的外角及性质
1.C 2.D
3.C 如图,根据对顶角相等,得∠1=∠α=50°.
∵l1⊥l3,
∴∠2=90°.
∵∠β是三角形的外角,
∴∠β=∠1+∠2=50°+90°=140°.
故选C.
4.B 如图.∵∠5=90°-30°=60°,∠3=∠1-45°=35°,
∴∠4=∠3=35°,
∴∠2=∠4+∠5=95°.
故选B.
5.B 如图,延长PC交BD于点E.
∵∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.①
由三角形的内角和定理得∠A+∠1=∠P+∠3.②
∵∠5=∠2+∠P,∠5=∠4-∠D,
∴∠2+∠P=∠4-∠D.③
由②-③,再结合①,得∠A-∠P=∠P+∠D,
∴∠P=(∠A-∠D).
∵∠A=55°,∠D=15°,
∴∠P=×(55°-15°)=20°.
故选B.
6.解:∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-46°=44°.
又∵∠DAC=10°,∴∠BAC=54°.
∴∠MAC=180°-54°=126°.
∵AE是∠MAC的平分线,
∴∠MAE=∠MAC=63°.
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠ABC=23°.
∴∠AFB=∠MAE-∠ABF=40°.
7.D 如图,由三角形外角的性质可得∠1+∠4=∠5,∠2=∠5+∠3,
∴∠1+∠4=∠2-∠3.故选D.
8.D ∵AB⊥l3,
∴∠ABC=90°.
∵∠1<30°,
∴∠ACB=90°-∠1>60°.
∴∠2<120°.
∵直线l1∥l2,
∴∠3=∠ACB>60°.
∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3<60°.
∵∠4=∠2<120°,2∠3>120°,
∴2∠3>∠4.
故选D.
9.证明:(1)在△ABC中,∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠ABC+∠BAD=90°.
∴∠C=∠BAD.
∵∠BED>∠BAD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),
∴∠BED>∠C.
(2)∵∠ADB是△ADC的外角,
∴∠ADB=∠C+∠CAD.
∵∠AEB是△EBD的外角,
∴∠AEB=∠EBD+∠EDB.
∴∠AEB=∠EBD+∠C+∠CAD.
10.解:(1)∠AOC=∠ODC.
理由:∵三个内角的平分线交于点O,
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=(180°-∠ABC).
∵∠OBC=∠ABC,
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=90°+∠ABC=90°+∠OBC.
∵OD⊥OB,
∴∠BOD=90°.
∴∠ODC=90°+∠OBD.
∴∠AOC=∠ODC.
(2)证明:∵BF平分∠ABE,
∴∠EBF=∠ABE=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC=90°-∠OBD.
∵∠ODB=90°-∠OBD,
∴∠EBF=∠ODB.
∴BF∥OD.
11.解:(1)C
(2)∠1+∠2=∠A+180°.
理由:∵∠1,∠2为△AEF的外角,
∴∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A+∠AFE.
∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AEF+∠AFE.
又∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°,
∴∠1+∠2=∠A+180°.
(3)∠1+∠2=2∠A.
理由:∵△EFP是由△EFA折叠得到的,
∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF.
∴∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF.
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF).
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A,
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.
