第1课时 极差、方差与标准差
考向题组训练
命题点 1 极差的计算及应用
1.已知下列数据:75,80,85,85,85,则这组数据的众数和极差分别是 ( )
A.85,10 B.85,5 C.80,85 D.80,10
2.如果一组数据1,3,2,5,x的平均数为3,那么这组数据的极差是 .
3.已知一组数据5,-2,3,x,3,-2,若这组数据没有众数,则这组数据的极差是 .
4.已知一组数据-1,0,2,3,x的极差为6.
(1)求x的值;
(2)求这组数据的平均数.
命题点 2 方差的计算及应用
5.甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是=1.2,=1.1,=0.6,=0.9,则射击成绩最稳定的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.某班有40人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试,因此计算其他39人的平均分为90分,方差s2=41.后来小亮进行了补测,成绩为90分,关于该班40人的测试成绩,下列说法正确的是 ( )
A.平均分不变,方差变大 B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都改变
7.若一组数据a1,a2,a3的平均数为4,方差为3,则数据a1+2,a2+2,a3+2的平均数和方差分别为
( )
A.4,3 B.6,3 C.3,4 D.6,5
8.(2021包头)某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差为 .
9.称量五筐水果的质量,若每筐以50千克为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数.甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图()(单位:千克).
实际称量读数和记录数据统计表
序号 数据 1 2 3 4 5
甲组 48 52 47 49 54
乙组 -2 2 -3 -1 4
(1)补充完整乙组数据的折线统计图.
(2)①甲、乙两组数据的平均数分别为,,写出与之间的等量关系;
②甲、乙两组数据的方差分别为,,比较与的大小,并说明理由.
10.甲、乙两名同学进行射击训练,在相同条件下各射靶5次,成绩统计如下:
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平,则谁的射击成绩更稳定些
命题点 3 标准差的计算及应用
11.已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是 ( )
A.9 B.3 C. D.
12.某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试(满分20分)的平均成绩是16分.其中三位男生成绩的方差为6,两位女生的成绩分别为17分,15分,则这个学习小组5位同学的成绩的标准差为 ( )
A. B.2 C. D.6
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13.已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据2a,2b,2c的平均数和方差分别是
( )
A.10,2 B.10,8 C.10,16 D.10,10
14.已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差为s2=(++++-20),有下列关于数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2,x5+2的四个说法:①方差为s2;②平均数为2;③平均数为4;④方差为4s2.其中正确的说法是 .(填序号)
答案
第1课时 极差、方差与标准差
1.A 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.众数为85,极差为85-75=10.故选A.
2.4 根据题意得(1+3+2+5+x)÷5=3,解得x=4,
所以极差=5-1=4.
3.7 由题意得x=5,故极差)=7.
4.解:(1)因)=4<6,
所以x为最大值或最小值.
若x为最大值,)=6,解得x=5;
若x为最小值,则3-x=6,解得x=-3.
综上可得,x的值为5或-3.
(2)若x=5,则平均数为=;
若x=-3,则平均数为=.
5.C 由题意可知丙的方差最小,根据方差越小越稳定可知丙的射击成绩最稳定.故选C.
6.B 由于小亮补测的成绩为90分,与平均分相同,
所以该班40人的测试成绩的平均分不变,因为39人的数据与40人的数据相比,增加的成绩与平均分一致,在方差的计算公式中,分母变大(39变成40),分子没有变,
所以方差变小.
7.B 因为数据a1,a2,a3的平均数为4,
所以(a1+a2+a3)=4.
所以(a1+2+a2+2+a3+2)=(a1+a2+a3)+2=4+2=6.
所以数据a1+2,a2+2,a3+2的平均数为6.
因为数据a1,a2,a3的方差为3,
所以[(a1-4)2+(a2-4)2+(a3-4)2]=3.
所以a1+2,a2+2,a3+2的方差为[(a1+2-6)2+(a2+2-6)2+(a3+2-6)2]=[(a1-4)2+(a2-4)2+(a3-4)2]=3.
故选B.
8.3.6 由数据5,10,7,x,10的中位数为8,
则有x=8,
所以这组数据的平均数为(5+10+7+8+10)=8,
则这组数据的方差为s2=[(5-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=3.6.
故答案为3.6.
9.解:(1)补全乙组数据的折线统计图如图所示.
(2)①=50+.
②=.
理由:因为=[(-2-)2+(2-)2+(-3-)2+(-1-)2+(4-)2]=[(48-50-)2+(52-50-)2+(47-50-)2+(49-50-)2+(54-50-)2]=[(48-)2+(52-)2+(47-)2+(49-)2+(54-)2]=,
所以=.
10.解:=×(7×2+8×2+10×1)=8(环);
=×(7×1+8×3+9×1)=8(环).
=×[2×(7-8)2+2×(8-8)2+(10-8)2]=1.2;
=×[(7-8)2+3×(8-8)2+(9-8)2]=0.4.
因为>,
所以乙同学的射击成绩更稳定些.
11.D
12.B 三位男生的成绩的方差为6,设这三位男生的成绩分别为a分,b分,c分,
则5位同学的平均成绩为(a+b+c+17+15)=16,
所以a+b+c==48(分).
则这三位男生的平均成绩也为=16(分),这三位男生的成绩的方差=×[(a-16)2+(b-16)2+(c-16)2]=6,
所以[(a-16)2+(b-16)2+(c-16)2]=6×3=18.
所以这5位同学的成绩的方差=[(a-16)2+(b-16)2+(c-16)2+(17-16)2+(15-16)2]=×(18+1+1)=4.而标准差是方差的算术平方根,
所以这个学习小组5位同学的标准差为2.
故选B.
13.C 由平均数的定义可得,a+b+c=15,那么数据2a,2b,2c的平均数为==10;数据2a,2b,2c的方差是原数据方差的4倍,
所以方差是16.
14.①③第2课时 方差的综合应用
考向题组训练
命题点 1 方差的大小比较
1.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵,每棵产量的平均数(单位:千克)及方差s2如下表所示:
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
s2 2.1 1.9 2 1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植,应选的品种是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.某创意工作室6名员工的月工资如图所示,因业务需要,现决定招聘一名新员工,若新员工的月工资为4500元,则下列关于现在7名员工月工资的平均数和方差的说法正确的是
( )
A.平均数不变,方差变大 B.平均数不变,方差变小
C.平均数不变,方差不变 D.平均数变小,方差不变
3.(2021河南)某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣,现有甲、乙两个厂家提供货源,它们的价格相同,品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测,测得它们的平均质量均为200克/盒,每盒红枣的质量如图所示,则产品更符合规格要求的厂家是
(填“甲”或“乙”).
4.是甲、乙两人10次射击成绩(单位:环)的条形统计图,试比较这两人10次射击命中环数的方差和的大小.
命题点 2 方差与其他统计量的综合应用
5.比较A组,B组中两组数据的平均数及方差,下列说法正确的是 ( )
A.A组,B组平均数及方差分别相等
B.A组,B组平均数相等,B组方差大
C.A组比B组的平均数、方差都大
D.A组,B组平均数相等,A组方差大
6.(2021恩施州)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛.在相同的条件下,分别对甲、乙两名男生进行了八次一分钟跳绳测试,现将测试结果绘制成如下统计图(如)和不完整的统计表,请根据统计图表中的信息解答下列问题:
平均数(个) 中位数(个) 众数(个) 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 180,175,170 c
(1)求a,b的值;
(2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛,你认为应选谁,请说明理由;
(3)根据以上的数据分析,请你运用所学统计知识,任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优.
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7.为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛,对他们进行了一次测验,两人在相同条件下各射击10次,为了比较两人的成绩,制作了如下尚不完整的统计图()和统计表:
甲、乙射击成绩折线统计
甲、乙射击成绩统计表
平均数 (环) 中位数 (环) 方差 命中10环的次数
甲 7 0
乙 1
(1)请补全上述图表.
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出 说明你的理由.
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则 为什么
答案
第2课时 方差的综合应用
1.B 方差体现的是一组数据的稳定情况,方差越小,数据越稳定,故选乙和丁;二者的平均产量乙大于丁,故应选乙进行种植.故选B.
2.B 由题意,得原来6名员工的月工资平均数为4500元,因为新员工的月工资为4500元,
所以现在7名员工月工资的平均数是4500元.
由方差公式可知,7名员工月工资的方差变小.
故选B.
3.甲
4.>
5.D 由图中所示数据,得A组平均数=(3×5-1×4)÷9=;
B组平均数=(2×4+3+0×4)÷9=.
又因为图中A组数据的波动比B组的大,
所以A组数据的方差大.
故选D.
6.解:(1)甲的成绩从小到大排列为160,165,165,175,180,185,185,185,
所以甲的中位数a==177.5.
因为185出现了3次,出现的次数最多,
所以众数b是185.
故a=177.5,b=185.
(2)应选乙.
理由:乙的方差为[2×(175-175)2+2×(180-175)2+2×(170-175)2+(185-175)2+(165-175)2]=37.5.
因为37.5<93.75,
所以乙的方差小于甲的方差,
所以乙的成绩比甲的成绩稳定,
故应选乙.
(3)答案不唯一,如①从平均数和方差相结合看,乙的成绩比较稳定;②从平均数和中位数相结合看,甲的成绩好些.
7.解:(1)根据折线统计图,得乙的射击成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,
则乙成绩的平均数为=7(环),
中位数为7.5环,
方差为×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=5.4;
甲的射击成绩为9,6,7,6,2,7,7, ,8,9,平均数为7环,
则甲第8次的成绩为7×10-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环),
所以甲的射击成绩为9,6,7,6,2,7,7,9,8,9,
中位数为7环,
方差为×[(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(2-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=4.
补全图表如图.
甲、乙射击成绩折线统计
甲、乙射击成绩统计表
平均数(环) 中位数(环) 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7.5 5.4 1
(2)甲应胜出.理由:因为甲的方差小于乙的方差,
所以甲的成绩比较稳定,故甲应胜出.
(3)答案不唯一,如:
应该制定的评判规则为:平均成绩高者胜出;若平均成绩相同,则随着比赛的进行,发挥越来越好者或命中满环(10环)次数多者胜出.
因为甲、乙的平均成绩相同,乙只有第5次射击比第4次射击少命中1环,且命中1次10环,而甲第2次比第1次、第4次比第3次,第5次比第4次、第9次比第8次命中环数都低,且命中10环的次数为0次,即随着比赛的进行,乙的射击成绩越来越好.
