第2课时 验证勾股定理及其简单计算
考向题组训练
命题点 1 验证勾股定理
1.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,图中大正方形的面积用字母c可以表示为 ,用字母a,b可以表示为 ,由此你得到的等式为 ,化简得 .
2.如是一种验证勾股定理的办法,你能利用它验证勾股定理吗 请写出你的验证过程.
命题点 2 利用勾股定理解决问题
3.如图有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两棵树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行( )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
4.如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c的面积分别为5和11,则正方形b的面积为 ( )
A.4 B.6 C.16 D.55
5.(2021宿迁)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何 ”题意是:有一个池塘,其地面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处(如),水深和芦苇长各多少尺 则该问题的水深是 尺.
6.如是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 mm.
7.如图在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13.求这个三角形的面积.
8.如图∠AOB=90°,OA=45 cm,OB=15 cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少厘米
9.如图一架2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上,这时梯子的底端B到墙壁OC的距离OB=0.7 m,当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A'时,底端B沿水平地面向外滑动到点B'.
(1)当AA'=0.4 m时,线段AA'的长度与线段BB'的长度相等吗 你是怎样知道的
(2)是否存在一个点A',使AA'=BB' 若存在,求出点A'的位置;若不存在,说明理由.
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10.勾股定理神秘而美妙,它的验证方法多种多样,其巧妙之处也各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按①或图②摆放时,都可以用“面积法”来验证勾股定理.下面是小聪利用图①验证勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a2+b2=c2.
解:如图①,连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
因为S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
所以b2+ab=c2+a(b-a).
所以a2+b2=c2.
请参照上述验证方法,利用图②完成下面的验证.
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a2+b2=c2.
答案
第2课时 验证勾股定理及其简单计算
1.c2 4×ab+(b-a)2 c2=4×ab+(b-a)2 c2=a2+b2
大正方形的边长为c,面积为c2,大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积和,四个直角三角形的面积和为4×ab,中间小正方形的边长为b-a,面积为(b-a)2,于是c2=4×ab+(b-a)2,整理,得c2=a2+b2.
2.解:因为S梯形=(a+b)·(a+b)=(a+b)2,
又因为S梯形=ab+c2+ab=,
所以(a+b)2=,整理,得a2+b2=c2.
所以直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.B 如图,构造直角三角形,易知至少飞行10 m.
4.C 如图,因为四边形a,b,c都是正方形,
所以AC=CD,∠ACD=∠ABC=∠CED=90°.
所以∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠BAC=90°.
所以∠BAC=∠ECD.
又因为∠ABC=∠CED=90°,
所以△ACB≌△CDE.
所以AB=CE,BC=ED.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+ED2,即Sb=Sa+Sc=5+11=16.
5.12 设芦苇长AC=AC'=x尺,
则水深AB=(x-1)尺.
由题意,得C'B=5尺.
在Rt△AC'B中,52+(x-1)2=x2,
解得x=13,
即芦苇长13尺,水深为12尺,
故答案为12.
6.100
7.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD=14-x.
因为AD⊥BC,
所以△ADB与△ACD均为直角三角形.
所以AB2-BD2=AC2-CD2,即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.
所以AD2=AB2-BD2=152-92=122.
所以AD=12.
所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.
8.解:由题意知小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,它们的运动时间相等,即BC=AC.
设BC=AC=x cm,则OC=(45-x)cm.
在Rt△BOC中,由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,
即152+(45-x)2=x2,
解得x=25.
所以如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是25 cm.
9.解:(1)不相等.
在Rt△AOB中,OA2=AB2-OB2=2.52-0.72=5.76,
所以OA=2.4 m.
所以OA'=OA-AA'=2.4-0.4=2(m).
在Rt△A'OB'中,OB'2=A'B'2-OA'2=2.52-22=2.25,
所以OB'=1.5 m.
所以BB'=OB'-OB=1.5-0.7=0.8(m).
因为AA'=0.4 m,所以AA'≠BB'.
(2)存在.
设AA'=BB'=x m,则OA'=OA-AA'=(2.4-x)m,OB'=OB+BB'=(0.7+x)m.
在Rt△A'OB'中,根据勾股定理,得OA'2+OB'2=A'B'2,即(2.4-x)2+(x+0.7)2=2.52,
整理,得x2-1.7x=0.
因为x≠0,
所以x=1.7.
即当AA'=1.7 m时,AA'=BB'.
10.解:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.
因为S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,
又S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),
所以ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).
所以a2+b2=c2. 第1课时 探索勾股定理
考向题组训练
命题点 1 勾股定理
1.设△ABC的内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 ( )
A.若a,b,c是△ABC的三边,则a2+b2=c2
B.若a,b,c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2
C.若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则a2+b2=c2
D.若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠C=90°,则a2+b2=c2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AB=15,则AC= .
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=1,则AB2+BC2+AC2= .
命题点 2 根据勾股定理求线段长度
4.若直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为 ( )
A.5 B.7 C.5或7 D.25或7
5.如图在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.25
6.如图在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,BD=,则AB= .
7.如图在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C).若线段AD的长为正整数,则点D有 个.
8.(2020绥化)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 .
9.(2020雅安)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2= .
10.如图所示,一张直角三角形纸片ABC(∠ACB=90°),两直角边AC=6 cm,BC=8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且AC与AE重合,求线段CD的长.
11.如图在△ABD中,∠D=90°,C是BD上一点,已知BC=9,AB=17,AC=10,求AD的长.
命题点 3 利用勾股定理解决面积问题
12.(2021成都)如图数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为 .
13.如图分别以直角三角形的边a,b,c为直径、斜边和边,向外作半圆、等腰直角三角形和正方形,上述三种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
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14.如图在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图①,根据勾股定理,有a2+b2=c2;若△ABC不是直角三角形,而是如图②③所示的锐角三角形和钝角三角形.
(1)请你类比勾股定理,猜想a2+b2与c2的关系:图②中,a2+b2 c2;图③中,a2+b2
c2.
(2)说明你在(1)中猜想结论的正确性.
(3)在图②中,若AB的长为140米,AC的长为130米,BC的长为150米,请你求出△ABC的面积.
答案
第1课时 探索勾股定理
1.D 2.9 3.2 4.D
5.A 找出图中线段AB所在的直角三角形,再用勾股定理计算.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=42+32=52,所以AB=5.
6.5 在Rt△BCD中,CD2=BC2-BD2=32-2=,所以CD=.
在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-2=,
所以AD=.
所以AB=AD+BD=+=5.
7.3 如图所示,BC边上的高AE为3,所以3≤AD<5,而AD的长为正整数,故有3个点D.
8.17 因为在Rt△ABC中,∠C=90°,AB-AC=2,BC=8,
所以AC2+BC2=AB2,即(AB-2)2+82=AB2,解得AB=17.故答案为17.
9.20 因为AC⊥BD,
所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.
由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,
所以AB2+CD2=AD2+BC2.
因为AD=2,BC=4,
所以AB2+CD2=22+42=20.
故答案为20.
10.解:因为△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,
所以AB===10(cm).
因为△AED是由△ACD翻折得到的,
所以∠AED=∠ACD=90°,AE=AC=6 cm.
所以∠BED=90°,BE=AB-AE=10-6=4(cm).
设DE=CD=x cm.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得BD2=DE2+BE2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3.
则线段CD的长为3 cm.
11.解:设CD=x.因为∠D=90°,
所以AD2=AB2-BD2,AD2=AC2-CD2.
故AB2-BD2=AC2-CD2,即172-(x+9)2=102-x2,解得x=6.所以AD=8.
12.100 由题意可知,直角三角形中,一条直角边的平方=36,一条直角边的平方=64,
则斜边的平方=36+64=100.
故答案为100.
13.D 题图①中,S1=·2·π=,S2=·2·π=,S3=·2·π=,
所以S1+S2====S3;
题图②中,S1=·a·=,S2=·b·=,S3=·c·=,
所以S1+S2===S3;
题图③中,S1=a2,S2=b2,S3=c2,所以S1+S2=S3.
14.解:(1)> <
(2)如图①,作BC边上的高AD.设CD=m,则在Rt△ACD和Rt△ABD中,有b2-m2=AD2=c2-(a-m)2,整理,得a2+b2=c2+2am.
因为2am>0,
所以a2+b2>c2.
如图②,作AC边上的高BD.
设CD=n,则在Rt△ABD和Rt△BDC中,
有c2-(b+n)2=BD2=a2-n2,
整理,得a2+b2=c2-2bn.
因为2bn>0,
所以a2+b2(3)如图①,设CD=x米,
则BD=(150-x)米.
同(2)可得a2+b2=c2+2ax.
因为a=150米,b=130米,c=140米,
所以x=66.
所以AD2=AC2-CD2=1302-662=1122,
则AD=112米.
所以△ABC的面积为BC·AD=×150×112=8400(米2).
