第1课时 平面直角坐标系的有关概念
考向题组训练
命题点 1 点的坐标与距离
1.点P位于x轴下方,y轴左侧,距离x轴4个单位长度,距离y轴2个单位长度,那么点P的坐标是 ( )
A.(4,2) B) C) D.(2,4)
2.已知点P(2k+1,k-4)到两坐标轴的距离相等,那么k的值为 .
命题点 2 在平面直角坐标系中描点
3.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各组点,并将各组点分别用线段顺次连接起来:
(1)(0,0),(1,3),(2,0),(3,3),(4,0);
(2)(0,3),(1,0),(2,3),(3,0),(4,3).
4.六边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置如.
(1)写出点A,B,C,D,E,F的坐标;
(2)连接CF,试求四边形CDEF的面积.
命题点 3 确定点的坐标或位置
5.如图小明从点O出发,先向西走40米,再向南走30米到达点M.如果点M的坐标为(-40,-30),那么坐标(-10,20)表示的位置是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
6.中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位于点 .
7.如是某个海岛的平面示意图,如果哨所1的坐标是(1,3),哨所2的坐标是(-2,0),请你先建立平面直角坐标系,然后用坐标分别表示出小广场、雷达、营房、码头的位置.
命题点 4 点的坐标与所在象限
8.已知点P(a,b),ab>0,a+b<0,则点P在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.若点M(3,x)在第一象限,则x的取值范围是 .
10.第四象限内的点P(x,y)满足|x|=4,y2=4,则点P的坐标为 .
11.若点P(a,-b)在第二象限,则点(-a,-b)在第 象限.
12.已知|x2-2|+=0,试判断点P(-x,y)所在象限.
命题点 5 与坐标有关的新定义题
13.在平面直角坐标系中,将点(-b,-a)称为点(a,b)的“关联点”[例如)是点(1,2)的“关联点”].如果一个点和它的“关联点”在同一象限,那么这个点在第 象限.
14.在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P',称为点P的“倒影点”.若点A在x轴的下方,且点A的“倒影点”A'与点A是同一个点,则点A的坐标为 .
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15.如图所示,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是 ( )
A.(2,0) B.(4,0) C.(-2,0) D.(3,0)
16.在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其行走路线如图所示.
(1)填写下列各点的坐标:A1( , ),A3( , ),A12( , );
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.
答案
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
1.B
2.-5或1 因为点P(2k+1,k-4)到两坐标轴的距离相等,
所以2k+1=k-4或2k+),
解得k=-5或k=1.
3.解:(1)(2)如图所示.
4.解:(1)A(-2,3),B(0,0),C(3,0),D(4,3),E(3,6),F(0,6).
(2)连接CF略.因为C(3,0),D(4,3),E(3,6),F(0,6),
所以EF=3,CE=6.
所以S四边形CDEF=S△CEF+S△CDE=EF·CE+CE·1=×3×6+×6×1=9+3=12.
5.A
6.(-1,1) 由题意可以得到如下平面直角坐标系,则“兵”位于点(-1,1).故答案为(-1,1).
7.解:建立如图所示的平面直角坐标系.
小广场(0,0),雷达(4,0),营房(2,-3),码).
8.C 9.x>0
10.(4,-2) 由|x|=4,y2=4,得x=±4,y=±2.由题意,得x>0,y<0,
所以x=4,y=-2,故点P的坐标为(4,-2).
11.一 因为点P(a,-b)在第二象限,
所以a<0,-b>0.所以-a>0.
所以点(-a,-b)在第一象限.
12.解:因为|x2-2|+=0且|x2-2|≥0,≥0,
所以|x2-2|=0,=0,
即x2-2=0,2y+3=0.
所以x=±,y=-.
所以点P的坐标为,-或-,-.
当点P的坐标为,-时,点P在第四象限;当点P的坐标为-,-时,点P在第三象限.
13.二、四 若a,b同号,则-b,-a也同号且符号改变,此时点(-b,-a)和点(a,b)在两个象限,不合题意;若a,b异号,则-b,-a也异号,此时点(-b,-a)和点(a,b)都在第二象限或第四象限,符合题意.
14.(1,-1))
15.D 以点O为圆心,OA长为半径作圆,与x轴的交点坐标为(-2,0),(2,0);以点A为圆心,OA长为半径作圆,与x轴的交点坐标为(0,0)(不合题意,舍去),(4,0);作OA的垂直平分线,与x轴的交点坐标为(2,0).它们均为点P的位置.
16.解:(1)A1(0,1),A3(1,0),A12(6,0).
(2)A4n(2n,0).
(3)A100中的100正好是4的倍数,
所以点A100和A101的坐标分别是(50,0),(50,1),
所以蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上.第3课时 建立适当的坐标系描述图形位置
考向题组训练
命题点 1 根据已知点的坐标画平面直角坐标系
1.如图所示,方格纸上有M,N两点,若以点N为坐标原点建立平面直角坐标系,则点M的坐标为(3,4);若以点M为坐标原点建立平面直角坐标系,则点N的坐标为 ( )
A) B.(4,0) C.(0,-2) D.(2,0)
2.如图直线m⊥n,在某平面直角坐标系中,x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为(4,2),点B的坐标),则点C的坐标可能为 ( )
A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D)
3. 中国象棋在中国有着三千多年的历史,它难易适中,趣味性强,变化丰富细腻,棋盘棋子文字都体现了中国文化,如图已知所在位置的坐标为(-3,3),所在位置的坐标为(-1,0),在中国象棋的规则中,“马走日,象(相)飞田”,若下一步移动,则可能走到的位置的坐标为 .
4.如是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,规定1个单位长度表示1 km.甲、乙两人对着地图描述路桥区A处的位置如下:
甲:路桥区A处的坐标是(2,0).
乙:路桥区A处在椒江区B处南偏西45°方向,相距16 km.
则椒江区B处的坐标是 .
5.如图在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了点A(-1,2),B(1,2),已知宝藏在点(4,3)处,请你确定平面直角坐标系并找出“宝藏”的位置,说明你的方法,并画出示意图.
命题点 2 根据图形特点建立平面直角坐标系
6.已知等边三角形ABC,AB=6,以点A为坐标原点,边AB所在直线为x轴,过点A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则点C的坐标可能为 ( )
A.(3,3) B.(3,2) C.(-3,2) D.(3,3)
7.如图将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 ( )
A.-,1 B.(-1,) C.(,1) D.(-,-1)
8.如图在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,过点A作AO⊥BC于点O,以O为原点,边BC所在的直线为x轴,BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为 .
9.如图将Rt△ABC放置在平面直角坐标系中,点C与原点重合,CB在x轴上.若AB=2,点B的坐标为(4,0),则点A的坐标为 .
10.如图在梯形ABCD中,AB⊥AD,上底BC=2,下底AD=5,高AB=3,建立适当的直角坐标系,并写出四个顶点的坐标.
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11.如是某宾馆一楼大厅到二楼的楼梯设计图(图中每个小正方形的边长均为1个单位长度),中间为平台DE,DM,EN为平台的两根支柱,DM,EN垂直于AB,垂足分别为M,N.设计师建立了相应的平面直角坐标系,测量后得到部分点的坐标如下表:
点 M D C B
坐标 (-2,0) (0,4)
测量员统计时不小心将墨水滴到了其中D,B两点的坐标数据上.根据以上信息,你能将这两点的坐标复原吗
12.已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)在如图所示的直角坐标系中描出各点,并画出△ABC;
(2)求△ABC的面积.
答案
第3课时 建立适当的坐标系描述图形位置
1.A 若以点N为坐标原点建立平面直角坐标系,则点M的坐标是(3,4);若以点M为坐标原点建立平面直角坐标系,则点N在点M左侧3个单位长度,下方4个单位长度处,
所以点N的坐标).
2.C 如图,由A(4,2),)知BD=6,AD=4.
因为x轴∥m,y轴∥n,
所以x轴为AD的中垂线,y轴过点E,且BE=BD,
由图可知点C在第四象限,C选项符合题意.
故选C.
3.(-4,2),(-2,2),(-1,1) 根据已知两点的坐标画出如图所示的平面直角坐标系,则下一步可能走到的位置的坐标为A(-4,2),B(-2,2),C(-1,1).
4. 根据题意,作如图所示的平面直角坐标系,连接AB,过点B作正东方向的垂线,垂足为H.在Rt△ABH中,根据勾股定理求得AH=BH=8,
所以点B的坐标为(2+8,8).
5.解:如图.(1)连接AB,作线段AB的垂直平分线CD,垂足为E,并以直线CD为y轴,向上为正方向;
(2)以点E为圆心,AB长为半径作圆弧与直线CD相交,设线段AB下方的交点为O,过点O作y轴的垂线,并以此作为x轴,向右为正方向,建立平面直角坐标系,且单位长度为线段BE的长;
(3)在所建立的平面直角坐标系中找到点(4,3),即是“宝藏”的位置.
6.D
7.A 过点C作CD⊥x轴于点D,由全等三角形的性质可知OD=,CD=1.
因为点C在第二象限,
所以点C的坐标为(-,1).
8.(0,4) (-3,0) (3,0) 因为AB=AC=5,AO⊥BC,
所以OB=OC=BC=3.
在Rt△AOB中,因为AB=5,OB=3,
所以OA==4.
所以A(0,4),B(-3,0),C(3,0).
9.(3,) 如图,过点A作AD⊥OB于点D.
因为点B的坐标为(4,0),
所以OB=4.
因为∠CAB=90°,AB=2,
所以AC==2.
因为△ABC的面积=BC·AD=AC·AB,
所以AD===.
所以OD==3.
所以A(3,).
10.解:答案不唯一,例如:以点A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(0,3),C(2,3),D(5,0).
11.解:能.由点M(-2,0),点C(0,4),可知坐标原点在点M右侧2个单位长度,且在点C下方4个单位长度处,即原点的位置为点B,建立如图所示的平面直角坐标系,由此可知D(-2,2),B(0,0).
12.解:(1)画图如下:
(2)S△ABC=3×4-×1×2-×2×3-×2×4=4.第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
考向题组训练
命题点 1 坐标轴上的点的坐标特征
1.已知ab=0,则点A(a,b)的位置在 ( )
A.第一象限 B.x轴上 C.y轴上 D.坐标轴上
2.已知点P(a-3,a+4)在x轴上,则点Q(a,a-7)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是 .
4.在平面直角坐标系中,若点P(a2-1,a-1)是y轴上不同于原点的点,则a的值是 .
命题点 2 特殊直线上的点的坐标特征
5.过A(4,-2),)两点的直线一定 ( )
A.垂直于x轴
B.与y轴相交但不平行于x轴
C.平行于x轴
D.平行于y轴
6.如果点B与点C的横坐标相同,纵坐标不同,那么直线BC与x轴的位置关系为( )
A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上均不对
7.已知点A(2a+1,5a-2)在第一、三象限两坐标轴夹角平分线上,点B(2m+7,m-1)在第二、四象限两坐标轴夹角平分线上,则 ( )
A.a=1,m=-2 B.a=1,m=2 C.a=-1,m=-2 D.a=-1,m=2
8.若点P(3,-5)和点Q(4,a)的连线垂直于y轴,则a的值为 .
9.在平面直角坐标系中有A(m,3),B(4,n)两点,若直线AB平行于y轴,且AB=4,则m= ,n= .
10.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,点A在坐标原点,点B,D的坐标分别为(5,0),(2,3),求顶点C的坐标.
11.已知点P(3m-6,m+1),试分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P在y轴上;
(2)点P在x轴上;
(3)点P的纵坐标比横坐标大5;
(4)点P在过点A(-1,1),且与x轴平行的直线上.
命题点 3 图形与点的坐标
12.如图四边形ABCD是长方形,AB=3,AD=4.已知A-,-1,则点C的坐标是 ( )
A.-3, B.,-3 C.3, D.,3
13.如图在平面直角坐标系中有一个5×5的网格,△ABC的面积为2,三个顶点的坐标分别为A(3,2),B(1,1),C(a,b),且a,b均为正整数,则点C的坐标为 .
14.如图已知A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2).
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)在y轴上找一点P,使△APB的面积等于四边形ABCD面积的一半,求点P的坐标.
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15.已知点A的坐标是(0,4),点B在x轴上,AB与坐标轴围成的三角形的面积为2,则点B的坐标是 ( )
A.(1,0)或(-1,0) B.(1,0)
C.(0,1)或(0,-1) D.(-1,0)
16.先阅读下列一段文字,再回答后面的问题.
已知平面直角坐标系内两点P1,P2,这两点间的距离公式为P1P2=.当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时,两点间的距离公式可简化为或.
(1)已知A(2,4),),试求A,B两点间的距离;
(2)已知A,B两点在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,试求A,B两点间的距离.
答案
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
1.D 因为ab=0,
所以a=0或b=0.
所以A(a,b)在x轴或y轴上,即在坐标轴上.
2.C 因为点P(a-3,a+4)在x轴上,
所以a+4=0,即a=-4.
所以点Q的坐标),故点Q在第三象限.
3.(4,0) 因为点P(m+2,2m-4)在x轴上,
所以2m-4=0,即m=2.所以点P的坐标为(4,0).
4.-1 因为点P(a2-1,a-1)是y轴上不同于原点的点,
所以a2-1=0,a-1≠0,解得a=-1.
5.C 6.B
7.A 因为点A(2a+1,5a-2)在第一、三象限两坐标轴夹角平分线上,
所以2a+1=5a-2,解得a=1.
因为点B(2m+7,m-1)在第二、四象限两坐标轴夹角平分线上,
所以(2m+7)+(m-1)=0,解得m=-2.故选A.
8.-5
9.4 -1或7 先根据直线AB平行于y轴可得出点A,B的横坐标相等,即m=4,再由AB=4可得出n的值.
10.解:因为AB∥CD,AB=CD,B(5,0),D(2,3),
所以C,D两点的纵坐标相同,点C的横坐标为2+5=7.
所以顶点C的坐标为(7,3).
11.解:(1)由题意,得3m-6=0,解得m=2,
所以点P的坐标为(0,3).
(2)由题意,得m+1=0,解得m=-1,
所以点P的坐标为(-9,0).
(3)由题意,得m+1-(3m-6)=5,解得m=1,
所以点P的坐标为(-3,2).
(4)由题意,得m+1=1,解得m=0,
所以点P的坐标为(-6,1).
12.D 因为四边形ABCD是长方形,
所以CD=AB=3,BC=AD=4.
所以点C的坐标为-+3,-1+4,
即点C的坐标为,3.故选D.
13.(5,1),(1,3),(3,4),(5,5) 如图所示,因为a,b均为正整数,
所以点C的坐标为(5,1),(1,3),(3,4),(5,5).
14.解:(1)分别过点C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,F,则S四边形ABCD=S△ADF+S梯形CDFE+S△BCE=×1×2+×(2+4)×5+×4×4=24.
(2)设△APB中AB边上的高为h,
则由S△APB=S四边形ABCD,得×10×h=×24,
解得h=2.4.
又因为点P在y轴上,
所以点P的坐标为(0,2.4)或(0,-2.4).
15.A 设点B的坐标为(x,0),则S△AOB=·|x|·4=2,解方程即可求得.
16.解:(1)因为A(2,4),),
所以AB==13,即A,B两点间的距离是13.
(2)因为A,B两点在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,
所以AB==6,即A,B两点间的距离是6.
