第1课时 正比例函数的图象与性质
考向题组训练
命题点 1 正比例函数的图象与性质
1.若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
2.在平面直角坐标系中,下列点M,N的坐标能使点M,N在同一个正比例函数图象上的是
( )
A.M(2,-3),N(-4,6) B.M(-2,3),N(4,6)
C.),N(4,-6) D.M(2,3),N(-4,6)
3.若正比例函数y=-kx的图象如图所示,则k的取值范围是 ( )
A.k>0 B.k<0 C.k>1 D.k<1
4.一次函数y=5,当k= 时,图象过原点,此时y随x的增大而 .
5.定义运算“※”为:a※b=
(1)求3※4的值;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y=2※x的图象.
命题点 2 利用正比例函数的性质比较大小
6.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1
y2,则m的取值范围是 ( )
A.m<0 B.m>0 C.m< D.m>
7.已知函数y=3x的图象经过点A(m,y1),B(m-1,y2),则y1-y2 0.(填“>”“<”或“=”)
命题点 3 利用正比例函数图象及其性质求字母的值或取值范围
8.若正比例函数y=kx的图象经过不在同一象限内的两点(a,b),(b,a),则k的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.无法确定
9.已知正比例函数y=(t-1)x的图象上一点(x1,y1),且x1y1<0,那么t的取值范围是 ( )
A.t<1 B.t>1 C.t<1或t>1 D.不确定
10.若点P(1,n),Q(3,n+6)在正比例函数y=kx的图象上,则k= .
11.若正比例函数y=(a-1)的图象经过第一、三象限,则a= .
12.若函数y=-2mx-(m2-9)的图象经过原点,则m的值为 .
命题点 4 求正比例函数的表达式及应用
13.已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求这个函数的表达式;
(2)画出这个函数的图象;
(3)判断点A(4,-2),点B(-1.5,3)是否在这个函数的图象上;
(4)已知点C(x1,y1),D(x2,y2)在这个函数的图象上,若x1>x2,试比较y1,y2的大小.
14.已知y-2与3x-4成正比例,且当x=2时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)若点P(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值;
(3)若y的取值范围为-1≤y≤1,求x的取值范围.
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15.如图已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求这个正比例函数的表达式.
(2)在x轴上能否找到一点P,使△AOP的面积为5 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
答案
第1课时 正比例函数的图象与性质
1.A 因为点(a-1,4)在函数y=-2x的图象上,所以-2(a-1)=4,解得a=-1.故选A.
2.A 因为正比例函数图象要么经过第一、三象限,要么经过第二、四象限;而第一、三象限中点的横、纵坐标符号为同号,第二、四象限中点的横、纵坐标符号为异号,故B,C,D选项错误.故选A.
3.B 因为函数y=-kx的图象经过第一、三象限,所以-k>0,故k<0.故选B.
4.- 减小 因为一次函数图象经过原点,
所以该函数为正比例函数=0,解得k=-.当k=-时,原函数为y=-3x.
因为k<0,所以y随x的增大而减小.
5.解:(1)因为4≥0,
所以3※4=3×4=12.
(2)当x≥0时,y与x之间的函数关系式为y=2x;
当x<0时,y与x之间的函数关系式为y=-2x.
列表如下:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 2 0 2 4 …
描点、连线,如图所示.
6.D 因为当x1y2,
所以函数y随x的增大而减小.
所以k<0,即1-2m<0,解得m>.
7.> 因为k=3>0,
所以y随x的增大而增大,而m>m-1,
所以y1>y2,即y1-y2>0.
8.B 把点(a,b)的坐标代入正比例函数表达式,可得b=ak,则k=,同理把点(b,a)的坐标代入正比例函数表达式,可得a=bk,即k=,则=,即a2=b2,则a=-b或a=b,故k=1或-1.因为图象经过不在同一象限内的两点(a,b),(b,a),
所以k=-1.故选B.
9.A 因为x1y1<0,所以该点的横、纵坐标异号,即图象经过第二、四象限,所以t-1<0,即t<1.故选A.
10.3
11.2 由正比例函数的图象经过第一、三象限,可得a2-3=1且a-1>0,解得a=2.
12.±3
13. 正比例函数的图象是一条直线,千万不要画成线段.
解:(1)将(3,-6)代入y=kx,得-6=3k,
解得k=-2,即这个函数的表达式为y=-2x.
(2)这个函数的图象过原点和点(1,-2),描点,连线,图象如图所示.
(3)将A(4,-2),B(-1.5,3)分别代入函数表达式,×4,3=-2×(-1.5),
故点A(4,-2)不在这个函数的图象上,点B(-1.5,3)在这个函数的图象上.
(4)由于k=-2<0,因此y随x的增大而减小.
因为x1>x2,所以y114.解:(1)设y-2=k(3x-4).
将x=2,y=3代入,得2k=1,解得k=,
所以y-2=(3x-4),即y=x.
(2)将P(a,-3)代入y=x,
得a=-3,解得a=-2.
(3)当y=-1时,x=-1,解得x=-;
当y=1时,x=1,解得x=.
故-≤x≤.
15.解:(1)因为点A在第四象限,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3,
所以点A的纵坐标为-2.
所以点A的坐标为(3,-2).
将A(3,-2)代入y=kx,
得-2=3k,解得k=-,
所以这个正比例函数的表达式为y=-x.
(2)能.设点P的坐标为(a,0),
则S△AOP=|a|×|-2|=5,
解得a=±5.
所以在x轴上能找到一点P,使△AOP的面积为5,此时点P的坐标为(-5,0)或(5,0).第2课时 一次函数的图象与性质
考向题组训练
命题点 1 一次函数的图象与系数k,b之间的关系
1.一次函数的图象不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(2020济南)若m<-2,则一次函数y=(m+1)x+1-m的图象可能是 ( )
3.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),则函数y1和y2的图象可能是 ( )
4.一次函数y=ax+b的图象如图所示,则代数式a+b的值是 .
5.已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.
(1)当k为何值时,它的图象经过原点
(2)当k为何值时,它的图象经过点(0,-2)
(3)当k为何值时,它的图象平行于直线y=-x
命题点 2 一次函数增减性的应用
6.已知A-,y1,B(-2,y2),C,y3是一次函数y=-x+n的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为
( )
A.y17.已知一次函数y=-2x+5,若-1≤x≤2,则y的最小值是 .
8.已知y=(1-2m)x3m-2+3是一次函数,则m= ,且y随x的增大而 .
命题点 3 一次函数图象的移动
9.将直线y=2x向上移动1个单位长度,得到的直线的表达式为 ( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=2(x+1) D.y=2(x-1)
10.要得到函数的图象,只需将函数y=-6x的图象 ( )
A.向左移动5个单位长度
B.向右移动5个单位长度
C.向上移动5个单位长度
D.向下移动5个单位长度
命题点 4 一次函数的图象与坐标轴构成的图形面积问题
11.一次函数y=2x-4的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,O为原点,则△AOB的面积是
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12.已知直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,P(-1,m)为平面直角坐标系内一动点.若△ABP的面积为1,则m的值为 .
13.已知把直线y=kx+b(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度后,得到直线y=-2x+5,求:
(1)直线y=kx+b(k≠0)的函数表达式;
(2)直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积.
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14.若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数y=的图象与性质.
列表:
x … -3 - -2 - -1 - 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.
(1)在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象.
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①若点A(-5,y1),B-,y2,Cx1,,D(x2,6)在函数图象上,则y1 y2,x1 x2;(填“>”“=”或“<”)
②当函数值y=2时,求自变量x的值;
③在直线x=-1右侧的函数图象上有两个不同的点P(x3,y3),Q(x4,y4),且y3=y4,求x3+x4的值;
④若直线y=a与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
答案
第2课时 一次函数的图象与性质
1.A
2.D 因为m<-2,所以m+1<0,1-m>0,
所以一次函数y=(m+1)x+1-m的图象经过第一、二、四象限.故选D.
3.A 根据一条直线判断出a,b的符号,然后根据a,b的符号判断出第二条直线经过的象限即可.
4.1 由图象可得点(1,1)在该函数图象上.把x=1,y=1代入y=ax+b,可得a+b=1.
5.解:(1)因为函数图象经过原点,
所以点(0,0)在函数图象上.
将x=0,y=0代入函数表达式,得0=-2k2+18,
解得k=±3.
又因为y=(3-k)x-2k2+18是一次函数,
所以3-k≠0.所以k≠3.
故k=-3.
(2)因为函数图象经过点(0,-2),
所以点(0,-2)满足函数表达式.
将x=0,y=-2代入函数表达式,k2+18,解得k=±.
(3)因为函数图象平行于直线y=-x,
所且-2k2+18≠0,
解得k=4.
6.C 因为一次函数y=-x+n中,k=-1<0,
所以y随x的增大而减小.
因为-2<-<,
所以y2>y1>y3.
故选C.
7.1 因为一次函数y=-2x+5中,k=-2<0,
所以y随x的增大而减小.
因为-1≤x≤2,
所以当x=2时,y取得最小值,最小值是1.
8.1 减小 因为函数y=(1-2m)x3m-2+3是一次函数,
所以1-2m≠0,3m-2=1,
解得m=1,
所以一次函数的表达式为y=-x+3.
因为k=-1<0,
所以y随x的增大而减小.
9.A
10.D 要得到函数的图象,只需将函数y=-6x的图象向下移动5个单位长度.
故选D.
11.B 由一次函数表达式可求得A,B两点的坐标,从而可求得OA和OB的长,再利用三角形的面积公式可求得答案.
12.3或1 在y=2x+4中,当x=0时,y=4;当y=0时,x=-2.因为直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,
所以点A(-2,0),点B(0,4).
如图,过点P作PE⊥x轴,交线段AB于点E,则点E的横坐标为-1.
把x=-1代入y=2x+4,
得y=-2+4=2,
所以E(-1,2).
因为S△ABP=PE×2=1,
所以|m-2|=1,
解得m=3或m=1.
13.解:(1)由直线y=kx+b(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度后,得到直线y=-2x+5,可得直线y=kx+b的函数表达式为y=-2x+5-3,即y=-2x+2.
(2)在y=-2x+2中,当x=0时,y=2;当y=0时,x=1,
所以直线y=-2x+2与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×2=1.
14.解:(1)根据列表、描点,可以作出函数图象,如图:
(2)①由图象可知,当x≤-1时,y随x的增大而增大.
因为点A,B在函数图象上,且-5<-<-1,
所以y1因为>2,6>2,点C,D在函数图象上,
所以点C,D在函数y=x-1(x>1)的图象上,且y随x的增大而增大.
因为<6,所以x1故答案为<,<.
②当y=2时,若x≤-1,则有-=2,
解得x=-1;
若x>-1,则有|x-1|=2,即x-1=±2,
解得x=3或x=-1(不合题意,舍去).
综上所述,当y=2时,自变量x的值为-1或3.
③若点P(x3,y3),Q(x4,y4)是直线x=-1右侧的函数图象上的两个不同的点,且y3=y4,则|x3-1|=|x4-1|,
所以x3-1=-(x4-1).
所以x3+x4=2.
④若直线y=a与函数图象有三个不同的交点,
通过观察函数图象可知:0