沪科版八年级数学上册 13.2 命题与证明（第3课时） 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册 13.2 命题与证明（第3课时） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-08 07:29:42 | ||
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文档简介
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明
教学目标 1.引导学生用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理. 2.让学生会运用三角形内角和定理进行计算. 教学重难点 重点：运用多种方法证明三角形内角和定理． 难点：用三角形内角和定理进行计算． 教学过程 探究新知 一、三角形内角和定理的证明 前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180° 试一试：已知△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B＝∠1. ∠C＝∠2 (两直线平行,内错角相等) . ∵∠2+∠1+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C+∠BAC＝180°. ↓ 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°. ↓ 证法3：过D作DE∥AC, DF∥AB. ∴ ∠C＝∠EDB,∠B＝∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A+∠AED＝180°, ∠AED+∠EDF＝180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴ ∠A＝∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°. ↓ 【各组内部交流】(学生总结，老师点评) 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 总结：1.在这里，为了需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 2.为了说明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中常用的方法. 二、三角形内角和定理的应用 例1 如图所示，BE 平分∠ABD，CF 平分∠ACD，BE，CF 交于点G，已知∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，求∠ A 的度数. 解：如图所示，连接BC. 在△CDB 中，∵ ∠BDC＝140°， ∴ ∠DBC ∠BCD ＝ 180°-∠BDC＝40°. 在△CGB 中，∵ ∠BGC＝110°， ∴ ∠GBC ∠BCG ＝180°-∠∠BGC ＝ 70°. ∴ ∠GBD+∠DCG＝∠GBC+∠BCG-（∠DBC+∠BCD）＝70°-40°＝30°. ∵ BG，CG 分别平分∠ABD，∠ACD， ∴ ∠ABG+∠ACG＝∠GBD+ ∠DCG＝30°. ∴ ∠ABC+∠BCA＝2（∠ABG+∠ACG）+（∠DBC+∠BCD） ＝ 2×30°+40°＝100°. 在△ABC 中，∠A＝180°-（∠ABC+∠BCA）＝80°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流 例2 如图所示，在△ 中，∠，∠＝54°，AE是BC边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数. 解：在△ 中，∵ ∠38°，∠， ∴ ∠-∠-∠＝180°-38°-54°＝88°. ∵ 是∠的平分线， ∴ ∠ ＝ ∠ ＝ ×88°＝44°. ∵ 是 边上的高，∴ ∠＝90°. 在△ 中，∵ ∠＝90°，∠＝54°， ∴ ∠＝180°-∠-∠＝180°-90°-54°＝36°. ∴ ∠∠-∠＝44°-36°＝8°. 课堂练习 1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝130°， ∠C＝30°，则∠DAE的度数是 . 2.如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数． 3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B＝45°,∠C＝60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 参考答案 1．5° 2．解：因为DF⊥AB，所以∠DFB＝90°. 又在△DFB中，∠D＝50°， 所以∠B＝180°-∠DFB-∠D＝40°. 又在△ABC中，∠A＝46°， 所以∠ACB＝180°-∠A-∠B＝94°. 3.解：∵ＡE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠∠BAC. ∵ ∠BAC+∠B+∠C＝180°, ∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-45°-60°＝75°，∴∠BAE＝37.5°. ∵∠AEB＝∠CAE+∠C，∠CAE＝∠BAE＝37.5°， ∴∠AEB＝37.5°+60°＝97.5°. 课堂小结 布置作业 P81练习 板书设计 三角形内角和定理的证明 1．三角形内角和定理的证明 2. 三角形内角和定理的应用
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明
教学目标 1.引导学生用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理. 2.让学生会运用三角形内角和定理进行计算. 教学重难点 重点：运用多种方法证明三角形内角和定理． 难点：用三角形内角和定理进行计算． 教学过程 探究新知 一、三角形内角和定理的证明 前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180° 试一试：已知△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B＝∠1. ∠C＝∠2 (两直线平行,内错角相等) . ∵∠2+∠1+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C+∠BAC＝180°. ↓ 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°. ↓ 证法3：过D作DE∥AC, DF∥AB. ∴ ∠C＝∠EDB,∠B＝∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A+∠AED＝180°, ∠AED+∠EDF＝180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴ ∠A＝∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°. ↓ 【各组内部交流】(学生总结，老师点评) 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 总结：1.在这里，为了需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 2.为了说明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中常用的方法. 二、三角形内角和定理的应用 例1 如图所示，BE 平分∠ABD，CF 平分∠ACD，BE，CF 交于点G，已知∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，求∠ A 的度数. 解：如图所示，连接BC. 在△CDB 中，∵ ∠BDC＝140°， ∴ ∠DBC ∠BCD ＝ 180°-∠BDC＝40°. 在△CGB 中，∵ ∠BGC＝110°， ∴ ∠GBC ∠BCG ＝180°-∠∠BGC ＝ 70°. ∴ ∠GBD+∠DCG＝∠GBC+∠BCG-（∠DBC+∠BCD）＝70°-40°＝30°. ∵ BG，CG 分别平分∠ABD，∠ACD， ∴ ∠ABG+∠ACG＝∠GBD+ ∠DCG＝30°. ∴ ∠ABC+∠BCA＝2（∠ABG+∠ACG）+（∠DBC+∠BCD） ＝ 2×30°+40°＝100°. 在△ABC 中，∠A＝180°-（∠ABC+∠BCA）＝80°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流 例2 如图所示，在△ 中，∠，∠＝54°，AE是BC边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数. 解：在△ 中，∵ ∠38°，∠， ∴ ∠-∠-∠＝180°-38°-54°＝88°. ∵ 是∠的平分线， ∴ ∠ ＝ ∠ ＝ ×88°＝44°. ∵ 是 边上的高，∴ ∠＝90°. 在△ 中，∵ ∠＝90°，∠＝54°， ∴ ∠＝180°-∠-∠＝180°-90°-54°＝36°. ∴ ∠∠-∠＝44°-36°＝8°. 课堂练习 1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝130°， ∠C＝30°，则∠DAE的度数是 . 2.如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数． 3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B＝45°,∠C＝60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 参考答案 1．5° 2．解：因为DF⊥AB，所以∠DFB＝90°. 又在△DFB中，∠D＝50°， 所以∠B＝180°-∠DFB-∠D＝40°. 又在△ABC中，∠A＝46°， 所以∠ACB＝180°-∠A-∠B＝94°. 3.解：∵ＡE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠∠BAC. ∵ ∠BAC+∠B+∠C＝180°, ∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-45°-60°＝75°，∴∠BAE＝37.5°. ∵∠AEB＝∠CAE+∠C，∠CAE＝∠BAE＝37.5°， ∴∠AEB＝37.5°+60°＝97.5°. 课堂小结 布置作业 P81练习 板书设计 三角形内角和定理的证明 1．三角形内角和定理的证明 2. 三角形内角和定理的应用